时间序列多元预测：VAR、VARMA、VARMAX 全解析（附 Granger 因果检验与完整代码）

阿图灵2026-09-03 9:56

时间序列多元预测：VAR、VARMA、VARMAX 全解析（附 Granger 因果检验与完整代码）

《Complete Time Series Forecasting Bootcamp in Python 2025》第 4 章学习笔记（零基础扩充版）

讲师：Marco（Carlos / Marco Peixeiro）

章节：第 4 章 · 多元预测（4 节）

官方仓库：marcopeix/AppliedTimeSeriesForecastingInPython（本课 10_VAR_VARMA_VARMAX.ipynb）

环境：statsmodels（VARMAX / grangercausalitytests）+ sklearn + matplotlib

章节总览

编号 主题 模型 说明
1 多元预测概念 --- 多变量同时预测 + Granger 因果
2 代码：VAR 预测 VAR§ 向量自回归
3 代码：VARMA 预测 VARMA(p,q) VAR + MA
4 代码：VARMAX 预测 VARMAX(p,q) VARMA + 外生变量

本章场景 ：同时预测 cows（母牛） 和 calves（小牛） 的价格------两者是同一动物不同年龄，价格高度相关（小牛涨则母牛涨）。数据：barley_cow_calves_price.csv（加拿大统计，1992-2022 月度，含 barley/cows/calves 三列）。

什么是多元预测

  • 到目前为止都是单变量（一次预测一个时间序列）
  • 多元 = 同时预测多个时间序列 ，且利用多个序列的过去值互相预测
  • 为什么：cows 和 calves 价格相关（同一动物的不同年龄）

模型演进

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单变量
VAR(p)

多变量向量化
MA(q)

单变量
VARMA(p,q)

VAR+MA
VARMAX

+外生变量exog

一、核心概念

零基础速览：这一节在解决什么问题？

问题 ：前面学的 AR/ARMA/ARIMA 都是单变量 ------只看一个序列（比如牛奶产量）来预测它自己。但现实中有很多"成对出现"的数据：母牛价格和小牛价格、房价和利率、气温和冰淇淋销量------两个变量互相影响。只预测一个会浪费另一个提供的信息。

  • 多元预测 ：同时预测多个时间序列，且用其他序列的过去值帮忙预测当前序列
  • 本例：cows（母牛）和 calves（小牛）是同一动物的不同年龄------小牛涨了，饲料成本/供给变化会传导到母牛价格，所以两者高度相关
  • 为什么用矩阵表示 ：单变量 AR 的系数是一个数 （φ），多元 VAR 的系数是一个矩阵------矩阵的每个元素代表"序列 i 的过去值"对"序列 j 的当前值"的影响（比如 a12 表示 calves(t-1) 对 cows(t) 的影响）

Granger 因果检验是什么？ 它是这道菜的门槛：先用数据证明"一个序列的过去确实能预测另一个序列"，才能用 VAR 模型------否则模型学到的是"假关系"（巧合相关）。检验要跑两次（两个方向），p<0.05 才算通过。

!IMPORTANT

VAR 系列与 ARIMA 最大的区别 ：ARIMA 有集成阶数 d （模型内部自动差分），而 VAR 没有 d ------你必须自己先把序列差分到平稳（用 ADF 检验），预测后再手动 cumsum() 还原。

数学形式（VAR§ 向量形式）

复制代码 
y(t) = c + A1·y(t-1) + A2·y(t-2) + ... + Ap·y(t-p) + ε(t)

其中 y(t)、c、ε(t) 是向量 ，A1..Ap 是矩阵：

复制代码 
[cows(t)]   = [c1]   + [a11 a12] [cows(t-1)]  + ... + ε(t)
[calves(t)]   [c2]      [a21 a22] [calves(t-1)]
  • 每个序列的当前值 = 自身的过去值 + 其他序列的过去值（矩阵 a12/a21 交叉项）
  • 模型假设 各序列互相影响 → 必须用 Granger 因果检验验证

Granger 因果检验（Granger causality）

  • 统计检验：时间序列 X 的过去值能否帮助预测 Y
  • 要求：序列必须平稳
  • 要跑两次（两个方向：calves→cows 和 cows→calves）
  • 零假设：X 不 Granger 导致 Y（p<0.05 拒绝 → 存在因果）
  • 若检验失败 → 不能用 VAR 模型

通用建模流程（与 SARIMAX 类似）

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检验失败
① 使序列平稳

VAR无集成阶数,必须平稳
② 训练/测试切分
③ 网格搜索(p,q)

选AIC最小
④ Granger因果检验

验证序列互相影响
⑤ 拟合模型
❌ 不能用VAR系列模型
⑥ 残差分析

Q-Q图 + Ljung-Box
⑦ 滚动预测 + MAE评估

二、VAR§ 模型

零基础速览：VAR 是"AR 的向量版"

  • VAR§ = p 阶向量自回归：每个序列的当前值 = 常数 + 所有序列过去 p 步的加权 + 误差
  • 单变量 AR(1) 是"昨天自己×系数"；VAR(1) 是"昨天自己×系数 + 昨天对方×系数"
  • 本例选 VAR(6)（网格搜索 AIC 最小）------用过去 6 个月的数据预测下个月

为什么必须差分 ：VAR 没有内置差分，而 cows/calves 价格明显不平稳（有长期趋势）------ADF 检验 p=0.37/0.85（>0.05 不平稳）→ 一阶差分后 p=0.0019/4.14e-06（平稳）→ 建模用差分数据，预测后 cumsum() 还原。

Granger 检验为什么选 6 滞后：网格搜索选的 VAR 阶数是 6，Granger 检验也要用相同的滞后数（maxlag=6）------保持一致性。

1. 数据

python 复制代码 
df = pd.read_csv('data/barley_cow_calves_price.csv')
df.head()

输出：

复制代码 
    Date  barley   cows  calves
0  Jan-92  66.98  47.79   96.25
1  Feb-92  69.53  51.65   90.11
...

三个序列图（barley/cows/calves） ：

2. 平稳性检验（VAR 无集成阶数，必须平稳）

python 复制代码 
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
# cows 原始
adf = adfuller(df['cows'])
print('cows')
print(f'ADF Statistic: {adf[0]}')
print(f'p-value: {adf[1]}')
# calves 原始
adf = adfuller(df['calves'])
print('calves')
print(f'ADF Statistic: {adf[0]}')
print(f'p-value: {adf[1]}')

输出（原始）：

复制代码 
cows    ADF Statistic: -1.824673327122963   p-value: 0.3682826880725826
calves  ADF Statistic: -0.6797085372042213  p-value: 0.851935709412259

两个 p 都 > 0.05 → 不平稳，需差分。

python 复制代码 
# 一阶差分后
adf = adfuller(df['cows'].diff()[1:])
print('cows')    # p=0.0019 平稳
adf = adfuller(df['calves'].diff()[1:])
print('calves')  # p=4.14e-06 平稳

输出：

复制代码 
cows    ADF Statistic: -3.9172400148092836  p-value: 0.001911570559956177
calves  ADF Statistic: -5.358388855111447   p-value: 4.139911181465782e-06

3. 训练/测试切分 + VAR 网格搜索

python 复制代码 
endog = df[['cows', 'calves']]
endog_diff = df[['cows', 'calves']].diff()[1:]
train = endog_diff[:-48]
test = endog_diff[-48:]

def VAR_gridsearch(endog, min_p, max_p):
    all_p = range(min_p, max_p+1, 1)
    results = []
    print(f'Fitting {all_p} unique models')
    for p in tqdm_notebook(all_p):
        try:
            model = VARMAX(endog, order=(p, 0)).fit(disp=False)
        except:
            continue
        results.append([p, model.aic])
    result_df = pd.DataFrame(results)
    result_df.columns = ['p', 'AIC']
    return result_df.sort_values(by='AIC', ascending=True).reset_index(drop=True)

result_df = VAR_gridsearch(train, 0, 6)
result_df

输出：

复制代码 
Fitting range(0, 7) unique models
   p          AIC
0  6  3857.399348   ← 最小，选 VAR(6)
1  5  3864.637583
2  4  3865.935543
...

4. Granger 因果检验（双向）

python 复制代码 
from statsmodels.tsa.stattools import grangercausalitytests
print('calves Granger-causes cows?')
granger_1 = grangercausalitytests(df[['cows', 'calves']], [6])
print('cows Granger-causes calves?')
granger_2 = grangercausalitytests(df[['calves', 'cows']], [6])

输出：

复制代码 
calves Granger-causes cows?
Granger Causality
number of lags (no zero) 6
ssr based F test:  F=3.8994  p=0.0009  df_denom=351, df_num=6
...

p=0.0009 < 0.05 → calves 确实 Granger 导致 cows（检验通过，可用 VAR）。

5. 拟合 VAR(6)

python 复制代码 
from statsmodels.tsa.statespace.varmax import VARMAX
VAR_model = VARMAX(train, order=(6,0))
VAR_model_fit = VAR_model.fit(disp=False)
print(VAR_model_fit.summary())

6. 残差分析（两个变量）

python 复制代码 
# cows 残差
VAR_model_fit.plot_diagnostics(variable=0)
python 复制代码 
residuals = VAR_model_fit.resid['cows']
ljung_box_test(residuals, False, None)   # 全部 >0.05，无自相关

输出 ：All values are above 0.05. We fail to reject the null hypothesis. The residuals are uncorrelated

python 复制代码 
# calves 残差
VAR_model_fit.plot_diagnostics(variable=1)

输出 ：All values are above 0.05...（无自相关）

7. 滚动预测（last vs VAR）

python 复制代码 
def rolling_predictions(df, last_train_value, train_len, horizon, window, method):
    total_len = train_len + horizon
    if method == 'VAR':
        cows_pred_VAR, calves_pred_VAR = [], []
        for i in range(train_len, total_len, window):
            model = VARMAX(df[:i], order=(6,0))
            res = model.fit(disp=False)
            predictions = res.get_prediction(0, i + window - 1)
            oos_pred_cows = predictions.predicted_mean.iloc[-window:]['cows']
            oos_pred_calves = predictions.predicted_mean.iloc[-window:]['calves']
            cows_pred_VAR.extend(oos_pred_cows)
            calves_pred_VAR.extend(oos_pred_calves)
        # 差分预测 → cumsum 还原
        cows_pred_VAR = np.insert(cows_pred_VAR, 0, last_train_value['cows']).cumsum()
        calves_pred_VAR = np.insert(calves_pred_VAR, 0, last_train_value['calves']).cumsum()
        return cows_pred_VAR[:horizon], calves_pred_VAR[:horizon]
    elif method == 'last':
        ...

pred_df = df[['cows', 'calves']][-48:]
TRAIN_LEN, HORIZON = len(train), len(test)
LAST_TRAIN_VALUE = endog.iloc[321]
windows = [1, 4, 6, 12]
for window in windows:
    cows_pred_last, calves_pred_last = rolling_predictions(endog_diff, LAST_TRAIN_VALUE, TRAIN_LEN, HORIZON, window, 'last')
    cows_pred_VAR, calves_pred_VAR = rolling_predictions(endog_diff, LAST_TRAIN_VALUE, TRAIN_LEN, HORIZON, window, 'VAR')
    pred_df[f'cows_pred_last_{window}'] = cows_pred_last
    ...

预测对比图（4 个 horizon） ：

8. 评估（MAE）

python 复制代码 
from sklearn.metrics import mean_absolute_error
mae_cow_last_1 = mean_absolute_error(pred_df['cows'], pred_df['cows_pred_last_1'])
mae_cow_VAR_1 = mean_absolute_error(pred_df['cows'], pred_df['cows_pred_VAR_1'])
...

MAE 对比图（cows/calves × last/VAR × 4 horizon） ：

三、VARMA(p,q) 模型

零基础速览：VARMA 是"VAR + MA"

  • VARMA(p,q) = 向量自回归 + 向量移动平均：不仅要"对方的过去值"，还要"双方的过去误差"
  • 网格搜索 49 个 (p,q) 组合 → VARMA(6,4) AIC 最小
  • Granger 检验不用重做：VAR(6) 和 VARMA(6,4) 的滞后结构一致，因果性只要验证一次
  • ⚠️ 本例中 calves 残差 Ljung-Box 有一个 p<0.05（仍有关联）------模型对 calves 的拟合不够完美，这是真实数据的常态，可加阶或接受

1. VARMA 网格搜索（(p,q) 组合）

python 复制代码 
from itertools import product
def VARMA_gridsearch(endog, min_p, max_p, min_q, max_q):
    all_p = range(min_p, max_p+1, 1)
    all_q = range(min_q, max_q+1, 1)
    all_orders = list(product(all_p, all_q))
    results = []
    print(f'Fitting {len(all_orders)} unique models')
    for order in tqdm_notebook(all_orders):
        try:
            model = VARMAX(endog, order=order).fit(disp=False)
        except:
            continue
        results.append([order, model.aic])
    result_df = pd.DataFrame(results)
    result_df.columns = ['(p,q)', 'AIC']
    return result_df.sort_values(by='AIC', ascending=True).reset_index(drop=True)

result_VARMA = VARMA_gridsearch(train, 0, 6, 0, 6)
result_VARMA.head()

输出：

复制代码 
Fitting 49 unique models
   (p,q)          AIC
0  (6, 4)  3773.472122   ← 最小，选 VARMA(6,4)
1  (6, 1)  3774.313326
2  (5, 4)  3777.956500
...

Granger 检验无需重做（p=6 与 VAR 相同）。

2. 拟合 VARMA(6,4)

python 复制代码 
VARMA_model = VARMAX(train, order=(6,4))
VARMA_model_fit = VARMA_model.fit(disp=False)
print(VARMA_model_fit.summary())

3. 残差分析

python 复制代码 
VARMA_model_fit.plot_diagnostics(variable=0)   # cows

输出 ：All values are above 0.05...（cows 无自相关）

python 复制代码 
VARMA_model_fit.plot_diagnostics(variable=1)   # calves

输出 ：At least one p-value is smaller than 0.05（⚠️ calves 残差仍有关联）

4. 滚动预测 + 评估

python 复制代码 
# rolling_predictions 与 VAR 相同，只是 model = VARMAX(df[:i], order=(6,4))

预测对比图 ：

MAE 对比图 ：

四、VARMAX(p,q) 模型（加外生变量）

零基础速览：VARMAX 是"VARMA + 外生变量"

  • 外生变量（exog） ：除了 cows/calves 互相预测外，再引入大麦价格（barley）------饲料成本影响牛价
  • VARMAX(6,4) = VARMA(6,4) + barley 作为额外输入
  • 索引对齐是最大的坑 ：train = endog_diff[:-48] 切的是差分后的数据（少一行），所以 exog 也必须用 .iloc[1:322] 切同一段------两个序列的索引必须严格对应，否则模型把"1 月的第 1 行"和"2 月的第 1 行"对齐了，结果全错
  • 预测时也要传 exog ：get_prediction(exog=exog[:i])------外生变量必须是已知的（大麦价格当月已知才能预测当月牛价）

1. VARMAX 网格搜索（带 exog）

python 复制代码 
def VARMAX_gridsearch(endog, exog, min_p, max_p, min_q, max_q):
    all_p = range(min_p, max_p+1, 1)
    all_q = range(min_q, max_q+1, 1)
    all_orders = list(product(all_p, all_q))
    results = []
    print(f'Fitting {len(all_orders)} unique models')
    for order in tqdm_notebook(all_orders):
        try:
            model = VARMAX(endog, exog, order=order).fit(disp=False)
        except:
            continue
        results.append([order, model.aic])
    result_df = pd.DataFrame(results)
    result_df.columns = ['(p,q)', 'AIC']
    return result_df.sort_values(by='AIC', ascending=True).reset_index(drop=True)

# 外生变量索引必须与训练集对齐（这里用 barley 预测 cows/calves）
exog = df['barley'].iloc[1:322]
result_VARMAX = VARMAX_gridsearch(train, exog, 0, 6, 0, 6)
result_VARMAX.head()

输出：

复制代码 
Fitting 49 unique models
   (p,q)          AIC
0  (6, 4)  3841.370903   ← 最小，选 VARMAX(6,4)
1  (6, 1)  3841.706027
2  (6, 5)  3845.765687
...

2. 拟合 VARMAX(6,4)（带外生变量）

python 复制代码 
VARMAX_model = VARMAX(train, exog, order=(6,4))
VARMAX_model_fit = VARMAX_model.fit(disp=False)
print(VARMAX_model_fit.summary())

⚠️ 外生变量 exog 的索引必须与 endog 对齐 （都用 .iloc[1:322] 切分）。

3. 残差分析

python 复制代码 
VARMAX_model_fit.plot_diagnostics(variable=0)   # cows

输出 ：All values are above 0.05...（cows 无自相关）

python 复制代码 
VARMAX_model_fit.plot_diagnostics(variable=1)   # calves

输出 ：All values are above 0.05...（calves 无自相关）

4. 滚动预测（VARMAX 带 exog）

python 复制代码 
def rolling_predictions(df, exog, last_train_value, train_len, horizon, window, method):
    total_len = train_len + horizon
    if method == 'VARMAX':
        cows_pred_VARMAX, calves_pred_VARMAX = [], []
        for i in range(train_len, total_len, window):
            model = VARMAX(df[:i], exog[:i], order=(6,4))
            res = model.fit(disp=False)
            predictions = res.get_prediction(exog=exog[:i])
            oos_pred_cows = predictions.predicted_mean.iloc[-window:]['cows']
            oos_pred_calves = predictions.predicted_mean.iloc[-window:]['calves']
            cows_pred_VARMAX.extend(oos_pred_cows)
            calves_pred_VARMAX.extend(oos_pred_calves)
        cows_pred_VARMAX = np.insert(cows_pred_VARMAX, 0, last_train_value['cows']).cumsum()
        calves_pred_VARMAX = np.insert(calves_pred_VARMAX, 0, last_train_value['calves']).cumsum()
        return cows_pred_VARMAX[:horizon], calves_pred_VARMAX[:horizon]
    elif method == 'last':
        ...

pred_df = df[['cows', 'calves']][-48:]
exog = df['barley'][1:]
TRAIN_LEN, HORIZON = len(train), len(test)
LAST_TRAIN_VALUE = endog.iloc[321]
WINDOW = 1
cows_pred_last, calves_pred_last = rolling_predictions(endog_diff, exog, LAST_TRAIN_VALUE, TRAIN_LEN, HORIZON, WINDOW, 'last')
cows_pred_VARMAX, calves_pred_VARMAX = rolling_predictions(endog_diff, exog, LAST_TRAIN_VALUE, TRAIN_LEN, HORIZON, WINDOW, 'VARMAX')

预测对比图 ：

5. 评估（MAE 柱状图）

python 复制代码 
mae_cow_last = mean_absolute_error(pred_df['cows'], pred_df['cows_pred_last'])
mae_cow_VARMAX = mean_absolute_error(pred_df['cows'], pred_df['cows_pred_VARMAX'])
...
fig, ax = plt.subplots()
width = 0.3
labels = ['Cows', 'Calves']
x = np.arange(len(labels))
y_last = [mae_cow_last, mae_calves_last]
y_VARMAX = [mae_cow_VARMAX, mae_calves_VARMAX]
ax.bar(x - width/2, y_last, width, label='Last')
ax.bar(x + width/2, y_VARMAX, width, label='VARMAX')
...

MAE 柱状图（Last vs VARMAX） ：

VARMAX 通常优于 last 基线（外生变量 barley 提供信息）。

本章小结（核心速查）

模型 定义 特点
VAR§ 向量自回归 p 个滞后，多序列互相预测
VARMA(p,q) VAR + MA 加移动平均部分
VARMAX(p,q) VARMA + 外生变量 用外部变量辅助预测

与 SARIMAX 对比

点 SARIMAX VAR 系列
目标 单变量 多变量（向量）
平稳性 有集成阶数 d 无 d，必须手动平稳
交叉影响 无 有（矩阵交叉项）
关键检验 ADF + Ljung-Box Granger 因果 + Ljung-Box
外生变量 exog 参数 exog 参数

核心易错点

  1. VAR 系列无集成阶数（d） ------序列必须自己先差分平稳，预测后 cumsum 还原
  2. 必须做 Granger 因果检验（双向），失败则不能用 VAR
  3. 外生变量索引必须与 endog 对齐 （切分方式一致，.iloc[1:322]）
  4. 预测函数用 VARMAX(endog, exog, order=(p,q)) ，VARMAX 预测时预测 get_prediction(exog=...)
  5. 差分预测后要 cumsum() 还原原始尺度
  6. 网格搜索用 AIC 最小选阶
  7. 残差分析对每个变量都要做（variable=0/1）
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