数据结构——树、二叉树基础概念

一、树

（一）树的定义

树（Tree）是 n（n>=0）个结点的有限集。n=0 时称为空树。在任意一棵非空树中：

（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；

该结点只有直接后继，没有直接前驱。

（2）当 n>1 时，其余结点可分为 m（m>0）个互不相交 的有限集 T1、T2、······、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

注意：

n>0 时根节点是唯一的，不可能存在多个根节点，数据结构中的树只能由一个根节点

m>0 时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。以下两个结构就不符合树的定义，因为它们都有相交的子树。

（二）树的几种表示形式

1.图形

2.嵌套集合

3.广义表

4.凹入表示法

（三）树的相关概念

1.树的结点

包含一个数据元素及若干指向其子树的分支

2.结点的度

结点拥有的子树数

3.树的度

树内各结点的度的最大值

4.叶子结点（终端结点）

度为0的结点

5.非叶子结点（分支结点/非终端结点）

度不为0的结点

除根结点之外，分支结点也称为内部结点

6.孩子结点（子结点）

结点的子树的根称为该结点的孩子

7.双亲结点（父结点）

相应的，该结点称为孩子的双亲

同一个双亲的孩子之间互称兄弟

8.结点的层次

从根结点开始定义起，根节点为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

树中结点的最大层次称为树的深度或高度

9.结点的深度

从根结点出发，到该结点的唯一路径上边的个数（根结点的深度是0）

10.结点的高度

从该结点出发，到其叶子结点的最长路径上边的个数（叶子结点的高度是0）

（四）线性结构 VS 树结构

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| 线性结构 | 树结构 |
| 第一个数据元素：无前驱 | 根结点：无双亲，唯一 |
| 最后一个数据元素：无后继 | 叶结点：无孩子，可以多个 |
| 中间元素：一个前驱一个后继 | 中间结点：一个双亲多个孩子 |

二、二叉树

（一）二叉树的定义

二叉树(BinaryTree)是 n(n≥0) 个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

换句话说，相较于树的定义来说，二叉树限制了每一个结点的孩子不能超过2个。

（二）二叉树的特点

每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。（换句话说，每个结点最多有2个孩子。）
左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

（三）二叉树的五种基本形态

（四）特殊二叉树

1.满二叉树（完美二叉树）

（1）定义

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

（2）特点

a.叶子结点只能出现在最下一层

b.非叶子结点的度一定是2

c.在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

2.完全二叉树

（1）定义

对一棵具有 n 个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i(1≤i≤n) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

换句话说，完全二叉树就是相较于满二叉树，最下面一层可以不用摆满结点，但是必须要靠左填充结点。

（2）特点

a.叶子结点只能出现在最下两层。

b.最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

c.倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。

d.如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。

e.同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

3.完满二叉树/严格二叉树/正则二叉树/哈夫曼树

（1）定义

除了叶子结点之外，其余结点只能有两个孩子。

换句话说，所有结点的度只能是0或2。

（五）二叉树的性质

性质1

在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1）

性质2

深度为k的二叉树至多有 2^k-1 个结点（k>=1）

性质3

对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为 n0，度为2的结点数为 n2，则 n0=n2+1

性质4

具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 $log2n$ +1( $x$ 表示不大于 x 的最大整数)。

性质5

如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树（其深度为 $log2n$ +1）的结点按层序编号（从第1层到第 $log2n$ +1 层，每层从左到右），对任一结点 i(1≤i≤n) 有:

如果 i=1，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i>1，则其双亲是结点 $i/2$
如果 2i>n，则结点 i 无左孩子(结点 i 为叶子结点)；否则其左孩子是结点2i
如果 2i+1>n，则结点 i 无右孩子；否则其右孩子是结点 2i+1

（六）二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系等。

如若遇到极端的情况，比如下图一棵深度为k的右斜树，只有k个结点，确需分配 2^k-1个存储单元空间，造成存储空间的浪费。

因此，只有完全二叉树或者近似于完全二叉树，才适合用顺序存储结构，普通二叉树并不适用。

2.链式存储结构

（1）二叉链表

由二叉树的定义得知，二叉树的结点由一个数据元素和分别指向其左、右子树的两个分支构成，则表示二叉树的链表中的结点至少包含3个域：数据域 和左、右指针域，这种链表称之为二叉链表。

cpp 复制代码

/* 有效结点设计 */
typedef int ElemType;

typedef struct BTNode
{
    ElemType data;             //数据域
    struct BTNode* leftchild;  //左孩子指针域
    struct BTNode* rightchild; //右孩子指针域
}BTNode;

（2）三叉链表

有时，为了便于找到结点的双亲，还可在结点结构中增加一个指向其双亲结点的指针域，这种链表称之为三叉链表。

cpp 复制代码

/* 有效结点设计 */
typedef int ElemType;

typedef struct BTNode
{
    ElemType data;             //数据域
    struct BTNode* leftchild;  //左孩子指针域
    struct BTNode* rightchild; //右孩子指针域
    struct BTNode* parent;     //双亲指针域
}BTNode;