【算法刷题】蓝桥杯/AtCoder：删除元素后的中位数问题（Symmetry / Median）

【算法刷题】蓝桥杯/AtCoder：删除元素后的中位数问题（Symmetry / Median）

📌 题目描述与考点

• 问题核心 ：给定一个包含 NNN 个元素的数组（NNN 为偶数）。依次计算删去第 iii 个元素 XiX_iXi 后，剩余 N−1N-1N−1 个元素组成的数组的中位数，并按原始顺序输出这 NNN 个答案。
• 核心考点 ：中位数性质 、思维转换 、原序与排序序列的分离处理。

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🔍 核心思路解析

1. 经典错误思路剖析

❌ 错误做法 1 ：对于每个 XiX_iXi，都复制一份数组、删除 XiX_iXi、重新排序找中位数。

• 耗时 ：每次排序耗时 O(Nlog⁡N)\mathcal{O}(N \log N)O(NlogN)，总共 NNN 次，时间复杂度高达 O(N2log⁡N)\mathcal{O}(N^2 \log N)O(N2logN)，遭遇 TLE（超时）。

❌ 错误做法 2 ：直接按原数组索引前 N/2N/2N/2 个输出较大中位数，后 N/2N/2N/2 个输出较小中位数。

• 原因 ：忽略了原数组的输入顺序是无序的，删除元素的影响取决于该元素在数值大小排序后的位置，而非输入顺序。

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2. 正确的数学推导（分类讨论）

将原数组按数值升序排序，设排序后的数组为 AAA：

• 原数组中第 N/2N/2N/2 小的数为 AN/2−1AN/2 - 1AN/2−1（记为 later）。
• 原数组中第 N/2+1N/2 + 1N/2+1 小的数为 AN/2AN/2AN/2（记为 former）。

对于任意被删除的元素 XiX_iXi（对应原输入数组 BiBiBi）：

1. 若 Xi≤AN/2−1X_i \le AN/2 - 1Xi≤AN/2−1（即 XiX_iXi 属于排序后数组的左半部分）：

   • 删掉 XiX_iXi 后，左半边少了一个小元素，中位数指针必须向右偏移补位。
   • 新的中位数变为较大的那个数：former（即 AN/2AN/2AN/2）。

2. 若 Xi≥AN/2X_i \ge AN/2Xi≥AN/2（即 XiX_iXi 属于排序后数组的右半部分）：

   • 删掉 XiX_iXi 后，右半边少了一个大元素，中位数指针不受影响。
   • 新的中位数变为较小的那个数：later（即 AN/2−1AN/2 - 1AN/2−1）。

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💻 C++ 完整 AC 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main() {
    // 开启快速 I/O
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    if (!(cin >> n)) return 0;

    vector<int> a(n); // 用于升序排序
    vector<int> b(n); // 维护原始输入顺序

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        b[i] = a[i];
    }

    // 升序排序
    sort(a.begin(), a.end());

    // 提取排序后的两大关键中位数边界
    int later = a[n / 2 - 1]; // 较小的中位数候选
    int former = a[n / 2];    // 较大的中位数候选

    // 按原始输入顺序判断并输出
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (b[i] <= later) {
            cout << former << "\n";
        } else {
            cout << later << "\n";
        }
    }

    return 0;
}

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❌ 易错点总结

• 混淆原始顺序与排序后顺序 ：必须使用两个数组，一个数组 bbb 保留原始输入顺序进行遍历判断，另一个数组 aaa 排序提取中位数界限。
• 边界条件判断 ：分支条件为 b[i] <= later（或 b[i] < former），注意相等时的归属处理。

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⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(Nlog⁡N)\mathcal{O}(N \log N)O(NlogN)
  仅需在开始时对数组进行一次排序 O(Nlog⁡N)\mathcal{O}(N \log N)O(NlogN)，后续输出只需要遍历一次数组 O(N)\mathcal{O}(N)O(N)，轻松 AC。
• 空间复杂度 ：O(N)\mathcal{O}(N)O(N)
  需要两个大小为 NNN 的 vector 数组存储原始数据和排序数据。