矩阵杂题第二弹

文章目录

前言
题目梗概
参考解析
- [1.1 矩阵乘积可逆的循环证明](#1.1 矩阵乘积可逆的循环证明)
- [1.2 伴随矩阵秩与参数关系](#1.2 伴随矩阵秩与参数关系)
- [1.3 三阶秩1矩阵的n次幂](#1.3 三阶秩1矩阵的n次幂)
- [1.4 矩阵多项式求逆矩阵](#1.4 矩阵多项式求逆矩阵)
- [1.5 矩阵和的逆矩阵化简](#1.5 矩阵和的逆矩阵化简)
- [1.6 伴随矩阵等于转置求元素](#1.6 伴随矩阵等于转置求元素)
- [1.7 矩阵方程化简求逆](#1.7 矩阵方程化简求逆)
后话

前言

学到那的时候还学的不是很深，所以记下来的题目偏多一点，难度也偏低。

题目梗概

2026.6.13

矩阵1.1 矩阵乘积可逆的循环证明

设方阵 A , B , C A,B,C A,B,C满足 A B C = E ABC=E ABC=E，求证： B C A = E BCA=E BCA=E。
矩阵1.2 伴随矩阵秩与参数关系

设三阶矩阵 A = ( a b b b a b b b a ) A = \begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{pmatrix} A= abbbabbba ，若 r ( A ∗ ) = 1 r(A^*)=1 r(A∗)=1，求 a , b a,b a,b满足的条件。
矩阵1.3 三阶秩1矩阵的n次幂

设三阶矩阵

A = ( 1 2 − 1 − 2 − 4 2 3 6 − 3 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -4 & 2 \\ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix} A= 1−232−46−12−3

求 A n A^n An。
矩阵1.4 矩阵多项式求逆矩阵

设矩阵 A A A满足 A 2 + A − 4 E = 0 A^2 + A - 4E = \boldsymbol{0} A2+A−4E=0，求 ( A − E ) − 1 (A-E)^{-1} (A−E)−1。
矩阵1.5 矩阵和的逆矩阵化简

设四阶下三角矩阵

A = ( 1 0 0 0 − 2 3 0 0 0 − 4 5 0 0 0 − 6 7 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7 \end{pmatrix} A= 1−20003−40005−60007

E E E为四阶单位阵， B = ( E + A ) − 1 ( E − A ) B = (E+A)^{-1}(E-A) B=(E+A)−1(E−A)，求 ( E + B ) − 1 (E+B)^{-1} (E+B)−1。
矩阵1.6 伴随矩阵等于转置求元素

设三阶矩阵 A = ( a i j ) 3 × 3 A=(a_{ij}){3\times3} A=(aij)3×3满足 A ∗ = A T A^* = A^\mathrm{T} A∗=AT，若 a 11 , a 12 , a 13 a{11},a_{12},a_{13} a11,a12,a13为三个相等的正数，求 a 11 a_{11} a11的值。
矩阵1.7 矩阵方程化简求逆

设四阶矩阵

B = ( 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ) , C = ( 2 1 3 4 0 2 1 3 0 0 2 1 0 0 0 2 ) B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} B= 0000−10000−10000−10 ,C= 2000120031204312

矩阵 A A A满足 A ( E − C − 1 B ) T C T = E + A A(E-C^{-1}B)^\mathrm{T} C^\mathrm{T} = E + A A(E−C−1B)TCT=E+A，求 A A A。

参考解析

1.1 矩阵乘积可逆的循环证明

考察点 ：可逆矩阵定义、乘积的逆

题目：设方阵 A , B , C A,B,C A,B,C满足 A B C = E ABC=E ABC=E，求证： B C A = E BCA=E BCA=E。

证明：记 B C = P BC=P BC=P，则 A P = E AP=E AP=E。由可逆矩阵定义， P = A − 1 P=A^{-1} P=A−1，故 P A = E PA=E PA=E，即 B C A = E BCA=E BCA=E。

同理可证 C A B = E CAB=E CAB=E。

B C A = E \boxed{BCA = E} BCA=E

1.2 伴随矩阵秩与参数关系

考察点 ：伴随矩阵的秩、行列式计算

题目：设三阶矩阵 A = ( a b b b a b b b a ) A = \begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{pmatrix} A= abbbabbba ，若 r ( A ∗ ) = 1 r(A^*)=1 r(A∗)=1，求 a , b a,b a,b满足的条件。

解：由伴随矩阵秩的性质： r ( A ∗ ) = 1 ⟺ r ( A ) = 2 r(A^*)=1 \iff r(A)=2 r(A∗)=1⟺r(A)=2。

r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2等价于 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0且存在二阶非零子式。

计算行和相等型行列式：

∣ A ∣ = ∣ a b b b a b b b a ∣ = ( a + 2 b ) ( a − b ) 2 = 0 |A| = \begin{vmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{vmatrix} = (a+2b)(a-b)^2 = 0 ∣A∣= abbbabbba =(a+2b)(a−b)2=0

解得 a + 2 b = 0 a+2b=0 a+2b=0或 a = b a=b a=b。

若 a = b a=b a=b，则 r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1，对应 r ( A ∗ ) = 0 r(A^*)=0 r(A∗)=0，不符合题意，舍去。

因此条件为 a = − 2 b a=-2b a=−2b且 a ≠ 0 a \neq 0 a=0。

a = − 2 b ( a ≠ 0 ) \boxed{a = -2b \quad (a \neq 0)} a=−2b(a=0)

1.3 三阶秩1矩阵的n次幂

考察点 ：秩1矩阵分解、矩阵迹、幂运算公式

题目：设三阶矩阵

A = ( 1 2 − 1 − 2 − 4 2 3 6 − 3 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -4 & 2 \\ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix} A= 1−232−46−12−3

求 A n A^n An。

解：观察得 r ( A ) = 1 \mathrm{r}(A)=1 r(A)=1，可将 A A A分解为列向量左乘行向量：

A = α β T , α = ( 1 − 2 3 ) , β T = ( 1 2 − 1 ) A = \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}, \quad \boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\beta}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} A=αβT,α= 1−23 ,βT=(12−1)

由矩阵乘法结合律，秩1矩阵的幂满足：

A n = ( α β T ) n = α ( β T α ) n − 1 β T = ( β T α ) n − 1 A A^n = (\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T})^n = \boldsymbol{\alpha} (\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha})^{n-1} \boldsymbol{\beta}^\mathrm{T} = (\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha})^{n-1} A An=(αβT)n=α(βTα)n−1βT=(βTα)n−1A

计算内积（即矩阵的迹）：

β T α = t r ( A ) = 1 + ( − 4 ) + ( − 3 ) = − 6 \boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}\boldsymbol{\alpha} = \mathrm{tr}(A) = 1 + (-4) + (-3) = -6 βTα=tr(A)=1+(−4)+(−3)=−6

因此：

A n = ( − 6 ) n − 1 A A^n = (-6)^{n-1} A An=(−6)n−1A

A n = ( − 6 ) n − 1 ( 1 2 − 1 − 2 − 4 2 3 6 − 3 ) \boxed{A^n = (-6)^{n-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -4 & 2 \\ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix}} An=(−6)n−1 1−232−46−12−3

1.4 矩阵多项式求逆矩阵

考察点 ：零化多项式、逆矩阵定义

题目：设矩阵 A A A满足 A 2 + A − 4 E = 0 A^2 + A - 4E = \boldsymbol{0} A2+A−4E=0，求 ( A − E ) − 1 (A-E)^{-1} (A−E)−1。

解：对多项式因式分解，凑出 A − E A-E A−E因子：

( A − E ) ( A + 2 E ) = A 2 + 2 A − A − 2 E = A 2 + A − 2 E (A-E)(A+2E) = A^2 + 2A - A - 2E = A^2 + A - 2E (A−E)(A+2E)=A2+2A−A−2E=A2+A−2E

代入已知条件 A 2 + A = 4 E A^2+A=4E A2+A=4E，得：

( A − E ) ( A + 2 E ) = 4 E − 2 E = 2 E (A-E)(A+2E) = 4E - 2E = 2E (A−E)(A+2E)=4E−2E=2E

两边乘 1 2 \dfrac{1}{2} 21，由逆矩阵定义得：

( A − E ) − 1 = 1 2 ( A + 2 E ) \boxed{(A-E)^{-1} = \frac{1}{2}(A+2E)} (A−E)−1=21(A+2E)

1.5 矩阵和的逆矩阵化简

考察点 ：逆矩阵定义、矩阵恒等变形

题目：设四阶下三角矩阵

A = ( 1 0 0 0 − 2 3 0 0 0 − 4 5 0 0 0 − 6 7 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7 \end{pmatrix} A= 1−20003−40005−60007

E E E为四阶单位阵， B = ( E + A ) − 1 ( E − A ) B = (E+A)^{-1}(E-A) B=(E+A)−1(E−A)，求 ( E + B ) − 1 (E+B)^{-1} (E+B)−1。

解：将 B B B代入 E + B E+B E+B并恒等变形：

E + B = E + ( E + A ) − 1 ( E − A ) E+B = E + (E+A)^{-1}(E-A) E+B=E+(E+A)−1(E−A)

将 E E E改写为 ( E + A ) − 1 ( E + A ) (E+A)^{-1}(E+A) (E+A)−1(E+A)，提取公因子 ( E + A ) − 1 (E+A)^{-1} (E+A)−1：

E + B = ( E + A ) − 1 ( E + A ) + ( E + A ) − 1 ( E − A ) = ( E + A ) − 1 $( E + A ) + ( E - A )$ E+B = (E+A)^{-1}(E+A) + (E+A)^{-1}(E-A) = (E+A)^{-1}\left $(E+A)+(E-A)\\right$ E+B=(E+A)−1(E+A)+(E+A)−1(E−A)=(E+A)−1 $(E+A)+(E-A)$

化简括号内项：

( E + A ) + ( E − A ) = 2 E (E+A)+(E-A) = 2E (E+A)+(E−A)=2E

因此：

E + B = 2 ( E + A ) − 1 E+B = 2(E+A)^{-1} E+B=2(E+A)−1

两边同时取逆，得：

( E + B ) − 1 = 1 2 ( E + A ) (E+B)^{-1} = \frac{1}{2}(E+A) (E+B)−1=21(E+A)

代入 A A A计算：

E + A = ( 2 0 0 0 − 2 4 0 0 0 − 4 6 0 0 0 − 6 8 ) E+A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 8 \end{pmatrix} E+A= 2−20004−40006−60008

( E + B ) − 1 = 1 2 ( E + A ) = ( 1 0 0 0 − 1 2 0 0 0 − 2 3 0 0 0 − 3 4 ) \boxed{(E+B)^{-1} = \frac{1}{2}(E+A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 4 \end{pmatrix}} (E+B)−1=21(E+A)= 1−10002−20003−30004

1.6 伴随矩阵等于转置求元素

考察点 ：伴随矩阵性质、行列式按行展开

题目：设三阶矩阵 A = ( a i j ) 3 × 3 A=(a_{ij}){3\times3} A=(aij)3×3满足 A ∗ = A T A^* = A^\mathrm{T} A∗=AT，若 a 11 , a 12 , a 13 a{11},a_{12},a_{13} a11,a12,a13为三个相等的正数，求 a 11 a_{11} a11的值。

解：由伴随矩阵性质 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^* = |A|E AA∗=∣A∣E，代入 A ∗ = A T A^*=A^\mathrm{T} A∗=AT得：

A A T = ∣ A ∣ E AA^\mathrm{T} = |A| E AAT=∣A∣E

两边取行列式： ∣ A ∣ ⋅ ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ 3 |A| \cdot |A^\mathrm{T}| = |A|^3 ∣A∣⋅∣AT∣=∣A∣3，即 ∣ A ∣ 2 = ∣ A ∣ 3 |A|^2 = |A|^3 ∣A∣2=∣A∣3，解得 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0或 ∣ A ∣ = 1 |A|=1 ∣A∣=1。

若 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0，则 A A T = 0 AA^\mathrm{T}=\boldsymbol{0} AAT=0，得 A = 0 A=\boldsymbol{0} A=0，与 a 11 a_{11} a11为正数矛盾，故 ∣ A ∣ = 1 |A|=1 ∣A∣=1。

将 ∣ A ∣ |A| ∣A∣按第一行展开，由 A ∗ = A T A^*=A^\mathrm{T} A∗=AT知 A i j = a i j A_{ij}=a_{ij} Aij=aij，因此：

∣ A ∣ = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = a 11 2 + a 12 2 + a 13 2 = 3 a 11 2 = 1 |A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = 3a_{11}^2 = 1 ∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112=1

解得 a 11 = 3 3 a_{11} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} a11=33 （取正数解）。

a 11 = 3 3 \boxed{a_{11} = \frac{\sqrt{3}}{3}} a11=33

1.7 矩阵方程化简求逆

考察点 ：矩阵转置运算、逆矩阵求解、矩阵方程化简

题目：设四阶矩阵

B = ( 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ) , C = ( 2 1 3 4 0 2 1 3 0 0 2 1 0 0 0 2 ) B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} B= 0000−10000−10000−10 ,C= 2000120031204312

矩阵 A A A满足 A ( E − C − 1 B ) T C T = E + A A(E-C^{-1}B)^\mathrm{T} C^\mathrm{T} = E + A A(E−C−1B)TCT=E+A，求 A A A。

解：先化简等式左边，利用转置运算性质 ( X Y ) T = Y T X T (XY)^\mathrm{T}=Y^\mathrm{T}X^\mathrm{T} (XY)T=YTXT：

A ( E − C − 1 B ) T C T = A $C ( E - C - 1 B )$ T = A ( C − B ) T A(E-C^{-1}B)^\mathrm{T} C^\mathrm{T} = A \left $C(E-C\^{-1}B) \\right$ ^\mathrm{T} = A (C - B)^\mathrm{T} A(E−C−1B)TCT=A $C(E-C-1B)$ T=A(C−B)T

原方程化为：

A ( C − B ) T = E + A A (C-B)^\mathrm{T} = E + A A(C−B)T=E+A

移项并提取公因子 A A A：

A $( C - B ) T - E$ = E A\left $(C-B)\^\\mathrm{T} - E\\right$ = E A $(C-B)T-E$ =E

由逆矩阵定义， A = $( C - B ) T - E$ − 1 A = \left $(C-B)\^\\mathrm{T} - E\\right$ ^{-1} A= $(C-B)T-E$ −1。

计算 C − B C-B C−B：

C − B = ( 2 2 3 4 0 2 2 3 0 0 2 2 0 0 0 2 ) C-B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} C−B= 2000220032204322

转置后减单位阵：

( C − B ) T − E = ( 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 ) (C-B)^\mathrm{T} - E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} (C−B)T−E= 1234012300120001

求其逆矩阵（下三角矩阵，逆仍为下三角）：

$( C - B ) T - E$ − 1 = ( 1 0 0 0 − 2 1 0 0 1 − 2 1 0 0 1 − 2 1 ) \left $(C-B)\^\\mathrm{T} - E\\right$ ^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} $(C-B)T-E$ −1= 1−21001−21001−20001

即

A = ( 1 0 0 0 − 2 1 0 0 1 − 2 1 0 0 1 − 2 1 ) \boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}} A= 1−21001−21001−20001

后话

基本功扎实是最重要的，在结合一些做题技巧效果更好。