408数据结构第8章：排序①——内部排序算法原理与过程

适用：考研408数据结构

章节：第8章排序

目标：先搞懂"每种排序到底在干什么"，重点掌握408最常考的一趟结果、时间复杂度、稳定性、适用场景。

一、排序这一章先抓住什么

408排序题基本绕不开四件事：

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1. 排序过程：一趟之后序列变成什么
2. 性质判断：稳定 / 不稳定，原地 / 非原地
3. 复杂度：最好、平均、最坏
4. 场景选择：基本有序、数据量大、外存、链表等该选谁

先不要急着背代码，先把每个算法的"动作特征"记住。

二、插入排序

1. 直接插入排序

核心思想：

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左边始终保持有序，
每次从右边拿一个元素，
插入到左边正确位置。

例如：

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初始：5 2 4 6 1 3

第一趟把2插入到5前：

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2 5 4 6 1 3

第二趟把4插入到2、5之间：

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2 4 5 6 1 3

408秒杀特征

看到：

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前面一段已经有序
下一个元素向前移动插入

就是直接插入排序。

性质

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最好：O(n)       ------ 原序列基本有序
平均：O(n^2)
最坏：O(n^2)     ------ 原序列逆序
空间：O(1)
稳定：是

特别适合

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数据量小
序列基本有序

2. 折半插入排序

和直接插入排序本质一样，只是：

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用折半查找寻找插入位置

所以它减少的是：

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比较次数

但是元素仍然要整体移动，因此：

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移动次数仍可能是O(n^2)

结论

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比较次数下降
整体时间复杂度仍是O(n^2)
稳定

408常见陷阱：

折半插入排序用了二分查找，所以时间复杂度是O(n log n)。

错误。

原因：

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找位置快了
移动元素仍然慢

3. 希尔排序

核心思想：

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先让相距较远的元素进行插入排序，
逐渐缩小间隔gap，
最后gap=1时再做一次插入排序。

可以理解成：

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把序列先"粗略排顺"
再慢慢变成真正有序

性质

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空间：O(1)
稳定：否
时间复杂度：依赖增量序列

408里不要强行背一个唯一复杂度。

重点记：

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希尔排序不稳定
属于插入排序的改进
增量最后必须为1

三、交换排序

1. 冒泡排序

核心思想：

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相邻元素两两比较，
逆序就交换，
一趟把一个最大元素"冒"到最后。

升序时第一趟：

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最大的元素到最右边

第二趟：

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次大的元素到倒数第二个位置

性质

带"本趟是否发生交换"的标志位时：

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最好：O(n)
平均：O(n^2)
最坏：O(n^2)
空间：O(1)
稳定：是

408识别点

如果题目说：

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一趟后最大元素一定归位

优先想到冒泡排序。

2. 快速排序

快速排序是408高频重点。

核心思想：

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选一个枢轴pivot，
通过一趟划分，
让pivot左边都不大于它，
右边都不小于它，
此时pivot最终位置确定。

然后：

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递归处理左区间和右区间

一趟划分最重要的结论

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一趟划分结束后：
pivot的位置已经最终确定

但：

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pivot左边内部不一定有序
pivot右边内部也不一定有序

性质

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最好：O(n log n)
平均：O(n log n)
最坏：O(n^2)

递归栈：
平均 O(log n)
最坏 O(n)

稳定：否

什么时候最坏

如果固定选第一个元素作为pivot，而序列已经：

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基本有序
或
完全逆序

可能每次都只能划出：

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0个元素 + n-1个元素

于是退化成：

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O(n^2)

什么时候最好

每次pivot都基本把序列平均分成两半：

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T(n) ≈ 2T(n/2) + O(n)

所以：

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O(n log n)

408秒杀口诀

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快排一趟：
枢轴归位
左右不一定有序

四、选择排序

1. 简单选择排序

核心思想：

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每一趟从未排序区间中找最小值，
放到当前最前面。

例如：

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5 2 4 1 3

第一趟找最小1：

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1 2 4 5 3

第二趟再从后面找最小2。

性质

无论原序列是否有序：

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比较次数基本不变

总比较次数：

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n(n-1)/2

所以：

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最好：O(n^2)
平均：O(n^2)
最坏：O(n^2)
空间：O(1)
稳定：否

特点

它的交换次数很少：

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最多n-1次

408会考：

哪种O(n^2)排序比较次数不受初始序列影响？

优先想到：

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简单选择排序

2. 堆排序

堆排序也是408重点。

升序排列一般建立：

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大根堆

原因：

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堆顶最大
每次把最大值交换到最后

然后缩小堆范围，再调整。

两个核心动作

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1. 建堆
2. 删除堆顶 + 向下调整

复杂度

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建堆：O(n)
每次调整：O(log n)
共做约n次

总时间：O(n log n)
空间：O(1)
稳定：否

而且：

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最好、平均、最坏都为O(n log n)

顺序存储下标

若从1开始编号：

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结点i的左孩子：2i
结点i的右孩子：2i+1
父结点：floor(i/2)

408高频

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升序 -> 大根堆
降序 -> 小根堆

不要记反。

五、归并排序

二路归并排序

核心思想：

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先把两个有序子序列合成一个更大的有序序列

不断两两合并：

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1个元素
-> 2个元素有序段
-> 4个元素有序段
-> 8个元素有序段
...

一次二路归并

例如：

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左：2 5 8
右：1 4 9

用两个指针比较：

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1 2 4 5 8 9

性质

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最好：O(n log n)
平均：O(n log n)
最坏：O(n log n)

额外空间：O(n)
稳定：是

适合

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链表
外部排序
需要稳定排序

408高频点

若有n个元素，二路归并趟数：

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ceil(log2 n)

六、基数排序

基数排序不靠关键字之间直接比较。

例如三位十进制数：

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LSD法：

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先按个位分配收集
再按十位
最后按百位

每一位都使用桶。

时间复杂度

设：

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n：元素个数
d：关键字位数
r：每一位可能的取值数

则：

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O(d(n+r))

空间：

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O(n+r)

稳定性：

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通常稳定

408重点

基数排序：

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不是比较排序

所以它不受比较排序：

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Ω(n log n)

这个下界限制。

七、九种算法先建立"动作记忆"

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直接插入：拿一个，向前插

折半插入：二分找位置，再移动

希尔：分组插入，gap逐渐减小

冒泡：相邻交换，大的往后冒

快速：pivot划左右，pivot归位

简单选择：每趟找最小放前面

堆排序：堆顶最大，交换到末尾

归并：两个有序段合成一个

基数：按个位、十位、百位分桶

八、408常见"看一趟结果猜算法"

如果一趟后：

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最大元素一定在最后

可能：

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冒泡

如果一趟后：

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某个pivot左边都更小
右边都更大
pivot最终位置确定

就是：

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快速排序

如果一趟后：

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第一个位置放上全局最小元素

可能：

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简单选择排序

如果前面一段始终保持有序

可能：

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直接插入排序

如果序列呈现"每隔gap一组分别有序"

可能：

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希尔排序

九、这一篇需要你掌握到什么程度

至少做到：

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看到算法名
-> 知道一趟在干什么

看到中间序列
-> 大概能判断是哪种排序

看到复杂度/稳定性选项
-> 能快速排除明显错误

下一篇专门整理：

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所有排序算法复杂度
稳定性
空间复杂度
初始序列影响
场景选择
外部排序
408选择题秒杀表