前言
这道题最容易想到的办法，大概都是先把数组中所有元素乘起来，再用总乘积除以当前位置的元素。
思路看起来没有问题，题目却直接补了一句：不能使用除法。
如果数组中还可能出现 0，总乘积除以当前元素这条路本身也会变得麻烦。第一次做到这里时，很容易把注意力一直放在"怎样从总乘积中去掉 nums[i]"上。实际上，换一个角度会简单很多：既然不能把当前元素除掉，那就从一开始不让它参与计算。
对于位置 i 来说，除 nums[i] 以外的元素只有两部分：它左边的元素和它右边的元素。因此：
answer[i] = i 左边所有元素的乘积 × i 右边所有元素的乘积这就是前缀积与后缀积解法的出发点。
一、题目说明
给定一个整数数组 nums，返回数组 answer，其中：
answer[i] = nums 中除 nums[i] 以外其余所有元素的乘积题目还有两个重要限制：
-
不能使用除法；
-
需要在
O(n)时间复杂度内完成。
例如：
输入：nums = [1,2,3,4]
输出：[24,12,8,6]其中：
answer[0] = 2 × 3 × 4 = 24
answer[1] = 1 × 3 × 4 = 12
answer[2] = 1 × 2 × 4 = 8
answer[3] = 1 × 2 × 3 = 6二、暴力做法为什么不合适
如果不考虑题目的时间要求，可以为每个位置重新遍历整个数组，跳过当前位置，将其他元素全部相乘。
数组长度为 n 时，一共有 n 个位置；每个位置又要遍历接近 n 个元素，因此时间复杂度是：
O(n²)这种写法不难，但重复计算很多。例如，在计算 answer[2] 和 answer[3] 时，前面的 1 × 2 被反复计算了。题目要求 O(n)，实际上就是在提醒我们：这些重复的乘积应该提前保存下来。
三、关键转化：把答案拆成左右两部分
仍然以数组 [1,2,3,4] 为例。
如果要计算下标 2 对应的答案，也就是排除元素 3，剩余元素可以分为：
左侧：[1,2]
右侧：[4]所以：
answer[2] = (1 × 2) × 4 = 8这时可以引入两个数组：
-
pre[i]：nums[i]左侧所有元素的乘积； -
suf[i]：nums[i]右侧所有元素的乘积。
那么每个位置的答案就是：
res[i] = pre[i] * suf[i];注意，pre[i] 和 suf[i] 都不包含 nums[i] 本身。这一点是整个定义中最重要的地方。
四、前缀积是怎样计算的
前缀积从左向右计算：
pre[0] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
pre[i] = pre[i - 1] * nums[i - 1];
}为什么公式中乘的是 nums[i - 1]，而不是 nums[i]？
因为 pre[i] 只保存下标 i 左侧元素的乘积，不能包含当前位置。pre[i - 1] 已经包含了 i - 1 左侧的全部元素，再乘上 nums[i - 1]，刚好得到 i 左侧所有元素的乘积。
对于 [1,2,3,4]：
pre[0] = 1
pre[1] = pre[0] × nums[0] = 1 × 1 = 1
pre[2] = pre[1] × nums[1] = 1 × 2 = 2
pre[3] = pre[2] × nums[2] = 2 × 3 = 6所以：
pre = [1,1,2,6]五、后缀积是怎样计算的
后缀积与前缀积完全对称，只不过需要从右向左计算：
suf[n - 1] = 1;
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
suf[i] = suf[i + 1] * nums[i + 1];
}suf[i] 只包含下标 i 右侧的元素，所以使用的是 nums[i + 1]。
对于 [1,2,3,4]：
suf[3] = 1
suf[2] = suf[3] × nums[3] = 1 × 4 = 4
suf[1] = suf[2] × nums[2] = 4 × 3 = 12
suf[0] = suf[1] × nums[1] = 12 × 2 = 24最终得到：
suf = [24,12,4,1]六、为什么两端要初始化为 1
这段代码里最容易让人疑惑的是：
pre[0] = 1;
suf[n - 1] = 1;nums[0] 的左侧没有任何元素，nums[n - 1] 的右侧也没有任何元素。这里不能初始化为 0，因为任何数乘以 0 都会变成 0，后续结果会全部受到影响。
乘法中的单位元是 1：
x × 1 = x因此，可以把"空的一侧"的乘积理解为 1。这样既符合乘法规则，也让首尾位置可以使用与其他位置完全相同的计算公式。
七、完整演算
把三个数组放在一起看，逻辑会更直观：
下标 i |
nums[i] |
左侧乘积 pre[i] |
右侧乘积 suf[i] |
res[i] |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 24 | 24 |
| 1 | 2 | 1 | 12 | 12 |
| 2 | 3 | 2 | 4 | 8 |
| 3 | 4 | 6 | 1 | 6 |
最终：
res = [24,12,8,6]整个过程没有使用除法，也没有为每个位置重新遍历数组。
八、Java 完整代码
class Solution {
public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
int n = nums.length;
int[] pre = new int[n];
pre[0] = 1;
// 计算前缀积：pre[i] 表示 nums[i] 左侧所有元素的乘积
for (int i = 1; i < n; i++) {
pre[i] = pre[i - 1] * nums[i - 1];
}
int[] suf = new int[n];
suf[n - 1] = 1;
// 计算后缀积：suf[i] 表示 nums[i] 右侧所有元素的乘积
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
suf[i] = suf[i + 1] * nums[i + 1];
}
int[] res = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
res[i] = pre[i] * suf[i];
}
return res;
}
}十一、复杂度分析
代码虽然进行了三次循环，但每次最多遍历数组一次，因此总时间复杂度仍然是：
O(n)pre 和 suf 都是长度为 n 的辅助数组，因此额外空间复杂度为：
O(n)输出数组 res 通常不计入额外空间，但两个辅助数组仍然需要计入。