【数据结构】串的模式匹配：KMP算法（重点）

考点频率 ：★★★★★（数据结构必考，选择题常考next数组的计算，下午题偶尔出现）

难度：⭐⭐⭐⭐⭐（数据结构中最难理解的内容之一）

建议：重点掌握next数组的推导方法，理解KMP如何避免主串指针回溯，会手动计算next数组值

1️⃣ 什么是串的模式匹配？

模式匹配 是指：在主串（目标串） 中查找模式串（子串） 的位置。

主串：被查找的字符串，如 "ABABCABAB"（可以理解为"长文本"）
模式串 ：要查找的字符串，如 "ABAB"（可以理解为"关键词"）

生活类比 ：你在Word里按 Ctrl+F 搜索一个词，Word会在整篇文档（主串）里找这个词（模式串），并告诉你它在第几页第几行------这就是模式匹配。

2️⃣ 朴素匹配（BF算法）的痛点

朴素匹配（Brute-Force，BF） 是最直接的思路：从主串的每个位置开始，逐个字符与模式串比较，匹配失败就回溯到下一个位置重新开始。

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主串：A B A B C A B A B
模式：A B A B

第1轮：A B A B ✅ 匹配成功！

（这就是为什么它叫"暴力"------它从主串的每个位置都试一遍，直到找到匹配或试完所有位置）

BF的时间复杂度 ：O(n×m)O(n \times m)O(n×m)，其中 nnn 是主串长度，mmm 是模式串长度。最坏情况下（如主串为 "AAAA...AB"，模式串为 "AAAA...AC"），几乎每个位置都要比较 mmm 次。

BF的痛点 ：每次匹配失败后，主串的指针要回溯到开始位置的下一个字符，之前比较过的信息全部丢弃，导致大量重复比较。

3️⃣ KMP算法的核心思想

KMP算法 （Knuth-Morris-Pratt）的核心是：匹配失败时，主串指针不回溯，只移动模式串指针。

主串指针（i）：只前进，不后退
模式串指针（j） ：根据 next 数组回退到某个位置，继续匹配

生活类比：你看一本书找一句话。BF算法是：每次发现不对，就把书合上，翻回开头下一页重新看。KMP是：你手里夹着一张书签（next数组），发现不对时，书签告诉你"别翻回去，从书签标记的那一页接着看就行"------你只往前翻，永远不往回翻。

KMP的工作流程

主串指针 i 从 0 开始，模式串指针 j 从 0 开始
如果 主串[i] == 模式串[j]，i++，j++
如果 j 已经到达模式串末尾 → 匹配成功，返回 i - j
如果 主串[i] != 模式串[j]：
- 如果 j == 0：i++（第一个字符都不匹配，主串指针前移一位）
- 否则：j = next[j]（模式串指针回退到 next[j]，主串指针 i 不动）

4️⃣ next数组的含义（核心）

next[j] 表示：当模式串中第 j 个字符与主串不匹配时，模式串指针应该回退到的位置。

next 数组的值仅取决于模式串本身 ，与主串无关。这意味着，对于任意给定的模式串，我们只需要事先算好一个固定的 next 数组，就可以在任何主串中使用它来加速匹配------一次计算，到处使用。

核心理解 ：next[j] 是模式串前 j 个字符中，最长相等前后缀的长度。它是一个"真前缀"与"真后缀"的匹配度，表示当匹配失败时，模式串可以"复用"多少已经比较过的信息。

具体含义 ：当模式串的 j 位置匹配失败时（即 主串[i] != 模式串[j]），模式串的 j 指针回退到 next[j]，继续与主串的当前位置 i 比较 （主串指针 i 不动）。

5️⃣ 如何手工计算 next 数组

5.1 前缀、后缀、最长相等前后缀

前缀：除最后一个字符外，从第一个字符开始的连续子串
后缀：除第一个字符外，到最后一个字符结束的连续子串
最长相等前后缀：前缀集合和后缀集合的交集中，长度最长的那个

示例：模式串 "ABAB"，计算前3个字符 "ABA" 的最长相等前后缀。

前缀："A"，"AB"

后缀："A"，"BA"

交集："A"

最长相等前后缀长度 = 1

5.2 手算 next 数组（下标从 0 开始）

设模式串为 P，长度为 m。next[0] = -1（第一个字符不匹配时，主串指针前移）。

对于 j >= 1，next[j] = 模式串 P[0..j-1] 中最长相等前后缀的长度。

模式串	j	前 j 个字符	最长相等前后缀长度	next $j$
`"ABAB"`	0	-	-	-1
	1	`"A"`	0	0
	2	`"AB"`	0	0
	3	`"ABA"`	1（`"A"`）	1

所以 next = [-1, 0, 0, 1]

5.3 另一种常见定义（下标从 1 开始，考试可能遇到）

有些教材中，next[1] = 0，next[j] = 模式串 P[1..j-1] 中最长相等前后缀长度 + 1。

这种定义下，next 数组的值整体比下标从0开始的定义大1。考试中如果遇到，看清题目给出的定义方式，按照题目给定的定义来计算。

6️⃣ KMP算法的匹配过程示例

主串："ABABCABAB"

模式串 ："ABAB"

next ：[-1, 0, 0, 1]

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第1轮：i=0, j=0
主串：A B A B C A B A B
模式：A B A B
       ↑
匹配：A == A ✅ → i=1, j=1

第2轮：i=1, j=1
主串：A B A B C A B A B
模式：A B A B
         ↑
匹配：B == B ✅ → i=2, j=2

第3轮：i=2, j=2
主串：A B A B C A B A B
模式：A B A B
           ↑
匹配：A == A ✅ → i=3, j=3

第4轮：i=3, j=3
主串：A B A B C A B A B
模式：A B A B
             ↑
匹配：B == B ✅ → i=4, j=4

第5轮：j == 4（模式串长度），匹配成功！
匹配位置 = i - j = 4 - 4 = 0（主串中从下标0开始的子串匹配）

实际上KMP的优势主要体现在匹配失败时。上面的例子匹配过程非常顺利，没有触发回退。为了更好地展示KMP的"主串指针不回溯"特点，下面换一个更典型的场景：

场景：主串 "ABABABC"，模式串 "ABABC"，匹配到第5个字符时失败。

复制代码

第1-4轮：A B A B 都匹配成功（i=4, j=4）
第5轮：主串[i] = A，模式串[j] = C → 匹配失败！
此时主串指针 i=4（指向'A'），模式串指针 j=4（指向'C'）

BF做法：i 回溯到 1，重新从模式串第0位开始比较 → 已比较的信息全丢失
KMP做法：查 next[4] = 1，j = 1，i 不动（仍为4）
模式串指针从1开始继续与主串的 i=4 位置比较

主串指针 i 没有回溯，这就是KMP效率高的根本原因。

7️⃣ KMP vs BF 对比

对比项	BF（朴素匹配）	KMP
主串指针	匹配失败时回溯	永不回溯
模式串指针	每次都回到0	根据next数组回退
时间复杂度	O(n×m)O(n \times m)O(n×m)	O(n+m)O(n + m)O(n+m)
额外空间	无	O(m)O(m)O(m)（next数组）
预处理	无	需要计算next数组

8️⃣ 经典例题

例题1 ：模式串 "ABCDABD" 的 next 数组（下标从0开始）为（　）。

解析：

next[0] = -1
j=1：前1个字符 "A" → 最长相等前后缀长度 0 → next[1] = 0
j=2：前2个字符 "AB" → 最长相等前后缀长度 0 → next[2] = 0
j=3：前3个字符 "ABC" → 最长相等前后缀长度 0 → next[3] = 0
j=4：前4个字符 "ABCD" → 最长相等前后缀长度 0 → next[4] = 0
j=5：前5个字符 "ABCDA" → 前缀 "A" = 后缀 "A" → 长度 1 → next[5] = 1
j=6：前6个字符 "ABCDAB" → 前缀 "AB" = 后缀 "AB" → 长度 2 → next[6] = 2

答案：[-1, 0, 0, 0, 0, 1, 2]

例题2 ：已知模式串 P = "ABABC"，next 数组为 [-1, 0, 0, 1, 2]。当匹配到 j=4 时失配，模式串指针应回退到（　）。

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

解析：next[4] = 2，回退到 2。选 C。

例题3（判断）：KMP算法中，当匹配失败时，主串指针需要回溯到之前的位置重新比较。（　）

解析：错误。KMP的核心优势就是主串指针永不回溯，只移动模式串指针。

9️⃣ 记忆口诀

KMP核心不回溯，主串指针只前进。

next数组看模式，最长相等前后缀。

next[0] = -1，next[j] 算前 j 个字符的最长相等前后缀长度。

匹配失败看 next，模式指针跳过去。

🔟 小测验（评论区对答案）

模式串 "AAAB" 的 next 数组（下标从0开始）为（　）。

A. [-1, 0, 0, 0]

B. [-1, 0, 1, 1]

C. [-1, 0, 1, 2]

D. [-1, 0, 0, 1]

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