机器学习PCA - 技术栈

PCA （ Principal Component Analysis ，主成分分析） 是一种无监督降维方法：在尽量保留方差（信息）的前提下，把数据投影到更低维空间。

核心思想

高维数据里，很多方向变化很小（冗余）。PCA 找一组正交的新坐标轴（主成分），使得：

第 1 主成分：投影后方差最大
第 2 主成分：与第 1 正交，且方差次大
依此类推

用前个主成分近似原数据 → 降维、去相关、便于可视化。

计算步骤（对应代码）

步骤	含义	notebook
1. 中心化/标准化	去均值，消除量纲影响	calc_cov 里对 X 标准化
2. 协方差矩阵	刻画特征间相关与方差
3. 特征分解		np.linalg.eig
4. 排序取前 k	大 → 该方向信息多	argsort() $::-1$ ，取前 n_components
5. 投影	（为前个特征向量）	np.matmul(X, eigenvectors)

直观理解

特征值 ：该主成分能解释多少方差
特征向量 ：主成分方向
降到 2/3 维后画散点（鸢尾花示例），是为了看类别是否仍大致可分

和 LDA 的区别

	PCA	LDA
是否用标签	否（无监督）	是（有监督）
目标	方差最大	类间大、类内小
用途	降维、压缩、可视化	分类相关的有监督降维

一句话： PCA = 对协方差矩阵做特征分解，用方差最大的几个方向做投影，实现降维。

$** **代码** **$

复制代码

import numpy as np

class PCA():
    # 计算协方差矩阵
    def calc_cov(self, X):
        m = X.shape[0]
        # 数据标准化
        X = (X - np.mean(X, axis=0)) / np.var(X, axis=0)
        return 1 / m * np.matmul(X.T, X)

    def pca(self, X, n_components):
        # 计算协方差矩阵
        cov_matrix = self.calc_cov(X)
        # 计算协方差矩阵的特征值和对应特征向量
        eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)
        # 对特征值排序
        idx = eigenvalues.argsort()[::-1]
        # 取最大的前n_component组
        eigenvectors = eigenvectors[:, idx]
        eigenvectors = eigenvectors[:, :n_components]
        # Y=PX转换
        return np.matmul(X, eigenvectors)

$** **代码** **$

复制代码

from sklearn import datasets
import matplotlib.pyplot as plt

# 导入sklearn数据集
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

# 将数据降维到3个主成分
X_trans = PCA().pca(X, 3)
# 颜色列表
colors = ['navy', 'turquoise', 'darkorange']

# 绘制不同类别
for c, i, target_name in zip(colors, [0,1,2], iris.target_names):
    plt.scatter(X_trans[y == i, 0], X_trans[y == i, 1],
            color=c, lw=2, label=target_name)
# 添加图例
plt.legend()
plt.show();

$** **代码** **$

复制代码

# 导入sklearn降维模块
from sklearn import decomposition
# 创建pca模型实例，主成分个数为3个
pca = decomposition.PCA(n_components=3)
# 模型拟合
pca.fit(X)
# 拟合模型并将模型应用于数据X
X_trans = pca.transform(X)

# 颜色列表
colors = ['navy', 'turquoise', 'darkorange']
# 绘制不同类别
for c, i, target_name in zip(colors, [0,1,2], iris.target_names):
    plt.scatter(X_trans[y == i, 0], X_trans[y == i, 1], 
            color=c, lw=2, label=target_name)
# 添加图例
plt.legend()
plt.show();