本文以笔记的形式记录计算固体力学相关知识点。
注1：限于研究水平，文中分析难免有不当之处，欢迎批评指正。
注2：本文档将不定期更新。
一、固体力学基础
1.1 结构力学
结构力学研究杆、梁、桁架、刚架、拱和薄板等结构在荷载作用下的内力、变形和稳定性。与弹性力学相比，结构力学通常先对三维连续体进行几何理想化，将结构表示为有限个杆件、节点或板壳单元，从而降低问题的空间维数。
1.1.1 结构的基本理想化
根据主要承载构件的几何特征，常见结构模型包括：
- 杆系结构：构件的长度远大于横截面尺寸，可进一步分为桁架、梁和刚架；
- 薄板与壳体：厚度方向尺寸远小于中面内的特征尺寸；薄板通常基于平面中面描述，壳体则允许中面具有曲率；
- 实体结构：三个方向尺寸相近，通常需要采用弹性力学或三维有限元模型。
结构计算中还需要理想化连接和支承。铰接节点传递力而不传递弯矩，刚接节点可以传递力和弯矩，滚动支座通常只约束一个方向的位移。理想化的合理性取决于结构尺度、材料性质、连接构造和荷载作用方式。
1.1.2 荷载与响应
作用在结构上的荷载可按来源分为恒载、活载、温度荷载、地震荷载和风荷载等；按作用方式可分为集中力、分布力、集中力矩和支座强制位移。结构响应通常包括：
- 位移和转角；
- 支座反力；
- 杆件轴力、剪力、弯矩和扭矩；
- 应力、应变及结构稳定性指标。
对于线性结构，在材料线性、小变形和边界条件不随响应改变的条件下，荷载与响应满足叠加原理：
q=Kd \mathbf{q}=\mathbf{K}\mathbf{d} q=Kd
其中，d\mathbf{d}d 为结构自由度向量，q\mathbf{q}q 为节点荷载向量，K\mathbf{K}K 为结构刚度矩阵。在施加足够的位移边界条件并消除刚体运动后，若刚度矩阵可逆，则有 d=K−1q\mathbf{d}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{q}d=K−1q。若存在非线性，则需要进行增量线性化后求解。
1.1.3 静力平衡
结构的整体平衡条件为
∑F=0,∑M=0 \sum \mathbf{F}=\mathbf{0}, \qquad \sum \mathbf{M}=\mathbf{0} ∑F=0,∑M=0
在平面问题中，通常写成三个独立方程：
∑Fx=0,∑Fy=0,∑Mz=0 \sum F_x=0, \qquad \sum F_y=0, \qquad \sum M_z=0 ∑Fx=0,∑Fy=0,∑Mz=0
对于结构中的任意隔离体，截面上的内力与外荷载必须满足局部平衡。以梁的平面弯曲为例，轴力 NNN、剪力 VVV 和弯矩 MMM 与分布荷载之间满足相应的微分平衡关系。采用不同的内力正号约定时，具体符号可能不同，但平衡关系和边界条件必须保持一致。
1.1.4 变形协调与本构关系
结构分析不仅要满足平衡，还要满足几何协调条件和材料本构关系。以 Euler-Bernoulli 梁为例，在小变形和截面保持平面的假设下，挠度 w(x)w(x)w(x) 与曲率近似满足
κ(x)≈−d2wdx2 \kappa(x)\approx -\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2} κ(x)≈−dx2d2w
曲率和弯矩的正负号取决于挠度、坐标及内力的符号约定，本文采用上述约定。
线弹性弯曲本构关系为
M(x)=EIκ(x) M(x)=EI\kappa(x) M(x)=EIκ(x)
其中 EEE 为弹性模量，III 为截面对相应弯曲轴的截面二次矩。轴向杆件的线弹性关系为
N=EAdudx N=EA\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} N=EAdxdu
其中 AAA 为截面面积。Timoshenko 梁进一步考虑剪切变形，适用于深梁或短梁；Euler-Bernoulli 梁则更适合细长梁的弯曲分析。
1.1.5 虚功原理与能量方法
若结构处于平衡状态，则任意满足位移约束的虚位移 δd\delta\mathbf{d}δd 所做的外虚功等于内虚功：
δWext=δWint \delta W_{\mathrm{ext}}=\delta W_{\mathrm{int}} δWext=δWint
在线性弹性结构中，这一关系可写为
δdTKd=δdTq \delta\mathbf{d}^{\mathsf T}\mathbf{K}\mathbf{d} =\delta\mathbf{d}^{\mathsf T}\mathbf{q} δdTKd=δdTq
由于虚位移是任意的，得到结构平衡方程 Kd=q\mathbf{K}\mathbf{d}=\mathbf{q}Kd=q。对于保守荷载，还可以通过总势能驻值条件求解：
Π(d)=12dTKd−dTq \Pi(\mathbf{d}) =\frac{1}{2}\mathbf{d}^{\mathsf T}\mathbf{K}\mathbf{d} -\mathbf{d}^{\mathsf T}\mathbf{q} Π(d)=21dTKd−dTq
δΠ(d)=0 \delta\Pi(\mathbf{d})=0 δΠ(d)=0
1.1.6 刚度法与有限元的联系
结构刚度法的基本步骤为：建立节点自由度，计算单元刚度矩阵，将各单元刚度矩阵按节点连接关系组装成整体刚度矩阵，施加边界条件并求解节点位移，最后由位移恢复内力和应力。其抽象形式为
K=∑eAeTKeAe \mathbf{K}=\sum_e\mathbf{A}_e^{\mathsf T}\mathbf{K}_e\mathbf{A}_e K=e∑AeTKeAe
其中 Ke\mathbf{K}_eKe 为单元刚度矩阵，Ae\mathbf{A}_eAe 为单元自由度到整体自由度的映射矩阵。有限元法将这一思想推广到连续体：通过形函数构造有限维位移场，再由弱形式得到单元矩阵和整体方程。第一章的连续体固体力学部分给出连续体问题的基本方程，第二章则进一步讨论其变分形式和有限元离散。
1.2 连续体固体力学
1.2.1 弹性静力学
设弹性体占据区域 Ω\OmegaΩ，位置坐标为 x\mathbf{x}x，位移为 u\mathbf{u}u，体力为 f\mathbf{f}f，应力为 σ\boldsymbol{\sigma}σ，应变为 ε\boldsymbol{\varepsilon}ε。在线性、小变形弹性理论中，基本方程包括平衡方程、几何方程和本构方程。
- 平衡方程
∂σji∂xj+fi=0 \frac{\partial \sigma {ji}}{\partial x{j}}+f_{i}=0 ∂xj∂σji+fi=0
其中采用 Einstein 求和约定。若没有偶力，角动量平衡还要求应力张量对称：
σij=σji \sigma_{ij}=\sigma_{ji} σij=σji
写成分量形式，有
∂σxx∂x+∂σyx∂y+∂σzx∂z+fx=0∂σxy∂x+∂σyy∂y+∂σzy∂z+fy=0∂σxz∂x+∂σyz∂y+∂σzz∂z+fz=0 \begin{matrix} \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma _{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma {zx}}{\partial z}+f{x}=0 \\ \frac{\partial \sigma _{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma {zy}}{\partial z}+f{y}=0\\ \frac{\partial \sigma _{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma _{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma {zz}}{\partial z}+f{z}=0 \end{matrix} ∂x∂σxx+∂y∂σyx+∂z∂σzx+fx=0∂x∂σxy+∂y∂σyy+∂z∂σzy+fy=0∂x∂σxz+∂y∂σyz+∂z∂σzz+fz=0
- 几何方程
ϵij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi) \epsilon {ij}=\frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \right ) ϵij=21(∂xj∂ui+∂xi∂uj)
- 本构方程
σij=Dijklϵkl \sigma {ij}=D{ijkl}\epsilon _{kl} σij=Dijklϵkl
在边界 ∂Ω=Γu∪Γt\partial\Omega=\Gamma_u\cup\Gamma_t∂Ω=Γu∪Γt 上，还需要给出边界条件：
ui=uˉion Γu,σjinj=tˉion Γt u_i=\bar{u}i \quad \text{on }\Gamma_u, \qquad \sigma{ji}n_j=\bar{t}_i \quad \text{on }\Gamma_t ui=uˉion Γu,σjinj=tˉion Γt
其中，n\mathbf{n}n 为外法向，uˉ\bar{\mathbf{u}}uˉ 为给定位移，tˉ\bar{\mathbf{t}}tˉ 为给定面力。Γu\Gamma_uΓu 和 Γt\Gamma_tΓt 通常不重叠，且共同覆盖整个边界。
对于均匀各向同性材料，本构关系可以写为
σ=2με+λ tr(ε)I \boldsymbol{\sigma}=2\mu\boldsymbol{\varepsilon} +\lambda\,\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{I} σ=2με+λtr(ε)I
其中 λ\lambdaλ 和 μ\muμ 为 Lamé 常数，μ\muμ 也称为剪切模量。它们与杨氏模量 EEE 和泊松比 ν\nuν 的关系为
μ=E2(1+ν),λ=Eν(1+ν)(1−2ν) \mu=\frac{E}{2(1+\nu)}, \qquad \lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} μ=2(1+ν)E,λ=(1+ν)(1−2ν)Eν
将本构关系和几何方程代入平衡方程，可以得到位移形式的 Navier 方程：
μ∇2u+(λ+μ)∇(∇⋅u)+f=0 \mu\nabla^2\mathbf{u}+(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u})+\mathbf{f}=\mathbf{0} μ∇2u+(λ+μ)∇(∇⋅u)+f=0
对于各向同性材料，常用的应变和应力分量为
εxx=∂u∂x,εyy=∂v∂y,εzz=∂w∂z,εxy=12(∂u∂y+∂v∂x),εyz=12(∂v∂z+∂w∂y),εzx=12(∂w∂x+∂u∂z). \begin{aligned} \varepsilon_{xx}&=\frac{\partial u}{\partial x}, & \varepsilon_{yy}&=\frac{\partial v}{\partial y}, & \varepsilon_{zz}&=\frac{\partial w}{\partial z},\\ \varepsilon_{xy}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right), & \varepsilon_{yz}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right), & \varepsilon_{zx}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right). \end{aligned} εxxεxy=∂x∂u,=21(∂y∂u+∂x∂v),εyyεyz=∂y∂v,=21(∂z∂v+∂y∂w),εzzεzx=∂z∂w,=21(∂x∂w+∂z∂u).
工程剪应变定义为 γij=2εij\gamma_{ij}=2\varepsilon_{ij}γij=2εij（i≠ji\ne ji=j）。使用 Voigt 记号时，剪切分量必须明确采用张量剪应变还是工程剪应变，以避免刚度矩阵中的系数混淆。
1.2.2 弹性动力学
弹性动力学考虑惯性效应。在线性、小变形条件下，动量平衡方程为
∂σji∂xj+fi=ρ u¨i \frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial x_j}+f_i=\rho\,\ddot{u}_i ∂xj∂σji+fi=ρu¨i
或写成向量形式
∇⋅σ+f=ρ u¨ \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f}=\rho\,\ddot{\mathbf{u}} ∇⋅σ+f=ρu¨
其中 ρ\rhoρ 为密度，u¨\ddot{\mathbf{u}}u¨ 为加速度。几何方程和本构方程仍可分别取为
ε=12(∇u+∇uT),σ=D:ε \boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{u}+\nabla\mathbf{u}^{\mathsf T}\right), \qquad \boldsymbol{\sigma}=\mathbf{D}:\boldsymbol{\varepsilon} ε=21(∇u+∇uT),σ=D:ε
相应的边界条件可以是位移边界、力边界或随时间变化的边界条件；此外还需要初始条件
u(x,0)=u0(x),u˙(x,0)=v0(x) \mathbf{u}(\mathbf{x},0)=\mathbf{u}_0(\mathbf{x}), \qquad \dot{\mathbf{u}}(\mathbf{x},0)=\mathbf{v}_0(\mathbf{x}) u(x,0)=u0(x),u˙(x,0)=v0(x)
对于无阻尼系统，半离散有限元方程通常写成
Md¨+Kd=F(t) \mathbf{M}\ddot{\mathbf{d}}+\mathbf{K}\mathbf{d}=\mathbf{F}(t) Md¨+Kd=F(t)
其中 M\mathbf{M}M 为质量矩阵，K\mathbf{K}K 为刚度矩阵，d\mathbf{d}d 为节点位移向量。若考虑黏性阻尼，可写为
Md¨+Cd˙+Kd=F(t) \mathbf{M}\ddot{\mathbf{d}}+\mathbf{C}\dot{\mathbf{d}}+\mathbf{K}\mathbf{d}=\mathbf{F}(t) Md¨+Cd˙+Kd=F(t)
1.2.3 非线性固体力学
非线性力学中，位移、应变、应力和载荷之间不再满足简单的线性关系。常见非线性来源包括：
- 几何非线性：位移或转动较大，导致应变-位移关系需要采用有限应变描述；
- 材料非线性：本构关系依赖于当前状态、加载历史或内部变量，例如塑性、黏弹性和损伤；
- 边界非线性：接触、摩擦或随变形改变的边界条件引起非线性。
有限变形理论通常在参考构形中定义变形梯度
F=∂x∂X=I+∂u∂X \mathbf{F}=\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial\mathbf{X}} =\mathbf{I}+\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial\mathbf{X}} F=∂X∂x=I+∂X∂u
并可采用 Green-Lagrange 应变
E=12(FTF−I) \mathbf{E}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{F}^{\mathsf T}\mathbf{F}-\mathbf{I}\right) E=21(FTF−I)
作为应变度量。非线性有限元的离散方程一般写成残量形式
R(d)=Fext−Fint(d)=0 \mathbf{R}(\mathbf{d})=\mathbf{F}{\mathrm{ext}}-\mathbf{F}{\mathrm{int}}(\mathbf{d})=\mathbf{0} R(d)=Fext−Fint(d)=0
并通过 Newton-Raphson 等增量迭代方法求解：
Ktan(d(k))Δd(k)=R(d(k)),d(k+1)=d(k)+Δd(k) \mathbf{K}_{\mathrm{tan}}(\mathbf{d}^{(k)})\Delta\mathbf{d}^{(k)} =\mathbf{R}(\mathbf{d}^{(k)}), \qquad \mathbf{d}^{(k+1)}=\mathbf{d}^{(k)}+\Delta\mathbf{d}^{(k)} Ktan(d(k))Δd(k)=R(d(k)),d(k+1)=d(k)+Δd(k)
其中 Ktan\mathbf{K}_{\mathrm{tan}}Ktan 为切线刚度矩阵。具体的应变度量、应力度量和本构更新算法应保持能量共轭关系，否则可能导致离散方程不一致或迭代不收敛。
二、有限单元法 (Finite Element Method)
有限元法的核心是：先将连续体问题写成弱形式，再选取有限维的试函数空间进行离散。下图表示各类表述和方法之间的典型关系；虚线表示只在相应假设下成立的联系，不表示严格的集合包含关系。
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存在势能泛函（最小势能原理）
虚位移原理（平衡的物理表述）
构造近似解，产生残差
线弹性静力学中等价
自伴随正定条件下等价
特定离散选择下得到相同方程
权函数取自试函数空间
特征值问题的有限维近似
采用有限元试函数（分片多项式）
单元离散与整体组装
强形式
(微分方程 + 边界条件)
弱形式
(积分方程)
Ritz法
(泛函驻值问题)
虚功原理
(虚位移作为权函数)
加权余量法 MWR
(残差对权函数正交)
伽辽金法
(权函数 = 试函数)
Rayleigh-Ritz法
(常用 Rayleigh 商)
有限元法 FEM
(形函数、单元离散与整体组装)
其中，伽辽金法是加权余量法的一个特例；虚功原理是力学中的弱形式表述；Ritz 法要求问题能够由势能泛函描述。有限元法则是在这些表述或方法的基础上，用有限维函数空间完成数值离散。
2.1 变分原理
2.1.1 经典变分原理
设弹性体占据区域为 Ω\OmegaΩ，边界分解为 Γu∪Γt=∂Ω\Gamma_u\cup\Gamma_t=\partial\OmegaΓu∪Γt=∂Ω，其中 Γu\Gamma_uΓu 上给定位移，Γt\Gamma_tΓt 上给定面力。在线性、小变形、保守静力问题中，内能密度为
W(ε)=12ε:D:ε W(\boldsymbol{\varepsilon})=\frac{1}{2}\boldsymbol{\varepsilon}:\mathbf{D}:\boldsymbol{\varepsilon} W(ε)=21ε:D:ε
总势能泛函为
Π(u)=∫ΩW(ε(u)) dΩ−∫Ωf⋅u dΩ−∫Γttˉ⋅u dΓ \Pi(\mathbf{u}) =\int_{\Omega}W(\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u}))\,\mathrm{d}\Omega -\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}\Omega -\int_{\Gamma_t}\bar{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}\Gamma Π(u)=∫ΩW(ε(u))dΩ−∫Ωf⋅udΩ−∫Γttˉ⋅udΓ
其中，f\mathbf{f}f 为体力，tˉ\bar{\mathbf{t}}tˉ 为边界面力，且
ε(u)=12(∇u+∇uT) \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u})=\frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{u}+\nabla\mathbf{u}^{\mathsf T}\right) ε(u)=21(∇u+∇uT)
经典最小势能原理表述为：在满足本质边界条件的所有可容许位移中，真实位移使总势能取驻值；当材料刚度具有适当的正定性并排除刚体运动时，该驻值为唯一极小值。令 v\mathbf{v}v 为满足 v=0\mathbf{v}=\mathbf{0}v=0（在 Γu\Gamma_uΓu 上）的任意虚位移，则
δΠ(u;v)=0 \delta\Pi(\mathbf{u};\mathbf{v})=0 δΠ(u;v)=0
给出虚功方程
∫Ωε(v):D:ε(u) dΩ=∫Ωf⋅v dΩ+∫Γttˉ⋅v dΓ \int_{\Omega}\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{v}):\mathbf{D}:\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u})\,\mathrm{d}\Omega =\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}\Omega +\int_{\Gamma_t}\bar{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}\Gamma ∫Ωε(v):D:ε(u)dΩ=∫Ωf⋅vdΩ+∫Γttˉ⋅vdΓ
这也是位移型有限元最常用的出发点。
2.1.2 Hellinger-Reissner 原理
Hellinger-Reissner 原理以位移 u\mathbf{u}u 和应力 σ\boldsymbol{\sigma}σ 作为独立变量。对于柔度张量 S=D−1\mathbf{S}=\mathbf{D}^{-1}S=D−1，可定义泛函
ΠHR(u,σ)=−12∫Ωσ:S:σ dΩ+∫Ωσ:ε(u) dΩ−∫Ωf⋅u dΩ−∫Γttˉ⋅u dΓ \Pi_{\mathrm{HR}}(\mathbf{u},\boldsymbol{\sigma}) =-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{S}:\boldsymbol{\sigma}\,\mathrm{d}\Omega +\int_{\Omega}\boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u})\,\mathrm{d}\Omega -\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}\Omega -\int_{\Gamma_t}\bar{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}\Gamma ΠHR(u,σ)=−21∫Ωσ:S:σdΩ+∫Ωσ:ε(u)dΩ−∫Ωf⋅udΩ−∫Γttˉ⋅udΓ
对 u\mathbf{u}u 和 σ\boldsymbol{\sigma}σ 分别取变分，可以得到平衡方程、自然边界条件、几何关系和本构关系。该原理是鞍点原理，而不是通常意义上的最小化原理。因此，位移和应力可以采用不同的插值空间，适合构造混合有限元；但两者的离散空间需要满足相容性条件，以避免数值不稳定。
2.1.3 Hu-Washizu 变分原理
Hu-Washizu 原理将位移 u\mathbf{u}u、应变 ε\boldsymbol{\varepsilon}ε 和应力 σ\boldsymbol{\sigma}σ 都视为独立变量。其泛函可写为
ΠHW(u,ε,σ)=∫ΩW(ε)+σ:(ε(u)−ε) dΩ−∫Ωf⋅u dΩ−∫Γttˉ⋅u dΓ \Pi_{\mathrm{HW}}(\mathbf{u},\boldsymbol{\varepsilon},\boldsymbol{\sigma}) =\int_{\Omega}\leftW(\\boldsymbol{\\varepsilon}) +\\boldsymbol{\\sigma}:\\left(\\boldsymbol{\\varepsilon}(\\mathbf{u})-\\boldsymbol{\\varepsilon}\\right)\\right \,\mathrm{d}\Omega -\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}\Omega -\int_{\Gamma_t}\bar{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}\Gamma ΠHW(u,ε,σ)=∫ΩW(ε)+σ:(ε(u)−ε)dΩ−∫Ωf⋅udΩ−∫Γttˉ⋅udΓ
对三个独立变量取变分，分别得到：
- 对 σ\boldsymbol{\sigma}σ 变分，得到相容条件 ε=ε(u)\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u})ε=ε(u)；
- 对 ε\boldsymbol{\varepsilon}ε 变分，得到本构关系 σ=∂W/∂ε\boldsymbol{\sigma}=\partial W/\partial\boldsymbol{\varepsilon}σ=∂W/∂ε；
- 对 u\mathbf{u}u 变分，得到平衡方程及力边界条件。
Hu-Washizu 原理统一了位移型、应力型和混合型变分方法。通过对其中部分变量进行消元，可以得到经典最小势能原理或 Hellinger-Reissner 原理。
2.2 定解问题的弱形式
考虑小变形线性弹性定解问题：
{−∇⋅σ=f,in Ω,σ=D:ε(u),in Ω,ε(u)=12(∇u+∇uT),in Ω,u=uˉ,on Γu,σn=tˉ,on Γt. \begin{cases} -\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}=\mathbf{f}, & \text{in }\Omega,\\ \boldsymbol{\sigma}=\mathbf{D}:\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u}), & \text{in }\Omega,\\ \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u})=\frac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{u}+\nabla\mathbf{u}^{\mathsf T}\right), & \text{in }\Omega,\\ \mathbf{u}=\bar{\mathbf{u}}, & \text{on }\Gamma_u,\\ \boldsymbol{\sigma}\mathbf{n}=\bar{\mathbf{t}}, & \text{on }\Gamma_t. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧−∇⋅σ=f,σ=D:ε(u),ε(u)=21(∇u+∇uT),u=uˉ,σn=tˉ,in Ω,in Ω,in Ω,on Γu,on Γt.
取任意试验函数（虚位移）v\mathbf{v}v，满足 v=0\mathbf{v}=\mathbf{0}v=0（在 Γu\Gamma_uΓu 上）。将平衡方程乘以 v\mathbf{v}v 并在 Ω\OmegaΩ 上积分，利用散度定理可得
∫Ωε(v):σ dΩ=∫Ωf⋅v dΩ+∫Γttˉ⋅v dΓ \int_{\Omega}\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{v}):\boldsymbol{\sigma}\,\mathrm{d}\Omega =\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}\Omega +\int_{\Gamma_t}\bar{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}\Gamma ∫Ωε(v):σdΩ=∫Ωf⋅vdΩ+∫Γttˉ⋅vdΓ
代入本构关系后，位移弱形式为：求 u∈V\mathbf{u}\in Vu∈V，使得对任意 v∈V0\mathbf{v}\in V_0v∈V0，有
a(u,v)=l(v) a(\mathbf{u},\mathbf{v})=l(\mathbf{v}) a(u,v)=l(v)
其中
V={u∣u=uˉ on Γu},V0={v∣v=0 on Γu} V=\left\{\mathbf{u}\mid\mathbf{u}=\bar{\mathbf{u}}\text{ on }\Gamma_u\right\},\qquad V_0=\left\{\mathbf{v}\mid\mathbf{v}=\mathbf{0}\text{ on }\Gamma_u\right\} V={u∣u=uˉ on Γu},V0={v∣v=0 on Γu}
a(u,v)=∫Ωε(v):D:ε(u) dΩ a(\mathbf{u},\mathbf{v}) =\int_{\Omega}\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{v}):\mathbf{D}:\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u})\,\mathrm{d}\Omega a(u,v)=∫Ωε(v):D:ε(u)dΩ
l(v)=∫Ωf⋅v dΩ+∫Γttˉ⋅v dΓ l(\mathbf{v}) =\int_{\Omega}\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}\Omega +\int_{\Gamma_t}\bar{\mathbf{t}}\cdot\mathbf{v}\,\mathrm{d}\Gamma l(v)=∫Ωf⋅vdΩ+∫Γttˉ⋅vdΓ
与强形式相比，弱形式降低了对位移连续可微性的要求：只需要位移具有一阶弱导数，即通常的 H1H^1H1 正则性。有限元中选取有限维子空间 Vh⊂VV_h\subset VVh⊂V 和 V0h⊂V0V_{0h}\subset V_0V0h⊂V0，求 uh∈Vh\mathbf{u}_h\in V_huh∈Vh 使
a(uh,vh)=l(vh),∀vh∈V0h a(\mathbf{u}_h,\mathbf{v}_h)=l(\mathbf{v}_h), \qquad \forall\mathbf{v}h\in V{0h} a(uh,vh)=l(vh),∀vh∈V0h
再令
uh=Nd,ε(uh)=Bd \mathbf{u}_h=\mathbf{N}\mathbf{d},\qquad \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{u}_h)=\mathbf{B}\mathbf{d} uh=Nd,ε(uh)=Bd
即可得到离散代数方程
Kd=F,K=∫ΩBTDB dΩ \mathbf{K}\mathbf{d}=\mathbf{F}, \qquad \mathbf{K}=\int_{\Omega}\mathbf{B}^{\mathsf T}\mathbf{D}\mathbf{B}\,\mathrm{d}\Omega Kd=F,K=∫ΩBTDBdΩ
其中，K\mathbf{K}K 为整体刚度矩阵，d\mathbf{d}d 为节点自由度向量，F\mathbf{F}F 包含体力、面力及经过边界处理后的载荷项。
三、边界单元法 (Boundary Element Method)
文献
- 龙驭球. 结构力学. 高等教育出版社, 2006.
- 徐芝纶. 弹性力学. 2008. 高等教育出版社, 2008.
- O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. Butterworth-Heinemann, 2013.
- O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Butterworth-Heinemann, 2013.
- 王勖成. 有限单元法. 清华大学出版社, 2003.
- 钱若军. 结构屈曲分析理论和方法. 东南大学出版社, 2018.