第二十一课：树与二叉树基础
------一棵树，为什么会成为计算机最重要的数据结构之一？
本课目标：
看懂树的基本结构；
掌握根、父亲、孩子、兄弟、叶子、度、层次、深度；
理解什么是二叉树；
分清"树"和"二叉树"；
掌握满二叉树、完全二叉树；
会计算二叉树的层数、最多结点数；
为下一课"二叉树存储与遍历"打基础。
一、先从"家谱"理解什么是树
我们前面学习：
数组
链表
栈
队列这些数据结构都有一个共同特点：
数据之间大多是一条线。
例如链表：
A → B → C → D → E队列：
A → B → C → D可是现实世界中，有大量的数据不是"一条线"。
例如：
校长
/ \
教师 教师
/ \ |
学生 学生 学生或者电脑文件夹：
我的电脑
├── 学习
│ ├── C++
│ ├── 数学
│ └── 英语
├── 游戏
│ ├── 游戏A
│ └── 游戏B
└── 图片
├── 风景
└── 家庭这种：
一层一层向下分支
的结构，就是：
树（Tree）
讲义指出，树特别适合表示"元素之间具有分支层次关系的数据"。
二、为什么叫"树"？
现实中的树：
树干
│
┌─┴─┐
│ │
树枝 树枝
/ \ \
叶 叶 叶数据结构里的树：
A
/ | \
B C D
/ \ |
E F G看起来是不是非常像？
所以计算机科学家就把这种结构叫：
Tree------树
不过要注意：
数据结构中的"树"通常画成根在上面、枝叶在下面。
和自然界的树倒过来。
三、树最重要的一个概念：结点
显然树并不是一根自然界的树。
C++中，它由一个一个：
结点（Node）
组成。
例如：
A
/ \
B C
/ \
D E这里：
A、B、C、D、E都是结点。
我们对树结点的描述是：
一个结点包含一个数据元素，以及若干个指向其子树的分支。
所以大家可以简单理解成：
一个结点 + 它下面连接出去的若干个结点。
四、认识"根结点"
一棵树最上面的结点：
A
/ \
B CA叫：
根结点（Root）
它有一个非常重要的特点：
根结点没有父亲。
就像家谱中的"祖先"。
五、认识父亲和孩子
看这棵树：
A
/ \
B C
/ \
D E对于B来说：
A是B的父结点对于A来说：
B、C是A的孩子对于D来说：
B是D的父结点所以：
A
↓
B
↓
D可以理解成：
爷爷
↓
爸爸
↓
孩子我们分别定义了孩子结点和双亲结点。
六、兄弟是什么？
还是：
A
/ \
B C
/ \
D EB和C：
父亲都是A所以：
B和C是兄弟。
D和E：
父亲都是B所以：
D和E也是兄弟。
具有同一父结点的子结点互称兄弟。
七、什么是叶子结点？
这是CSP-J特别喜欢考的概念。
看：
A
/ \
B C
/ \
D ED没有孩子。
E没有孩子。
C也没有孩子。
所以：
D、E、C都是：
叶子结点
也叫：
终端结点
度为0的结点，就是叶子结点。
记住一句话：
下面没人了，就是叶子。
八、什么是分支结点？
反过来：
只要一个结点：
还有孩子
它就是：
分支结点
也叫：
非终端结点
例如：
A
/ \
B C
/ \
D EA和B有孩子：
A、B所以：
A、B = 分支结点
C、D、E = 叶子结点我们就是按照"度大于0"为分支结点、"度为0"为叶子结点来定义的。
九、什么叫"结点的度"？
这是本课第一个重点。
一个结点的：
度 = 它有多少个孩子
例如：
A
/ | \
B C DA有：
B、C、D三个孩子。
所以：
A的度 = 3再看：
B
/ \
E FB有两个孩子：
B的度 = 2而：
C没有孩子：
C的度 = 0我们给出的定义就是：
结点的度 = 一个结点拥有的子树数目。
十、树的度又是什么？
这里特别容易混。
假设：
A
/ | \
B C D
/ \
E F各结点：
A：3
B：2
C：0
D：0
E：0
F：0那么：
最大的度 = 3因此：
这棵树的度 = 3
也就是说：
结点的度：看一个结点。
树的度：看整棵树，取最大值。
是这样定义的。
十一、一个容易错的题
如果：
A有3个孩子
B有2个孩子
C有1个孩子
D没有孩子问：
树的度是多少？
很多孩子会回答：
3+2+1=6这是错误的。
树的度是：
max(3,2,1,0)
= 3所以答案：
3
十二、什么是层次？
现在看：
A
/ \
B C
/ \
D E我们的定义：
根结点的层次 = 1所以：
A：第1层
B：第2层
C：第2层
D：第3层
E：第3层本课定义：
结点的层次 = 从根结点到该结点所经过的路径长度 + 1。
所以采用的是：
根结点层次 = 1
这一点一定要特别提醒大家。
有时算法教材也可能定义：
根的深度 = 0而我们本课讨论树的层次时使用：
根 = 第1层初赛做题一定要以题目定义为准。
十三、什么是树的深度？
如果：
A：第1层
B、C：第2层
D、E：第3层那么最深的一层是：
第3层所以：
树的深度 = 3
树的深度为：
树中叶子结点具有的最大层次数。
简单记：
最深的叶子在哪一层，树的深度就是多少。
十四、路径是什么？
例如：
A
|
B
|
D从A到D：
A → B → D这条路线就是：
路径
我们将路径定义为，从根到结点所经过的分支和结点构成的序列。
大家可以把它理解成：
从树根走到某个结点的路线。
十五、祖先和子孙
看：
A
/
B
/
D
/
G对于G：
A、B、D都是G的：
祖先
而G是：
A、B、D的：
子孙
十六、到这里，我们把树的术语串起来
给大家画这样一张图：
A
/ | \
B C D
/ \
E F请问：
A是什么？
根结点B、C、D是什么？
A的孩子B和C是什么关系？
兄弟E和F是什么关系？
兄弟B的父结点？
AE的父结点？
BE的度？
0B的度？
2A的度？
3整棵树的度？
3叶子？
C、D、E、F这就是我们要必须掌握的基本功。
十七、接下来进入本课重要的主角：二叉树
现在我们把刚才的树限制一下：
每个结点最多只能有两个孩子。
这时候就变成：
二叉树（Binary Tree）
例如：
A
/ \
B C
/ \
D E每个结点：
最多2个孩子所以是二叉树。
二叉树的定义：
二叉树是由根结点以及左子树和右子树组成的有限集合；每个结点至多只有两棵子树。
十八、为什么叫"二叉"？
"二"很好理解：
最多两个孩子"叉"可以理解成：
一个地方最多分成两条路所以：
A
/ \
B C就是：
A
/ \
左 右十九、二叉树最重要的特点：左右不能乱换
这是二叉树与普通树最容易混淆的地方。
看：
A
/ \
B C在二叉树中：
B = 左孩子
C = 右孩子如果交换：
A
/ \
C B这是：
另一棵二叉树
因为：
二叉树有左、右之分。
特别强调：
二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。
二十、普通树和二叉树有什么区别？
这是初赛选择题经常考的概念。
普通树
一个结点可以有：
0个
1个
2个
3个
4个
......孩子。
例如：
A
/ / \ \
B C D E完全可以。
二叉树
一个结点最多：
2个孩子例如：
A
/ \
B C但：
A
/ | \
B C D就不是二叉树。
总结：
普通树中结点最大度数没有限制，而二叉树结点最大度数为2；普通树没有左、右之分，而二叉树有左、右之分。
二十一、一个经典的思考题：3个结点有几种二叉树？
我们提出这个问题：
具有3个结点的二叉树可能有5种不同形态。
我们来数一数。
第一种
A
/
B
/
C第二种
A
/
B
\
C第三种
A
\
B
/
C第四种
A
\
B
\
C第五种
A
/ \
B C所以：
5种
为什么不是3种？
因为：
二叉树有"左"和"右"的区别。
这就是二叉树非常重要的特征。
二十二、什么是满二叉树？
接下来是初赛高频考点。
先画一棵：
A
/ \
B C
/ \ / \
D E F G你会发现：
每一个非叶子结点
都有两个孩子而且：
每一层都排得满满的。这就是：
满二叉树
定义是：
深度为 k 且有 2^k-1 个结点的二叉树。每一层的结点数都是该层的最大值。
这里采用讲义的层数定义：
深度 = k那么：
第1层：1
第2层：2
第3层：4
第4层：8总数：
1 + 2 + 4 + 8 + ...最终：
2^k - 1二十三、为什么是 2^k-1？
例如深度：
k = 1只有：
1而：
2¹ - 1 = 1正确。
深度：
k = 2有：
1
2一共：
3而：
2² - 1 = 3深度：
k = 3有：
1
2
4总共：
7而：
2³ - 1 = 7二十四、什么是完全二叉树？
完全二叉树非常重要。
例如：
A
/ \
B C
/ \ /
D E F它虽然不是满二叉树，因为：
C只有左孩子但是它仍然是：
完全二叉树
为什么？
因为：
上面的层都填满，最后一层从左向右连续排列，中间不能出现空洞。
完全二叉树的定义是：将完全二叉树与同深度的满二叉树编号1到n的结点逐一对应；
其特点是至多只有最下面两层的结点度可能小于2，而且倒数第二层如果只有一个孩子，必须是左孩子。
二十五、满二叉树和完全二叉树到底差在哪里？
这是初学者容易混淆的地方。
满二叉树
要求非常严格：
每一层都满例如：
A
/ \
B C
/ \ / \
D E F G完全二叉树
允许最后一层：
从右边开始缺一些。
例如：
A
/ \
B C
/ \ /
D E F可以。
但：
A
/ \
B C
/ \
D E不可以。
因为最后一层出现了：
D 空 F?中间有空洞。
二十六、一个特别好用的判断方法
给孩子一句口诀：
完全二叉树：最后一层必须"左对齐"。
也就是说：
√ √ √ √ 空 空可以。
√ √ √ 空 空 空可以。
但：
√ 空 √ √不可以。
因为出现了：
"左边空了，右边还有人"。
二十七、满二叉树是完全二叉树吗？
答案：
当然是！
满二叉树是完全二叉树的一个特例。
所以关系是：
二叉树
│
┌────┴────┐
↓ ↓
完全二叉树 其他二叉树
│
↓
满二叉树更准确地说：
满二叉树 ⊂ 完全二叉树 ⊂ 二叉树二十八、二叉树第i层最多有多少个结点？
二叉树的性质1。
如果根是第1层：
第1层：1
第2层：2
第3层：4
第4层：8所以：
第i层最多有 2^（i-1） 个结点
要掌握这一性质。
二十九、为什么是 2^（i-1）？
因为：
第1层
1 = 2⁰
第2层
2 = 2¹
第3层
4 = 2²
第4层
8 = 2³所以：
第i层
= 2^(i-1)三十、初赛题：第8层最多多少个结点？
直接套：
2^(8-1)
= 2^7
= 128答案：
128
这种题不要再画树了。
直接上公式。
三十一、深度为k的满二叉树有多少个结点？
刚才已经推出来：
第1层：1
第2层：2
第3层：4
......
第k层：2^(k-1)总数：
1 + 2 + 4 + ... + 2^(k-1)等比数列：
= 2^k - 1所以：
满二叉树结点数 = 2^k-1
三十二、完全二叉树有多少个结点？
如果深度为：
k那么：
最少
前面层数尽量少，只有最后一层一个结点：
1
2
4
...
2^(k-2)
1讲义给出的结论是：
深度为 k 的完全二叉树，至少有 2^（k-1） 个结点，最多有 2^k-1 个结点。
所以：
最少：2^(k-1)
最多：2^k - 1三十三、举个例子
如果：
k = 4完全二叉树最少：
2^(4-1)
= 8最多：
2^4 - 1
= 15所以：
8 ≤ n ≤ 15三十四、一道经典的选择题
题目：
一棵完全二叉树有1001个结点，问叶子结点个数。
这里实际上可以利用一个重要规律：
对于一棵二叉树，如果：
n0 = 度为0的结点数
n1 = 度为1的结点数
n2 = 度为2的结点数则：
n0 = n2 + 1这个结论我们可以放到下一阶段继续重点推导。
对于完全二叉树，还可以利用：
编号从1开始时，编号大于 n/2 的结点都是叶子。
这个结论后面讲二叉树顺序存储时会重点解释。
三十五、对于我们小学生，先建立：
形状 → 规律 → 公式而不是：
公式 → 死记比如：
●
/ \
● ●
/ \ / \
● ●● ●先看到：
1
2
4再想到：
2^(i-1)然后自然得到：
1+2+4+...=2^k-1这样孩子以后遇到陌生题也不会慌。
方法一：利用完全二叉树的编号
完全二叉树从上到下、从左到右编号：
1
/ \
2 3
/ \ / \
4 5 6 7
...对于有 n 个结点的完全二叉树：
编号大于 ⌊n/2⌋ \lfloor 的结点全部是叶子结点。
这里：
n=1001
所以：
⌊1001/2⌋=500
因此：
1 ～ 500 非叶子结点
501 ～ 1001 叶子结点叶子数量：
1001−500=501
正确答案是：
501 个
方法二：从"最后一层"理解
1001 个结点的完全二叉树：
前面的 500 个结点可以看成：
1 ～ 500它们负责产生孩子。
从：
501 ～ 1001开始的结点没有孩子，因此全部是叶子。
数量：
1001−500=501
所以答案是：
501
记忆口诀：
完全二叉树，从 n/2 + 1开始，全是叶子。
三十六、CSP-J最喜欢考的"概念陷阱"
陷阱1：树的度
错误：
所有结点度数加起来正确：
最大结点度数陷阱2：叶子结点
错误：
最下面一层所有结点正确：
度为0的结点陷阱3：二叉树必须有两个孩子
错误。
二叉树是：
最多两个可以：
0个
1个
2个陷阱4：完全二叉树必须每个结点都有两个孩子
错误。
例如：
A
/ \
B C
/
D完全二叉树可以存在一个孩子。
陷阱5：满二叉树和完全二叉树一样
错误。
关系：
满二叉树
↓
一定是
↓
完全二叉树但反过来：
完全二叉树
↓
不一定
↓
满二叉树三十七、课堂小测①
给出：
A
/ | \
B C D
/ \
E F问：
1. A的度？
32. B的度？
23. C的度？
04. 这棵树的度？
35. 叶子有哪些？
C、D、E、F6. B和C是什么关系？
兄弟三十八、课堂小测②：判断是不是二叉树
A
A
/ \
B C是。
B
A
/|\
B C D不是二叉树。
因为：
A有3个孩子。三十九、课堂小测③：判断是不是完全二叉树
图1
A
/ \
B C
/ \ /
D E F答案：
是
图2
A
/ \
B C
/ \
D E答案：
不是
因为最后一层不满足从左向右连续排列。
四十、课堂小测④：计算
一棵二叉树第5层最多有多少个结点？
2^(5-1)
= 16答案：
16
四十一、课堂小测⑤：满二叉树
一棵深度为5的满二叉树有多少个结点？
2^5 - 1
= 31答案：
31
四十二、把本课知识画成一张地图
树
│
┌──────────┴──────────┐
↓ ↓
普通树 二叉树
孩子数不限 最多2个孩子
│
┌───────┴───────┐
↓ ↓
完全二叉树 其他
│
↓
满二叉树树的基本术语：
根
│
├── 父结点
├── 孩子
├── 兄弟
├── 祖先
├── 子孙
├── 叶子：度=0
├── 分支结点：度>0
├── 结点的度：孩子数量
└── 树的度：所有结点度的最大值二叉树：
第i层最多：
2^(i-1)
深度k的满二叉树：
2^k - 1
深度k的完全二叉树：
2^(k-1) ≤ n ≤ 2^k - 1四十三、本课要让同学们掌握的5个概念
① 什么是树？
树是一种具有层次和分支关系的数据结构。
② 什么是二叉树？
每个结点最多有两个孩子，而且有左、右之分。
③ 什么是叶子？
没有孩子的结点，度为0。
④ 什么是完全二叉树？
除了最后一层外，上面各层都是满的，最后一层从左向右连续排列。
⑤ 满二叉树和完全二叉树什么关系？
满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。
四十四、本课与CSP-J初赛的连接
这一课虽然看起来"只是概念"，实际上是后面大量初赛题目的基础。
在树和二叉树习题中，有大量：
-
树的度；
-
结点的度；
-
叶子结点；
-
完全二叉树叶子数；
-
二叉树某一层最多结点数；
-
二叉树最少结点数；
-
前序、中序、后序遍历；
-
完全二叉树高度；
-
二叉树顺序存储编号。
例如直接考查"第 i 层最多有多少结点"、完全二叉树结点数量，以及根据遍历序列还原二叉树。
所以我们要把"树的语言"学会。否则到了后面看到：
tree[x].left
tree[x].right或者：
dfs(root)大家会觉得每一个词都很陌生。
四十五、本课作业
画5棵不同的树，每棵树同学们都要回答：
① 根结点是谁？
② 有多少个结点？
③ 哪些是叶子？
④ 哪些是分支结点？
⑤ 某结点的度是多少？
⑥ 整棵树的度是多少？
⑦ 某结点在哪一层？
⑧ 树的深度是多少？
⑨ 是不是二叉树？
⑩ 是不是完全二叉树？
⑪ 是不是满二叉树？尤其最后的三问一定要反复练。