LeetCode 17电话号码的字母组合：回溯算法（DFS）详解

一、题目来源与描述

题目来源：LeetCode 第 17 题 - 电话号码的字母组合 (Medium)

题目描述 ：

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。答案可以按 任意顺序 返回。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。
cpp 复制代码
2: abc   3: def
4: ghi   5: jkl   6: mno
7: pqrs  8: tuv   9: wxyz
示例：

输入：digits = "23"

输出：["ad","ae","af","bd","be","bf","cd","ce","cf"]

二、核心算法：回溯法（Backtracking / DFS）

1. 思路解析

这道题本质上是一道排列组合问题。每一个数字对应多个字母，我们需要从每个数字对应的字母集合中挑选一个字母，拼接成一个完整的字符串。

由于字符串的长度不定（最多为 4），且需要枚举所有可能的组合，暴力循环（嵌套 for 循环）无法动态适应长度 。因此，我们需要使用回溯算法（深度优先搜索 DFS）。

回溯法的核心思想：

将问题抽象为一棵决策树（N 叉树）。

树的深度 ：由输入字符串 digits 的长度决定。

节点的分支：由当前数字对应的字母数量决定（3 或 4 个分支）。

我们通过递归沿着树的深度遍历，当到达叶子节点（即处理完所有数字）时，记录当前路径，然后"回溯"到上一层，尝试其他分支。

2. 回溯三步曲

确定递归函数的参数与返回值：

参数需要包含：给定的数字字符串 digits，以及一个索引 index 用来标记当前遍历到了哪一个数字。

返回值：不需要返回值，结果直接存入全局变量（或类成员变量）中。

确定终止条件：

当 index == digits.size() 时，说明已经处理完了所有的数字，此时将当前拼接好的字符串加入结果集，并结束本层递归。

确定单层遍历逻辑：

获取当前 index 指向的数字对应的字母集 letters。

使用 for 循环遍历 letters：

将当前字母加入当前路径 path。

递归调用下一层，index + 1。

回溯操作 ：将当前字母从 path 中移除，以便尝试下一个字母。

三、代码实现 (C++)

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    // 1. 建立数字到字母的映射表 (使用数组下标直接映射，效率极高)
    const string phone_map[10] = {
        "",     // 0
        "",     // 1
        "abc",  // 2
        "def",  // 3
        "ghi",  // 4
        "jkl",  // 5
        "mno",  // 6
        "pqrs", // 7
        "tuv",  // 8
        "wxyz"  // 9
    };

    // 存放最终结果和当前路径的成员变量
    vector<string> result;
    string current_path;

    // 2. 回溯函数
    void backtracking(const string& digits, int index) {
        // 终止条件：index 走到头了，说明生成了一个完整组合
        if (index == digits.size()) {
            result.push_back(current_path);
            return;
        }

        // 获取当前数字对应的字符集
        int digit = digits[index] - '0'; // 字符转整数
        string letters = phone_map[digit];

        // 遍历当前数字对应的所有字母
        for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {
            current_path.push_back(letters[i]);       // 处理节点：加入
            backtracking(digits, index + 1);          // 递归：进入下一层
            current_path.pop_back();                  // 回溯：撤销处理
        }
    }

    // 3. 主函数
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        // 每次调用前清空全局状态
        result.clear();
        current_path.clear();

        // 特殊情况：如果输入为空，直接返回空数组
        if (digits.empty()) {
            return result;
        }

        backtracking(digits, 0);
        return result;
    }
};

四、复杂度分析

时间复杂度：O(3M×4N)

其中M是输入中对应 3 个字母的数字个数（例如 2, 3, 4, 5, 6, 8），N是输入中对应 4 个字母的数字个数（例如 7, 9），M+N 是输入数字的总个数。

一共有 3M×4N种组合，每种组合需要 O(1)的时间拼接字符串（在 C++ 中 push_back 和 pop_back 均摊为 O(1)）。

空间复杂度：O(M+N)

主要取决于递归调用栈的深度，最大深度为输入字符串的长度（即 M+N）。此外，结果集 result 的空间不计入算法的辅助空间复杂度。

五、递归与回溯模板总结

本题是标准的回溯模板：

cpp 复制代码

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果;
    }
}

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二、 核心算法：回溯法（Backtracking / DFS）