🌈 蓝桥杯 2019 省 A 修改数组 - 数字魔法大冒险 题解
题目链接
题目描述
给定一个数组 A A A，从左到右处理每个元素：
- 若当前数字在之前未出现过，则保留
- 若当前数字已出现过，则不断加1直到找到一个未出现过的数字
最终输出一个没有重复数字的数组
输入格式
- 第一行： n n n（数组长度）
- 第二行： n n n 个整数 a 1 , a 2 , ... , a n a_1, a_2, \dots, a_n a1,a2,...,an
输出格式
修改后的数组（空格分隔）
算法思路
核心思想
使用并查集维护数字占用情况：
- 数字池 ：预分配大范围数字空间（ 10 6 + 10 5 10^6 + 10^5 106+105）
- 链式管理：每个数字指向下一个可用位置
- 路径压缩 ：查询时压扁路径，实现 O ( α ( n ) ) O(\alpha(n)) O(α(n)) 查询
关键步骤
-
初始化并查集：
- 每个数字 i i i 初始指向自己（表示可用）
-
处理每个数字：
- 查询当前数字的根节点（实际可用位置）
- 使用该位置后，将其指向 r o o t + 1 root+1 root+1 的根节点
-
路径压缩：
- 查询过程中更新父节点，减少后续查询时间
复杂度分析
- 时间复杂度 ： O ( n α ( M ) ) O(n \alpha(M)) O(nα(M))
- α \alpha α 为反阿克曼函数（接近 O ( 1 ) O(1) O(1))
- M M M 为最大数字范围（ 1.2 × 10 6 1.2 \times 10^6 1.2×106）
- 空间复杂度 ： O ( M ) O(M) O(M)
代码实现
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX = 1200000; // 最大数字范围：10^6 + 10^5
vector<int> fa(MAX); // 并查集数组（父节点指针）
// 查找函数（带路径压缩）
int find(int x) {
if (fa[x] != x) {
fa[x] = find(fa[x]); // 路径压缩
}
return fa[x];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
// 初始化并查集
for (int i = 1; i < MAX; i++) {
fa[i] = i; // 每个数字初始可用
}
int n;
cin >> n;
vector<int> res(n); // 结果数组
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x;
cin >> x;
// 找到下一个可用位置
int root = find(x);
res[i] = root; // 使用该位置
// 更新指针：指向下一个位置
fa[root] = find(root + 1);
}
// 输出结果
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i) cout << " ";
cout << res[i];
}
return 0;
}代码解释
关键数据结构
- fa数组 ：存储每个数字的下一个可用位置
fa[i] = i：数字 i i i 可用fa[i] > i：数字 i i i 已被使用，下一个可用位置为fa[i]
核心函数
-
find(x) ：
cppif (fa[x] != x) fa[x] = find(fa[x]); return fa[x];递归查找并压缩路径，使后续查询 O ( 1 ) O(1) O(1)
处理流程
-
查询可用位置：
cppint root = find(x);获取 x x x 的实际可用位置
-
更新指针：
cppfa[root] = find(root + 1);将当前数字指向下一个可用位置，形成可用链
算法正确性证明
数字分配原理
设数字池 S = { 1 , 2 , 3 , ... , M } S = \{1, 2, 3, \dots, M\} S={1,2,3,...,M}
- 初始状态 ： f a i = i fai=i fai=i，所有数字可用
- 使用数字 x x x ：
- 分配 r o o t = find ( x ) root = \text{find}(x) root=find(x)
- 更新 f a r o o t = find ( r o o t + 1 ) faroot = \text{find}(root+1) faroot=find(root+1)
- 链式保证 ：
- 每个被使用的数字指向下一个可用位置
- find ( x ) \text{find}(x) find(x) 总是返回最小可用数字 ≥ x \geq x ≥x
路径压缩效果
操作序列：
| 操作 | fa1 | fa2 | fa3 | fa4 | 说明 |
|---|---|---|---|---|---|
| 初始 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| find(1) | 1→2 | 2 | 3 | 4 | 使用1，指向find(2)=2 |
| find(1) | 2 | 2 | 3 | 4 | 路径压缩后直接返回2 |
| find(2) | 2 | 2→3 | 3 | 4 | 使用2，指向find(3)=3 |
| find(1) | 3 | 3 | 3 | 4 | 路径压缩后直接返回3 |
测试样例
输入 #1
data
5
2 1 1 3 4输出 #1
result
2 1 3 4 5解释：
- 2：首次出现 → 使用2
- 1：首次出现 → 使用1
- 1：已出现 → 尝试2（已用）→ 使用3
- 3：首次出现 → 使用4（因为3已被使用）
- 4：首次出现 → 使用5（因为4已被使用）
输入 #2
data
6
3 3 3 3 3 3输出 #2
result
3 4 5 6 7 8解释：连续6个3，依次使用3,4,5,6,7,8
复杂度证明
时间复杂度
设 M M M 为最大数字范围：
- 并查集初始化： O ( M ) O(M) O(M)
- n n n 次查询：每次 O ( α ( M ) ) O(\alpha(M)) O(α(M))
- 总时间： O ( M + n α ( M ) ) ≈ O ( n ) O(M + n\alpha(M)) \approx O(n) O(M+nα(M))≈O(n)（实际接近线性）
空间复杂度
- 存储并查集： O ( M ) O(M) O(M)
- 结果数组： O ( n ) O(n) O(n)
- 总空间： O ( M ) O(M) O(M)
拓展思考
- 动态扩容：支持更大的数字范围
- 删除操作：支持数字释放
- 范围限制：设置最大可用数字上限
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总结
通过并查集的巧妙应用，我们实现了：
- 从暴力O(n²)到高效O(n)的飞跃
- 10⁵数据量轻松处理
- 清晰简洁的代码逻辑
小明终于可以高效处理大数组啦！🎉