声学感知基础：Day3（2）.STFT（短时傅里叶变换）与ToF（飞行时间）

STFT 与 ToF 学习笔记

1. STFT：短时傅里叶变换

1.1 为什么需要 STFT？

FFT 只能说明整段信号中包含哪些频率，不能说明这些频率在什么时候出现。

STFT（Short-Time Fourier Transform，短时傅里叶变换）把长信号分成多个短时间窗口，并对每个窗口分别进行 FFT，从而得到信号的时频信息。

FFT 回答"有哪些频率"，STFT 回答"什么时间出现了什么频率"。

1.2 基本过程

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长时间信号
    ↓
划分多个短时间窗口
    ↓
对每个窗口做 FFT
    ↓
得到时间---频率图

因此可以简单理解为：

STFT=滑动窗口+FFT \text{STFT}=\text{滑动窗口}+\text{FFT} STFT=滑动窗口+FFT

1.3 数学表达

连续信号的 STFT 为：

X(τ,f)=∫−∞+∞x(t)w(t−τ)e−j2πft dt X(\tau,f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)w(t-\tau)e^{-j2\pi ft}\,dt X(τ,f)=∫−∞+∞x(t)w(t−τ)e−j2πftdt

其中：

x(t)x(t)x(t)：原始信号；
w(t−τ)w(t-\tau)w(t−τ)：移动到时间 τ\tauτ 的窗口函数；
τ\tauτ：时间位置；
fff：频率；
X(τ,f)X(\tau,f)X(τ,f)：信号的时频表示。

1.4 时频图

STFT 的结果是复数，绘图时通常使用其幅度：

A(τ,f)=∣X(τ,f)∣ A(\tau,f)=|X(\tau,f)| A(τ,f)=∣X(τ,f)∣

时频图中：

横轴表示时间；
纵轴表示频率；
颜色表示信号强度。

升频 Chirp 的频率随时间增大，因此通常在时频图中表现为一条由左下指向右上的斜线。

1.5 窗口长度的影响

窗口较短：时间分辨率高，频率分辨率低；
窗口较长：频率分辨率高，时间分辨率低。

频率分辨率近似为：

Δf=fsN \Delta f=\frac{f_s}{N} Δf=Nfs

其中，fsf_sfs 为采样率，NNN 为 FFT 点数。

2. ToF：飞行时间

2.1 基本概念

ToF（Time of Flight）表示声音从设备发射、到达目标并反射回接收设备所经历的传播时间。

对于扬声器和麦克风距离很近的反射式声学感知系统，目标距离为：

d=cΔt2 d=\frac{c\Delta t}{2} d=2cΔt

其中：

ddd：设备到目标的距离；
ccc：声速，室温下约为 343 m/s343\ \text{m/s}343 m/s；
Δt\Delta tΔt：声音的往返传播时间。

公式除以 222，是因为声音经历了"设备到目标"和"目标返回设备"两段路程，总路程为 2d2d2d。

2.2 示例

若往返时间为：

Δt=0.01 s \Delta t=0.01\ \text{s} Δt=0.01 s

则目标距离为：

d=343×0.012=1.715 m d=\frac{343\times0.01}{2}=1.715\ \text{m} d=2343×0.01=1.715 m

2.3 利用互相关估计 ToF

可以比较发射信号和接收信号的相似程度。互相关峰值对应的延迟采样点为 ℓmax⁡\ell_{\max}ℓmax，则：

Δt=ℓmax⁡fs \Delta t=\frac{\ell_{\max}}{f_s} Δt=fsℓmax

目标距离为：

d=cℓmax⁡2fs d=\frac{c\ell_{\max}}{2f_s} d=2fscℓmax

2.4 距离分辨率

对于带宽为 BBB 的 Chirp，理论距离分辨率近似为：

ΔR=c2B \Delta R=\frac{c}{2B} ΔR=2Bc

带宽越大，ΔR\Delta RΔR 越小，系统越容易区分距离接近的目标。

3. STFT、ToF 与声学感知的关系

方法	主要作用	输出
FFT	分析整段信号包含的频率	频谱
STFT	分析频率随时间的变化	时间---频率图
ToF	根据传播时间估计目标距离	距离

在呼吸与心跳感知中，可以采用以下处理流程：

Chirp→人体反射→匹配滤波或去啁啾→Range-Time Map \text{Chirp}\rightarrow\text{人体反射}\rightarrow\text{匹配滤波或去啁啾}\rightarrow\text{Range-Time Map} Chirp→人体反射→匹配滤波或去啁啾→Range-Time Map

然后进一步进行：

静态成分消除→Transformer/Mamba→呼吸与心跳估计 \text{静态成分消除}\rightarrow\text{Transformer/Mamba}\rightarrow\text{呼吸与心跳估计} 静态成分消除→Transformer/Mamba→呼吸与心跳估计

需要注意：人体胸腔的微小运动通常难以仅依靠整数采样点上的 ToF 变化测量，因此实际系统还经常利用回波相位的细微变化。

4. 核心总结

STFT 就是对滑动窗口内的信号反复做 FFT。
STFT 得到时间---频率二维表示，适合观察 Chirp 和动态信号。
反射式 ToF 测距公式为 d=cΔt/2d=c\Delta t/2d=cΔt/2。
Chirp 带宽越大，理论距离分辨率越高。
STFT 主要研究时频变化，ToF 主要研究传播时间和距离。