Heap
堆 = 一个能快速拿到"当前最小值/最大值"的特殊数据结构。
核心价值是动态维护一个集合中的最大/最小元素。
最常见的是两种：
- Min Heap（小根堆）：堆顶永远是最小值
- Max Heap（大根堆）：堆顶永远是最大值
比如：
1
/ \
3 5
/ \
7 8这是一个小根堆，因为：
1 < 3, 5
3 < 7, 8
但是注意：堆不是完全排序的。
比如 [1, 3, 5, 7, 8] 并不意味着整个数组都排好序了。
它只保证：最小值在最上面。
所以如果你只想反复拿"最小的那个"，堆特别方便。
储存
Heap 通常用一个数组来存。
例如：
2
/ \
3 5
/ \
7 8存成：
heap = 2, 3, 5, 7, 8
操作
push
把一个元素放进 Heap。向上调整（sift up）
假设：heap = 2, 3, 5, 7
现在加入：1
最简单的做法：直接把 1 放到数组最后。
变成：2, 3, 5, 7, 1
对应：
2
/ \
3 5
/ \
7 1
这显然不是 Heap，因为：
1 < 3
1 < 2
所以我们需要把 1 往上移动。
Sift Up
新元素现在 index = 4
它的 parent：parent = (4 - 1) // 2 = 1
所以比较：heap4 = 1 heap1 = 3
因为：1 < 3
交换：2, 1, 5, 7, 3
现在 1 在 index 1。
继续找 parent：parent = (1 - 1) // 2 = 0
比较：heap0 = 2 heap1 = 1 1 < 2
交换：1, 2, 5, 7, 3
完成。
实现
python
def push(self, x):
self.heap.append(x)
i = len(self.heap) - 1
while i > 0:
parent = (i - 1) // 2
if self.heap[parent] <= self.heap[i]:
break
self.heap[parent], self.heap[i] = \
self.heap[i], self.heap[parent]
i = parent把新元素放最后
↓
看看爸爸
↓
如果我比爸爸小
↓
和爸爸交换
↓
继续往上
↓
直到爸爸比我小
pop
把 Heap 顶部，也就是最小值拿走。向下调整（sift down）
假设：
1
/ \
3 5
/ \
7 8
数组：1, 3, 5, 7, 8
现在：pop()
我们要删除 1。
但这里不能直接 del heap0
因为这样后面的结构全部乱掉。
正确做法是：
- 把最后一个元素拿到顶部：
8
/ \
3 5
/
7数组：8, 3, 5, 7
然后把 8 往下沉。
Sift Down
现在 8 在 index 0。
它有两个孩子：
left = 2 * i + 1 left = 1 → 3
right = 2 * i + 2 right = 2 → 5我们应该找两个孩子里面更小的那个交换。
因为我们是 Min Heap。
所以：3 < 5
跟 3 换：3, 8, 5, 7
3
/ \
8 5
/
7
8 现在在 index 1。
继续：
left = 3 → 7
right = 4 → 不存在
所以和 7 比，7 < 8 → 交换
3, 7, 5, 8
完成。
实现
python
def pop(self):
ans = self.heap[0]
# 最后一个元素放到顶部
self.heap[0] = self.heap[-1]
self.heap.pop()
i = 0
while True:
left = 2 * i + 1
right = 2 * i + 2
smallest = i
if left < len(self.heap) and \
self.heap[left] < self.heap[smallest]:
smallest = left
if right < len(self.heap) and \
self.heap[right] < self.heap[smallest]:
smallest = right
if smallest == i:
break
self.heap[i], self.heap[smallest] = \
self.heap[smallest], self.heap[i]
i = smallest
return ans刷题
你刷 Heap 题的时候，可以先问自己：
我要维护的是 Top K 最大，还是 Top K 最小？
然后：
| 目标 | Heap |
|---|---|
| Top K 最大 | Min Heap |
| Top K 最小 | Max Heap |
| 不断取最小 | Min Heap |
| 不断取最大 | Max Heap |
这个规律非常重要。
例如：
第 K 大不是用 Max Heap！
而是：Min Heap，大小 K
因为我们需要让第 K 大卡在 Heap 的最顶端。