机械设计制造及其自动化/ 机械电子工程 / 机电一体化技术(四自由度的工业机器人)

机械设计制造及其自动化/ 机械电子工程 / 机电一体化技术(四自由度的工业机器人)

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摘 要

在当今大规模制造业中，企业为提高生产效率，保障产品质量，普遍重视生产过程的自动化程度，工业机器人作为自动化生产线上的重要成员，逐渐被企业所认同并采用。工业机器人的技术水平和应用程度在一定程度上反映了一个国家工业自动化的水平，目前，工业机器人主要承担着焊接、喷涂、搬运以及堆垛等重复性并且劳动强度极大的工作，工作方式一般采取示教再现的方式。

本文将设计一台四自由度的工业机器人，用于给冲压设备运送物料。首先，本文将设计机器人的底座、大臂、小臂和机械手的结构，然后选择合适的传动方式、驱动方式，搭建机器人的结构平台；在此基础上，本文将设计该机器人的控制系统，包括数据采集卡和伺服放大器的选择、反馈方式和反馈元件的选择、端子板电路的设计以及控制软件的设计，重点加强控制软件的可靠性和机器人运行过程的安全性，最终实现的目标包括：关节的伺服控制和制动问题、实时监测机器人的各个关节的运动情况、机器人的示教编程和在线修改程序、设置参考点和回参考点。

关键词： 机器人，示教编程，伺服，制动

• 第1章 绪论
• 1.1 机器人概述
• 1.2 机器人的历史、现状
• 1.3 机器人的发展趋势
• 第2章 机器人实验平台介绍及机械手的设计
• 2.1自由度及关节
• 2.2 基座及连杆
• 2.2.1 基座
• 2.2.2 大臂
• 2.2.3 小臂
• 2.3 机械手的设计
• 2.4 驱动方式
• 2.5 传动方式
• 2.6 制动器
• 第3章 控制系统硬件
• 3.1 控制系统模式的选择
• 3.2 控制系统的搭建
• 3.2.1 工控机
• 3.2.2 数据采集卡
• 3.2.3 伺服放大器
• 3.2.4 端子板
• 3.2.5电位器及其标定
• 3.2.6电源
• 第4章 控制系统软件
• 4.1预期的功能
• 4.2 实现方法
• 4.2.1实时显示各个关节角及运动范围控制
• 4.2.2直流电机的伺服控制
• 4.2.3电机的自锁
• 4.2.4示教编程及在线修改程序
• 4.2.5设置参考点及回参考点
• 第5章 总结
• 5.1 所完成的工作
• 5.2 设计经验
• 5.3 误差分析
• 5.4 可以继续探索的方向

第1章 绪论

1.1 机器人概述

在现代工业中，生产过程的机械化、自动化已成为突出的主题。化工等连续性生产过程的自动化已基本得到解决。但在机械工业中，加工、装配等生产是不连续的。专用机床是大批量生产自动化的有效办法；程控机床、数控机床、加工中心等自动化机械是有效地解决多品种小批量生产自动化的重要办法。但除切削加工本身外，还有大量的装卸、搬运、装配等作业，有待于进一步实现机械化。机器人的出现并得到应用，为这些作业的机械化奠定了良好的基础。

"工业机器人"（Industrial Robot）：多数是指程序可变（编）的独立的自动抓取、搬运工件、操作工具的装置（国内称作工业机器人或通用机器人）。

机器人是一种具有人体上肢的部分功能，工作程序固定的自动化装置。机器人具有结构简单、成本低廉、维修容易的优势，但功能较少，适应性较差。目前我国常把具有上述特点的机器人称为专用机器人，而把工业机械人称为通用机器人。

简而言之，机器人就是用机器代替人手，把工件由某个地方移向指定的工作位置，或按照工作要求以操纵工件进行加工。

机器人一般分为三类。第一类是不需要人工操作的通用机器人，也即本文所研究的对象。它是一种独立的、不附属于某一主机的装置，可以根据任务的需要编制程序，以完成各项规定操作。它是除具备普通机械的物理性能之外，还具备通用机械、记忆智能的三元机械。第二类是需要人工操作的，称为操作机（Manipulator）。它起源于原子、军事工业，先是通过操作机来完成特定的作业，后来发展到用无线电讯号操作机器人来进行探测月球等。工业中采用的锻造操作机也属于这一范畴。第三类是专业机器人，主要附属于自动机床或自动生产线上，用以解决机床上下料和工件传送。这种机器人在国外通常被称之为"Mechanical Hand"，它是为主机服务的，由主机驱动。除少数外，工作程序一般是固定的，因此是专用的。

机器人按照结构形式的不同又可分为多种类型，其中关节型机器人以其结构紧凑，所占空间体积小，相对工作空间最大，甚至能绕过基座周围的一些障碍物等这样一些特点，成为机器人中使用最多的一种结构形式，世界一些著名机器人的本体部分都采用这种机构形式的机器人。

要机器人像人一样拿取东西，最简单的基本条件是要有一套类似于指、腕、臂、关节等部分组成的抓取和移动机构------执行机构；像肌肉那样使手臂运动的驱动－传动系统；像大脑那样指挥手动作的控制系统。这些系统的性能就决定了机器人的性能。一般而言，机器人通常就是由执行机构、驱动－传动系统和控制系统这三部分组成，如图 1-1 所示。

对于现代智能机器人而言，还具有智能系统，主要是感觉装置、视觉装置和语言识别装置等。目前研究主要集中在赋予机器人"眼睛"，使它能识别物体和躲避障碍物，以及机器人的触觉装置。机器人的这些组成部分并不是各自独立的，或者说并不是简单的叠加在一起，从而构成一个机器人的。要实现机器人所期望实现的功能，机器人的各部分之间必然还存在着相互关联、相互影响和相互制约。它们之间的相互关系如图1-2 所示。

机器人机械系统核心分为执行机构与驱动-传动系统两大模块。执行机构是机器人完成作业任务的实体载体，由连杆、转动/移动关节串联或并联构成，依托驱动-传动系统输出动力，接收上层控制系统指令完成抓取、搬运、加工等标准化作业。驱动-传动系统包含驱动单元与传动机构两部分：驱动单元为各关节提供基础动力源，涵盖伺服电机、步进电机、液压驱动装置；传动机构则通过减速器、同步带、丝杠等部件转换输出扭矩、转速，匹配关节运动速度与负载力矩需求。

行业经典三分法将机器人整体划分为机械系统、驱动系统、控制系统，其中机械系统也被称作操作机（Manipulator），对应前文所述纯机械执行机构；驱动、控制为独立配套子系统，三者协同构成完整机器人整机。近年来随着模块化开放架构普及，三者硬件、软件接口逐步标准化，打破了早期设备封闭割裂的局限。

1.2 工业机器人发展历史与当下技术现状

1.2.1 全球工业机器人发展起源与早期阶段

工业机器人的研发起源于美国。1958年美国联合控制公司推出全球首台工业机器人，设备搭载回转长臂结构，末端配备电磁式工件抓取装置，采用示教再现式控制逻辑，仅可重复执行预先录入的固定动作，是第一代示教机器人的雏形。

日本是全球工业机器人产业化、规模化落地最快的国家。1969年日本企业引进美国Unimate、Versatran两款初代工业机器人后，依托汽车制造业庞大需求快速开展本土化改良与自研，仅十余年就实现整机、核心零部件国产化，产业规模与应用密度快速超越欧美。

按照传统代际划分，早期工业机器人以第一代示教再现机型为主，采用开环控制架构，无环境感知、自主调整能力，行业优化方向集中在硬件成本压缩、重复定位精度提升；第二代感知型机器人搭载微型计算机控制器，集成视觉、触觉、力觉传感器，可采集环境数据形成闭环反馈控制，近十年伴随AI视觉、柔性力控技术实现大规模商用；第三代智能自主机器人（当前主流研发方向，又称具身智能机器人）能够独立完成复杂流程任务，可与MES、数字孪生平台、柔性制造系统FMS、柔性制造单元FMC实时互联，成为智能制造产线的核心执行单元，不再局限于单一固定工序。

国际学术交流体系也随产业发展持续完善，国际工业机器人会议ISIR保持年度举办机制，围绕机器人控制算法、柔性集成、人机协作、具身智能等前沿方向开展全球研讨；除此以外，机器人+、世界机器人大会等新型行业会议兴起，重点落地国产技术成果转化、多场景落地解决方案交流。

1.2.2 传统工业机器人应用局限与现代技术突破

早期工业机器人集中应用于机床上下料、冲压、焊接、喷涂、高温热处理、物料装卸搬运等重复性工序，主要替代粉尘、高温、强噪声、狭小密闭空间等高危、不适宜人工作业的场景。传统封闭架构机器人存在明显短板：仅能严格按照预设程序运行，缺乏环境感知与自适应调整能力，一旦工件来料尺寸、摆放位置出现微小偏差，极易引发工件报废、机械臂碰撞损坏设备。

伴随智能制造、大模型具身智能技术快速迭代，制造业对机器人系统提出全新要求：生产模式转向多品种、小批量柔性制造，要求机器人具备快速换产能力、通用化编程环境；计算机集成制造CIM体系全面普及，机器人需要与车间AGV、检测设备、仓储系统、数字孪生平台无缝集成；行业对智能化需求提升，要求机器人兼容多类型外部传感器、支持自定义控制算法迭代。

早年商用机器人普遍采用封闭专用架构：配套专属控制器、定制化上位主机、私有机器人离线编程语言，控制算法固化于EPROM芯片中，外部硬件、第三方软件无法兼容对接，功能修改、场景拓展成本极高，硬件重构难度大。近十年行业核心解决方案为开放式机器人控制系统，主流厂商推出标准化接口、开源控制框架，支持用户自主接入视觉、力觉、激光雷达等传感器，兼容Python、C++、大模型推理框架二次开发，大幅降低产线集成、算法迭代成本。同时四轴码垛、六轴协作、多自由度专用机器人全部实现架构开放化，适配新能源、3C、物流等多元行业柔性生产需求。

1.2.3 美国工业机器人技术发展阶段复盘

美国作为机器人技术发源地，其产业发展可划分为三个典型阶段：

1. 1963---1967年 试验定型阶段
   1963至1966年，万能自动化公司推出初代工业机器人样机，面向汽车、机械加工企业开展工艺验证试验；1967年完成标准化定型，推出1900系列量产机型，奠定商用机器人机械结构、示教控制基础。
2. 1968---1970年 规模化落地应用阶段
   工业机器人正式批量进入北美汽车制造产线，1968年通用汽车批量采购68台工业机器人；1969年自研SAM系列新型机器人，搭建由21台机器人组成的车身焊接自动化产线；同期克莱斯勒汽车为32条冲压产线配套448台物料搬运机器人，覆盖冲压全流程上下料工序。
3. 1970年至今 技术迭代与全球化推广阶段
   1970至1972年行业进入技术高速迭代周期，1970年美国首届全国工业机器人会议在伊利诺伊工学院举办，彼时全美工业机器人保有量约200台，累计作业时长突破60万小时。同期高端机器人研发初见成果：森德斯兰德公司开发小型计算机集群控制系统，单台计算机可统一调度50台机器人协同作业；万能自动化搭建25台机器人联动的汽车轮毂全自动生产线；麻省理工学院研发搭载手眼视觉系统的微型智能机器人，初步实现工件自主识别抓取。

当前美国机器人企业持续深耕高端控制器、机器视觉、人形机器人、工业大模型底层算法，聚焦半导体、航空航天精密制造等高附加值场景，开放式控制架构、数字孪生仿真平台为核心技术优势。

1.2.4 全球其他国家机器人产业发展概况

日本、西欧、俄罗斯等国家均在1967---1968年以美国Unimate、Versatran机器人为蓝本启动自研工作。日本产业化路径极具代表性：1967年丰田织机、川崎重工分别引进两款美国初代机器人，通过技术消化、仿制、二次创新快速完成国产化替代，仅10年就全面实现设备普及，1980年进入全行业大规模应用时代，至今在四轴码垛、小型多关节机器人、精密减速器领域保有成熟产业链优势。

我国工业机器人起步时间仅比日本晚5至6年，但受早期工业基础、产业链配套限制，产业发展速度长期滞后。近二十年依托政策扶持、制造业海量市场需求实现跨越式发展，连续12年稳居全球第一大工业机器人应用市场，2024年自主品牌工业机器人国内市场占有率突破58.5%，RV减速器、伺服电机、控制器等核心零部件逐步摆脱进口依赖。当前国内形成完整四轴、六轴、协作机器人产品矩阵，广泛应用于新能源电池、物流码垛、汽车焊接、3C装配等场景；依托大模型、具身智能技术，国产机器人集成AI视觉、柔性力控、自然语言交互能力，可自主识别工件、动态规划运动轨迹，适配多品种柔性产线；同时开放式控制系统全面普及，支持与国产MES、数字孪生平台深度联动，FMS柔性制造单元、CIM集成产线落地规模持续扩大。现阶段行业遵循《"机器人+"应用行动实施方案》，持续推进高危场景、轻工业、农业特种机器人规模化替代，工业机器人出口量连续多年高速增长，从设备进口国转型为智能制造整体方案输出国。

1.3 工业机器人未来发展趋势

伴随智能制造、数字孪生与新一代人工智能技术持续落地，机器人本体设计、制造工艺与成套集成能力实现全方位升级。工业机器人作为柔性制造单元（FMC）、柔性制造系统（FMS）的核心执行装备，正在深度重构传统机械加工、装配、物流作业模式，逐步替代重复性、高危人工工序，持续提升整条产线的生产节拍与综合运营效率。结合当下产业技术迭代现状，现代工业机器人主要呈现以下四大核心发展方向：

a) 轻量化、高速高精度与模块化标准化集成

当前行业持续追求机器人运动性能与通用化能力同步升级。一方面通过优化臂架拓扑结构、采用铝合金、碳纤维等轻质高强度复合材料，降低整机自重与设备占地面积；同时搭配高刚性精密减速器、全闭环伺服控制算法，大幅提升关节运动速度、重复定位精度与轨迹平稳性。

另一方面全面推进功能部件标准化、模块化设计，将机械执行模块、伺服驱动模块、运动控制模块、视觉检测模块设计为通用独立单元。企业可根据码垛、上下料、精密装配等不同工序需求，自由组合各类标准模块，快速搭建四自由度码垛、六轴多关节、协作机器人等差异化机型，缩短新品开发周期与设备改造成本。

b) 多构型多自由度特种机器人结构创新

针对细分行业差异化作业场景，各类新型机器人本体结构持续迭代研发：面向半导体、精密电子封装场景，开发微米级微动执行机构，满足超高精度微量操作需求；面向复杂装配、柔性抓取场景，研发冗余多自由度机械臂与仿生多指灵巧手，实现异形工件自适应夹持；面向仓储物流、户外运维、巡检场景，落地轮式、履带式、复合行走移动机器人，搭配多关节机械臂形成移动操作一体化装备，适配地面、高空、狭小密闭等多元作业环境。其中四自由度平面关节机器人凭借成本低、占地小、运动稳定的优势，已成为包装码垛、机床上下料场景的主流标准化机型。

c) 多传感器融合感知与智能自主控制

单一示教再现模式已无法满足柔性生产需求，多类型传感元器件集成成为标配。除传统2D视觉、接触式触觉、激光测距传感器外，3D深度相机、六维力传感器、声学听觉传感器、温湿度检测单元被大规模搭载于机器人本体。机器人通过多传感器实时采集工件位置、外形尺寸、环境障碍、接触受力等多维信息，完成工件分类、缺陷检测、障碍物规避等自主模式识别任务。

在控制层面，传统微机控制框架持续升级，融合专家系统、模糊PID、强化学习、工业大模型等智能算法。系统可基于感知信息自主完成运动轨迹规划、故障诊断与工艺参数自适应调整，摆脱对人工示教、固定程序的依赖；同时开放式控制系统架构打通传感器、机器人、车间MES平台的数据交互通道，实现整机全流程数字化管控。

d) 延伸补充：当下新增前沿发展趋势

结合近五年产业技术变革，在原文三大趋势基础上补充行业公认的前沿方向，丰富论文内容：

1. 人机协同安全化：协作机器人普及，搭载碰撞检测、力反馈安全机制，无需安全围栏即可与人同步作业，适配小批量柔性装配场景；
2. 开放化与数字孪生仿真：标准化通用通讯协议普及，支持第三方视觉、算法软件二次开发；依托数字孪生平台提前完成机器人运动仿真、产线布局调试，降低现场调试周期；
3. 智能化与大模型具身智能：工业大模型嵌入机器人控制系统，支持自然语言示教、复杂任务自主拆解、工艺故障自主推理；
4. 绿色节能化：高效伺服电机、轻量化结构降低整机能耗，配套能耗监测模块，满足工厂绿色生产管控要求；
5. 国产化核心部件自主化：伺服电机、精密减速器、控制器等核心零部件国产替代加速，降低整机采购与维护成本。

第2章 实验平台介绍及机械手的设计

该设计的目的是为了设计一台物料搬运机器人，利用现有已经报废的焊接机器人，本文的中结构设计主要偏向于对原有机构的改造和机械手的设计。

2.1自由度及关节

图1

该机器人具有四个自由度 ，即腰关节、肩关节、肘关节和腕关节，都为转动关节；还有一个用于夹持物料的机械手。

2.2基座及连杆

2.2.1 基座

基座是整个机器人本体的支撑。为保证机器人运行的稳定性，采用两块"Z"字形实心铸铁作支撑。

基座上面是接线盒子，所有电机的驱动信号和反馈信号都从中出入。接线盒子外面，有一个引入线出口和一个引出线出口。

2.2.2 大臂

大臂长度230mm，具体尺寸如图2.1所示：

2.2.3 小臂

小臂长度240mm，具体尺寸如图2.2所示：

图2.2 小臂外形

2.3机械手的设计

工业机器人的手又称为末端执行器，它使机器人直接用于抓取和握紧（吸附）专用工具（如喷枪、扳手、焊具、喷头等）进行操作的部件。它具有模仿人手动作的功能，并安装于机器人手臂的前端。由于被握工件的形状、尺寸、重量、材质及表面状态等不同，因此工业机器人末端操作器是多种多样的，大致可分为以下几类：

（1） 夹钳式取料手

（2） 吸附式取料手

（3） 专用操作器及转换器

（4） 仿生多指灵巧手

本文设计对象为物料搬运机器人，并不需要复杂的多指人工指，只需要设计能从不同角度抓取工件的钳形指。

手指是直接与工件接触的部件。手指松开和夹紧工件，是通过手指的张开与闭合来实现的。该设计采用两个手指，其外形如图2.3所示

图2.3 机械手手指形状

传动机构是向手指传递运动和动力，以实现夹紧和松开动作的机构。根据手指开合的动作特点分为回转型和平移形。本文采用回转型传动机构。图2.4为初步设计的机械手机构简图（只画出了一半，另外一半关于中心线对称）。

图2.4 机械手机构简图

在图2.4中，O为电机输出轴，曲柄OA、连杆AB、滑块B和支架构成曲柄滑块机构；滑块B、连杆BC、摇杆CE和支架构成滑块摇杆机构。通过两个机构串联，使电机最终驱动DE的来回摆动，从而实现手指的开合运动。

图2.4中的黑线和蓝线表示机构运行的两个极限位置。

为便于手指的顺利合拢，可以在两个手指之间设置一个弹簧，这样还可以提供适当的夹紧力。

另外，在选用电机的时候，要使电机的功率足以克服弹簧的收缩和张开，并且提供足够加紧物体的力。

图2.5为采用虚拟样机软件ADAMS来分析所设计的机械手机构的工作状况。

                       图2.5 虚拟样机场景

下面更进一步计算出所需要的电机力矩。

图2.6 力矩变化情况

从图2.6中看到，起始阶段须克服的弹簧力最大，电机转矩必须大于550N·mm，这为电机的挑选提供了一定的依据。

2.4 驱动方式

该机器人一共具有四个独立的转动关节，连同末端机械手的运动，一共需要五个动力源。

机器人常用的驱动方式有液压驱动、气压驱动和电机驱动三种类型。这三种方法各有所长，各种驱动方式的特点见表2.1：

表2.1 三种驱动方式的特点对照

内容	液压驱动	气动驱动	电机驱动
输出功率	很大，压力范围为50～140Pa	大，压力范围为48～60Pa，最大可达Pa	较大
控制性能	利用液体的不可压缩性，控制精度较高，输出功率大，可无级调速，反应灵敏，可实现连续轨迹控制	气体压缩性大，精度低，阻尼效果差，低速不易控制，难以实现高速、高精度的连续轨迹控制	控制精度高，功率较大，能精确定位，反应灵敏，可实现高速、高精度的连续轨迹控制，伺服特性好，控制系统复杂
响应速度	很高	较高	很高
结构性能及体积	结构适当，执行机构可标准化、模拟化，易实现直接驱动。功率/质量比大，体积小，结构紧凑，密封问题较大	结构适当，执行机构可标准化、模拟化，易实现直接驱动。功率/质量比大，体积小，结构紧凑，密封问题较小	伺服电动机易于标准化，结构性能好，噪声低，电动机一般需配置减速装置，除DD电动机外，难以直接驱动，结构紧凑，无密封问题
安全性	防爆性能较好，用液压油作传动介质，在一定条件下有火灾危险	防爆性能好，高于1000kPa(10个大气压)时应注意设备的抗压性	设备自身无爆炸和火灾危险，直流有刷电动机换向时有火花，对环境的防爆性能较差
对环境的影响	液压系统易漏油，对环境有污染	排气时有噪声	无
在工业机器人中应用范围	适用于重载、低速驱动，电液伺服系统适用于喷涂机器人、点焊机机器人和托运机器人	适用于中小负载驱动、精度要求较低的有限点位程序控制机器人，如冲压机器人本体的气动平衡及装配机器人气动夹具	适用于中小负载、要求具有较高的位置控制精度和轨迹控制精度、速度较高的机器人，如AC伺服喷涂机器人、点焊机器人、弧焊机器人、装配机器人等
成本	液压元件成本较高	成本低	成本高
维修及使用	方便，但油液对环境温度有一定要求	方便	较复杂

机器人驱动系统各有其优缺点，通常对机器人的驱动系统的要求有：

1）．驱动系统的质量尽可能要轻，单位质量的输出功率要高，效率也要高；

2）．反应速度要快，即要求力矩质量比和力矩转动惯量比要大，能够进行频繁地起、制动，正、反转切换；

3）．驱动尽可能灵活，位移偏差和速度偏差要小；

4）．安全可靠；

5）．操作和维护方便；

6）．对环境无污染，噪声要小；

7）．经济上合理，尤其要尽量减少占地面积。

基于上述驱动系统的特点和机器人驱动系统的设计要求，本文选用直流伺服电机驱动的方式对机器人进行驱动。表2.2为选定的各个关节电机型号及其相关参数。

表2.2 机器人驱动电机参数

电机参数	腰关节	肩关节	肘关节	腕关节	手爪
型号	MAXON2332	MAXON2332	MAXON2332	MULTIPLEX STELL-SERVO	MULTIPLEX STELL-SERVO
额定电压	18v	18v	18v	6v	6v
额定转矩	18.2N·m	18.2N·m	18.2N·m	10.3N·m	10.3N·m
最大转矩	67.4N·m	67.4N·m	67.4N·m	---	---
额定转速	7980rpm	7980rpm	7980rpm	5460rpm	5460rpm
最高转速	9200rpm	9200rpm	9200rpm	---	---
转子惯量	18.4gcm·cm	18.4gcm·cm	18.4gcm·cm	---	---

2.5传动方式

由于一般的电机驱动系统输出的力矩较小，需要通过传动机构来增加力矩，提高带负载能力。对机器人的传动机构的一般要求有：

（1）结构紧凑，即具有相同的传动功率和传动比时体积最小，重量最轻；

（2）传动刚度大，即由驱动器的输出轴到连杆关节的转轴在相同的扭矩时角度变形要小，这样可以提高整机的固有频率，并大大减轻整机的低频振动；

（3）回差要小，即由正转到反转时空行程要小，这样可以得到较高的位置控制精度；

（4）寿命长、价格低。

本文所选用的电机都采用了电机和齿轮轮系一体化的设计，结构紧凑，具有很强的带负载能力，但是不能通过电机直接驱动各个连杆的运动。为减小机构运行过程的冲击和振动，并且不降低控制精度，采用了齿形带传动。

齿形带传动是同步带的一种，用来传递平行轴间的运动或将回转运动转换成直线运动，在本文中主要用于腰关节、肩关节和肘关节的传动。

齿形带传动原理如图2.7所示。

齿轮带的传动比计算公式为

传动比：

i = n 2 n 1 = z 1 z 2 i=\frac{n_2}{n_1}=\frac{z_1}{z_2} i=n1n2=z2z1

齿轮带的平均速度 v a v_a va 为：

v a = z 1 ⋅ t ⋅ n 1 = z 2 ⋅ t ⋅ n 2 v_a = z_1 \cdot t \cdot n_1 = z_2 \cdot t \cdot n_2 va=z1⋅t⋅n1=z2⋅t⋅n2