01背包：动态规划的Hello World

01背包问题 是动态规划中最经典的入门问题。它的核心是：每种物品只有一件，要么选（1），要么不选（0），在背包容量有限的情况下，让总价值最大。

1. 问题描述

有 N 件物品，背包容量为 V
第 i 件物品：重量 w[i]，价值 v[i]
每件物品只能选一次
求不超过背包容量的最大价值

2. 核心思路（动态规划）

定义：dp[j] = 容量为 j 的背包能装的最大价值

状态转移方程（一维优化版）：

text

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dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])

不选第 i 件：dp[j] 保持不变
选第 i 件：容量减少 w[i]，价值增加 v[i]
取两者最大值

3. 关键注意事项

遍历顺序必须从大到小（逆序）

原因：一维数组会覆盖历史数据，逆序保证 dp[j - w[i]] 用的是**上一轮（未选当前物品）**的状态，避免同一件物品被重复选取（完全背包才正序）。

4. C++ 完整代码

cpp

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;  // 物品数量，背包容量

    vector<int> w(N + 1), v(N + 1);
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }

    // dp[j] 表示容量为 j 的背包能装的最大价值
    vector<int> dp(V + 1, 0);

    // 遍历每件物品
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        // 逆序遍历容量，从 V 到 w[i]
        for (int j = V; j >= w[i]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
        }
    }

    cout << dp[V] << endl;
    return 0;
}

5. 输入输出示例

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（选择物品1和3，重量1+3=4，价值2+4=6；或物品2和3，重量2+3=5，价值4+4=8）

6. 两种写法对比

写法	数组维度	遍历顺序	空间复杂度
二维dp	`dp[N+1][V+1]`	正序	O(NV)
一维dp（滚动数组）	`dp[V+1]`	容量逆序	O(V)

一维写法是竞赛中最常用的，必须掌握。

7. 常见易错点

❌ 容量循环写成正序 → 变成完全背包（物品可重复选）
❌ 内层循环从 0 到 V → 同样错误
❌ 忘记初始化 dp 为 0 → 默认值要保证正确
❌ 边界条件：j >= w[i] 才更新，否则越界

8. 扩展：如果需要恰好装满

初始化时：

cpp

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dp[0] = 0;
for (int j = 1; j <= V; j++) dp[j] = -INF;

最后判断 dp[V] < 0 则无法恰好装满。