高精度问题
一、基本了解
C++ 中普通整数能存多大的数？
- int：大约 ±9e9
- long long：大约 ±9e18
看着很大对不对？
但是！竞赛、算法题里经常出现这种数据：
输入一个 100 位、200 位、1000 位的超大整数，求加法、乘法
比如：
12345678901234567890...（100位）这种数，任何原生整型都存不下，直接爆掉。
解决办法：高精度算法
本质：用字符串 / 数组 手动模拟小学生竖式计算。
高精度就是自己手写加减乘除规则，处理超长整数
核心思想：数字太长存不下，需要拆成一位一位存进数组
计算途中有两位数时，就要 模仿竖式手动进位
我们人脑读数：高位在前 比如：1234（1是千位，最高位）
但是！高精度代码统一规则：
数组低位存数字低位！反转存储！
示例：数字 1234
数组存成：a[0]=4, a[1]=3, a[2]=2, a[3]=1
为什么反转？
因为加减乘都是从个位开始算、往高位进位，低位放前面，下标刚好对齐
二、高精度加法
原理
照搬小学竖式：
- 从个位逐位相加
- 保留个位，剩下的进位给下一位
模板
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5; // 设置数组最大容量，能够存储很长的大数
int a[N],b[N],res[N]; // a[]、b[]存放两个输入大数，res[]存放相加结果，存储规则：低位在前
int main(){
string s1,s2;
cin>>s1>>s2; // 用字符串读取超大整数（超过long long范围，不能直接用数字变量存储）
int la=s1.size(); // 获取第一个数字字符串的长度
int lb=s2.size(); // 获取第二个数字字符串的长度
// 将字符串转为低位在前的整型数组
// 举例：字符串"1234" → a[0]=4，a[1]=3，a[2]=2，a[3]=1
for(int i=0;i<la;i++){
a[i]=s1[la-1-i]-'0';
}
for(int i=0;i<lb;i++){
b[i]=s2[lb-1-i]-'0';
}
int t=0; // t用来保存加法进位，初始进位为0
// 模拟竖式加法，循环执行到较长数字的最高位
for(int i=0;i<max(la,lb);i++){
t = t + a[i] + b[i]; // 当前位总和 = 上一轮进位 + a当前数位 + b当前数位
res[i] = t % 10; // 取个位作为结果当前位
t = t / 10; // 十位部分作为新的进位，参与下一位运算
}
// 处理输出：结果数组低位在前，需要倒序打印
if(t!=0){
// 循环结束仍有进位，说明多出最高一位
res[max(la,lb)]=t;
// 从新增最高位倒序遍历输出
for(int i=max(la,lb);i>=0;i--){
cout<<res[i];
}
}
else{
// 没有剩余进位，从最长数的末尾向前输出
for(int i=max(la,lb)-1;i>=0;i--){
cout<<res[i];
}
}
return 0;
}三、高精度减法
原理
竖式减法：不够减向前借位
前提：我们默认 s1 > s2
模板
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5;
int a[N],b[N],res[N];
int main(){
string s1,s2;
cin>>s1>>s2;
int la=s1.size();
int lb=s2.size();
//字符串转【低位在前】数组
for(int i=0;i<la;i++){
a[i]=s1[la-1-i]-'0';
}
for(int i=0;i<lb;i++){
b[i]=s2[lb-1-i]-'0';
}
int t=0; //t代表借位，初始0
//逐位相减
for(int i=0;i<la;i++){
// 当前位 = a本位 - b本位 - 上一轮借位
int now = a[i] - b[i] - t;
t = 0; //清空本次借位
if(now < 0){ //不够减，需要向前借1
now += 10;
t = 1; //标记下一位需要减1
}
res[i] = now;
}
// 去除前导零（例如 1000-999=1，不要输出0001）
int len = la;
while(len > 1 && res[len-1]==0){
len--;
}
//逆序输出
for(int i=len-1;i>=0;i--){
cout<<res[i];
}
return 0;
}四、高精度乘法
原理
小学竖式：每一位乘每一位，错位相加
公式：res[i+j] += a[i] * b[j]
模板
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5;
int a[N],b[N],res[N];
int main(){
string s1,s2;
cin>>s1>>s2;
int la=s1.size();
int lb=s2.size();
// 字符串转【低位在前】数组
for(int i=0;i<la;i++){
a[i] = s1[la-1-i] - '0';
}
for(int i=0;i<lb;i++){
b[i] = s2[lb-1-i] - '0';
}
// 核心乘法：a第i位 × b第j位，累加至 res[i+j]
for(int i=0;i<la;i++){
for(int j=0;j<lb;j++){
res[i+j] += a[i] * b[j];
}
}
// 统一处理进位
int t=0;
// 两个数相乘最多 la+lb 位
for(int i=0;i<la+lb;i++){
t += res[i];
res[i] = t % 10;
t /= 10;
}
// 去除前导零
int len = la + lb;
while(len>1 && res[len-1]==0){
len--;
}
// 逆序输出
for(int i=len-1;i>=0;i--){
cout<<res[i];
}
return 0;
}位置规律
a[i]代表第 (10^i) 位，b[j]代表 (10^j) 位(10^i *10^j = 10^{i+j})
所以乘积存到
res[i+j]和加法区别
加法：一层循环逐位运算
乘法：两层循环枚举所有数位两两相乘，先累加、最后统一进位
五、核心知识点总结
- 高精度解决的问题：超出 long long 范围的超大整数运算
- 存储方式：字符串读入 → 反转存入数组（低位在前）
- 加法核心：逐位相加、记录进位
- 减法核心：不够减向前借位、去前导零
- 乘法核心：i,j 错位累积、统一处理进位，数组开双倍空间，防止数组越界
- 输出方式：逆序输出数组
六、什么时候用高精度
- 数字位数 ≥ 20 位
- 大数阶乘、大数幂运算
- 超大数加减乘
- 答案数值极大，无法用 long long 存储
七、例题
洛谷P1045麦森数（P1045 [NOIP 2003 普及组 麦森数 - 洛谷](https://www.luogu.com.cn/problem/P1045)）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1000]={0},res[1000]={0};
void mul1(){
int temp[1000]={0};
for(int i=0;i<500;i++){
for(int j=0;j<500;j++){
temp[j+i]=temp[j+i]+res[i]*a[j];
}
}
int t=0;
for(int i=0;i<500;i++){
temp[i]+=t;
res[i]=temp[i]%10;
t=temp[i]/10;
}
}
void mul2(){
int temp[1000]={0};
for(int i=0;i<500;i++){
for(int j=0;j<500;j++){
temp[i+j]+=a[i]*a[j];
}
}
int t=0;
for(int i=0;i<500;i++){
temp[i]+=t;
a[i]=temp[i]%10;
t=temp[i]/10;
}
}
void quick_pow(int p){
res[0]=1,a[0]=2;
while(p){
if(p&1){
mul1();
}
mul2();
p>>=1;
}
}
int main(){
cin>>n;
int l=n*log10(2)+1;
cout<<l<<endl;
quick_pow(n);
res[0]-=1;
int c=0;
for(int i=499;i>=0;i--){
if(c==50){
cout<<endl;
c=0;
}
cout<<res[i];
c++;
}
return 0;
}L-A × B_河南萌新联赛2026第（四）场：南阳理工学院
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
signed main(){
string a,b;
cin>>a>>b;
reverse(a.begin(),a.end());
reverse(b.begin(),b.end());
vector<int>res(a.size()+b.size());
for(int i=0;i<a.size();i++){
for(int j=0;j<b.size();j++){
int a1=a[i]-'0';
int b1=b[j]-'0';
res[i+j]=res[i+j]+a1*b1;
}
}
int c=0;
for(int i=0;i<res.size();i++){
int sum=res[i]+c;
res[i]=sum%10;
c=sum/10;
}
string ans;
bool ok=true;
for(int i=res.size()-1;i>=0;i--){
if(res[i]==0&&ok){
continue;
}
ok=false;
ans.push_back(res[i]+'0');
}
cout<<ans;
return 0;
}