回溯法详解：LeetCode 46. 全排列

一、问题描述

给定一个不含重复数字 的数组 nums，返回其所有可能的全排列。你可以按任意顺序返回答案。

示例：

输入：nums = [1,2,3]

输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

二、核心思路：回溯 (Backtracking)

全排列问题是回溯算法 最经典的入门题。回溯算法的本质是决策树的深度优先遍历 (DFS)。

我们可以将全排列问题具象化为：有 n 个空位，我们需要从左到右依次填入 nums 中的数字。每个数字只能用一次。

1. 状态定义

在遍历决策树的过程中，我们需要维护以下几个关键状态：

路径 (Path)：记录当前已经做出的选择（即当前正在生成的排列）。

选择列表：当前还可以做出的选择（即数组中还未被使用的数字）。

结束条件：到达决策树底层，无法再做选择的条件。

2. 关键难点：如何记录"已使用"？

由于数组中的元素不能重复使用，我们需要一个标记机制。最直接的方法是引入一个布尔数组 used：

used[i] == true：表示 nums[i] 已经在当前路径中被使用。

used[i] == false：表示 nums[i] 尚未被使用，可以加入当前路径。

3. 回溯过程图解

以 nums = [1, 2, 3] 为例，决策树的遍历过程如下：

第一层：可以选择 1, 2, 3。

第二层：如果第一层选了 1，第二层只能从 2, 3 中选。

第三层：如果前两层选了 1, 2，第三层只能选 3。

当路径长度达到 3 时，记录当前路径，并撤销上一步选择（回溯），返回上一层尝试其他分支。

三、代码实现 (C++)

基于上述思路，我们可以写出非常标准的回溯代码模板：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        vector<vector<int>> result;
        vector<int> path;
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        
        backtrack(nums, used, path, result);
        return result;
    }

private:
    void backtrack(const vector<int>& nums, vector<bool>& used, vector<int>& path, vector<vector<int>>& result) {
        // 1. 终止条件：路径长度等于数组长度，说明找到了一个全排列
        if (path.size() == nums.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }

        // 2. 遍历选择列表
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            // 排除不合法的选择：当前数字已被使用
            if (used[i]) continue;

            // 3. 做选择
            used[i] = true;
            path.push_back(nums[i]);

            // 4. 进入下一层决策树
            backtrack(nums, used, path, result);

            // 5. 撤销选择 (回溯核心)
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
};

四、复杂度分析

时间复杂度：O(n×n!)
- 总共有 n! 种全排列。
- 每种排列需要 O(n) 的时间将其从 path 复制到 result 中。
- 递归树的节点总数约为 e×n!，因此整体时间复杂度为 O(n×n!)。
空间复杂度：O(n)
- 递归调用栈的深度最大为 n。
- used 数组和 path 数组的空间开销均为 O(n)。
- 注意：返回结果 result 占用的空间不计入算法的辅助空间复杂度。

五、拓展与普适化：回溯算法通用模板

全排列问题揭示了回溯算法解决**"组合/排列/子集"**类问题的通用范式。我们可以将其抽象为以下伪代码模板：

cpp 复制代码

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 新的选择列表)
        撤销选择

回溯法详解：LeetCode 46. 全排列

一、 问题描述

二、 核心思路：回溯 (Backtracking)