考点频率 ：★★★★☆（选择题常考，是理解图遍历和算法的基础）
难度 ：⭐⭐⭐
建议：重点掌握两种存储方式的核心区别（空间复杂度、操作效率），能根据场景判断该用哪种
1️⃣ 为什么需要图的存储结构？
前一篇文章我们学习了图的基本概念------顶点、边、有向图、无向图......但这些都是逻辑结构 。要把图存到计算机里，需要一种具体的物理存储方式。
图的存储方式有很多种，软考中最常考的是两种：
- 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：用二维数组表示顶点之间的边关系
- 邻接表（Adjacency List）：用数组+链表表示顶点之间的边关系
打个比方 ：邻接矩阵像地铁线路的全连接表 ------行和列都是站点，交叉点标记是否连通（1/0），查任意两个站点是否直达非常快，但表格很大。邻接表像每个站点的"出口指示牌"------每个站点只列出它直接连通的其他站点，省空间，但查两个站点是否连通需要翻牌子。
2️⃣ 邻接矩阵（Adjacency Matrix）
2.1 核心思想
用一个 n×nn \times nn×n 的二维数组 AAA 来表示图中 nnn 个顶点之间的边关系。
表示规则：
- 对于无向图 ：Aij=1Aij = 1Aij=1 表示顶点 iii 和 jjj 之间有边，否则为 0
- 对于有向图 ：Aij=1Aij = 1Aij=1 表示从顶点 iii 到 jjj 有一条有向边，否则为 0
- 对于带权图 ：Aij=wAij = wAij=w（权值），无连接时用 ∞\infty∞ 表示
2.2 示例
无向图（3个顶点，边：1-2，2-3）：
邻接矩阵（n=3）：
1 2 3
1 0 1 0
2 1 0 1
3 0 1 0特点 ：无向图的邻接矩阵是对称矩阵 （Aij=AjiAij = AjiAij=Aji）。
有向图（3个顶点，边：1→2，2→3，3→1）：
邻接矩阵（n=3）：
1 2 3
1 0 1 0
2 0 0 1
3 1 0 02.3 邻接矩阵的优缺点
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| 判断两个顶点之间是否有边 ：O(1)O(1)O(1)（直接查矩阵） | 空间复杂度 ：O(n2)O(n^2)O(n2)（无论图有多少条边，都要 n2n^2n2 空间） |
| 求某个顶点的度 ：O(n)O(n)O(n)（统计该行/列中1的个数） | 对于稀疏图，浪费大量空间（矩阵中很多0） |
| 实现简单，代码直观 | 对于带权图 ，需要处理 ∞\infty∞ 值 |
3️⃣ 邻接表（Adjacency List）
3.1 核心思想
邻接表是一种链式存储 结构。对于图中的每个顶点，用一个链表（或数组）来存储所有与它相邻的顶点。
数据结构：
-
表头数组
head[1..n]：每个元素指向一个链表，存储从该顶点出发的所有边 -
链表节点：存储邻接顶点的编号，以及指向下一个节点的指针
无向图（3个顶点，边：1-2，2-3）：
head[1] → 2
head[2] → 1 → 3
head[3] → 2
3.2 邻接表的优缺点
| 优点 | 缺点 |
|---|---|
| 空间复杂度 ：O(n+e)O(n + e)O(n+e)（eee 为边数），适合稀疏图 | 判断两个顶点之间是否有边 ：O(degree)O(degree)O(degree)（需要遍历链表） |
| 求某个顶点的度 ：O(1)O(1)O(1)（对于有向图出度 O(1)O(1)O(1)，入度需遍历所有节点或建逆邻接表） | 实现比邻接矩阵复杂（需要链表操作） |
| 遍历所有邻接顶点 ：O(degree)O(degree)O(degree)，效率高 | 对于稠密图，链表存储指针开销较大 |
3.3 有向图的邻接表
对于有向图，通常只存储出边：
有向图（3个顶点，边：1→2，2→3，3→1）：
head[1] → 2
head[2] → 3
head[3] → 1如果需要经常计算入度 ，可以建立逆邻接表（存储指向该顶点的所有顶点）。
4️⃣ 邻接矩阵 vs 邻接表（完整对比表，重点！）
| 对比项 | 邻接矩阵 | 邻接表 |
|---|---|---|
| 空间复杂度 | O(n2)O(n^2)O(n2) | O(n+e)O(n + e)O(n+e) |
| 判断边是否存在 | O(1)O(1)O(1)（直接查） | O(degree)O(degree)O(degree)（需遍历链表） |
| 求某顶点的度（无向图） | O(n)O(n)O(n)（统计一行） | O(1)O(1)O(1)（链表长度） |
| 求某顶点的出度（有向图） | O(n)O(n)O(n)（统计一行） | O(1)O(1)O(1)（链表长度） |
| 求某顶点的入度（有向图） | O(n)O(n)O(n)（统计一列） | O(n+e)O(n + e)O(n+e)（需遍历所有链表） |
| 适合图类型 | 稠密图（边多） | 稀疏图（边少） |
| 实现复杂度 | 简单 | 较复杂 |
| 存储方式 | 二维数组 | 数组 + 链表 |
5️⃣ 如何选择？（软考常考）
| 场景特征 | 推荐方式 | 理由 |
|---|---|---|
| 图边数很多（稠密图） | 邻接矩阵 | 矩阵中大部分位置都有值，空间利用率高 |
| 图边数很少（稀疏图） | 邻接表 | 只存储存在的边，节省空间 |
| 需要频繁判断两个顶点之间是否有边 | 邻接矩阵 | O(1)O(1)O(1) 判断，邻接表需要遍历链表 |
| 需要频繁遍历某个顶点的所有邻接顶点 | 邻接表 | 直接遍历链表，效率高 |
6️⃣ 经典例题
例题1 ：一个有 nnn 个顶点、eee 条边的无向图，若采用邻接表存储，则表头数组的大小为（ ），所有链表的节点总数为（ ）。
A. nnn；2e2e2e
B. nnn；eee
C. n+1n+1n+1；2e2e2e
D. n+1n+1n+1；eee
解析 ：无向图中，每条边在邻接表中出现两次 （两个方向各一次），因此链表节点总数为 2e2e2e。表头数组大小为 nnn。选 A。
例题2：以下关于邻接矩阵和邻接表的叙述中，正确的是（ ）。
A. 邻接矩阵适合存储稀疏图
B. 邻接表判断两个顶点之间是否有边的效率高于邻接矩阵
C. 邻接矩阵的空间复杂度为 O(n+e)O(n+e)O(n+e)
D. 邻接表适合存储稀疏图
解析 ：A错误------邻接矩阵适合稠密图 ；B错误------邻接矩阵判断边是否存在是 O(1)O(1)O(1)，邻接表是 O(degree)O(degree)O(degree)，邻接矩阵更快；C错误------邻接矩阵空间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)。D正确。选 D。
例题3 （判断）：在有向图的邻接表中，第 iii 个链表的长度等于顶点 iii 的入度。（ ）
解析 ：错误。在有向图的邻接表中，第 iii 个链表存储的是从顶点 iii 出发 的边，其长度等于顶点 iii 的出度，而不是入度。
7️⃣ 记忆口诀
邻接矩阵二维表，O(1)O(1)O(1) 查边效率高，空间 O(n2)O(n^2)O(n2) 只适稠密图。
邻接表用链表存，只存存在的边，空间 O(n+e)O(n+e)O(n+e) 适合稀疏图。
无向图中边存两次，表头大小就是顶点数。
8️⃣ 小测验（评论区对答案）
一个有 nnn 个顶点、eee 条边的有向图 ，采用邻接表存储时，所有链表的节点总数为（ ）。
A. nnn
B. eee
C. 2e2e2e
D. n+en+en+e
。
🔔 本专栏日更，点击头像 → 专栏《软考中级高频考点》订阅，第一时间接收新内容
#软考中级 #软件设计师 #邻接矩阵 #邻接表 #图存储 #数据结构 #软考备考