目录
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- 前言
- [1. TD learning of state values - The idea of the algorithm](#1. TD learning of state values - The idea of the algorithm)
- [2. TD learning of state values - Algorithm convergence](#2. TD learning of state values - Algorithm convergence)
- [3. TD learning of state values - Algorithm properties](#3. TD learning of state values - Algorithm properties)
- 结语
- 参考
前言
学习赵老师讲授的强化学习的数学原理视频，本篇文章记录第七讲 Part 3：时序差分方法（TD 算法收敛性、与 MC 的比较），记录个人学习笔记，和大家一起分享交流😄
1. TD learning of state values - The idea of the algorithm
TD 算法还没讲完---还有一个问题：它在数学上究竟在解决一个什么样的问题？或者说，它为什么被设计成这个样子？刚才我们直接写出了 TD 算法帮助大家理解，但为什么它要设计成这样？下面我们再来分析下。
TD 算法数学上究竟在干什么呢？它实际上在 求解贝尔曼公式。谁的贝尔曼公式呢？就是给定策略的贝尔曼公式，前面我们介绍贝尔曼公式时，已经给出了求解算法，大家如果还记得的话，我们给出了 closed-form solution 还有 iterative solution，为什么这里还要再求？和那些算法有什么区别呢？
那时介绍的算法依赖模型，而现在没有模型，所以用一句话来说就是， TD 算法是在没有模型的情况下来求解贝尔曼公式，希望大家能够非常明确地抓住这一点，接下来要做的，就是证明这句话。
首先要做的是引入一个新的贝尔曼公式，这个新的贝尔曼公式其实非常简单，我们来看一下。
v π ( s ) = E R + γ G ∣ S = s , s ∈ S (4) v_{\pi}(s) = \mathbb{E}R + \\gamma G \\mid S=s, \quad s \in S \tag{4} vπ(s)=ER+γG∣S=s,s∈S(4)
上面这个是什么呢？这个就是 state value 的一个最基本的定义 ，从 s s s 出发得到的 state value 等于一个 expectation，谁的 expectation 呢？是 immediate reward 与跳到下一个状态后得到的 return 之和的 expectation。
这个 expectation 可以拆成两项，一个是 E R \mathbb{E}R ER ，一个是 E G \mathbb{E}G EG ， E G \mathbb{E}G EG 可以再进一步写成：
E G ∣ S = s = ∑ a π ( a ∣ s ) ∑ s ′ p ( s ′ ∣ s , a ) v π ( s ′ ) = E v π ( S ′ ) ∣ S = s , \mathbb{E}G \\mid S = s = \sum_{a} \pi(a \mid s) \sum_{s'} p(s' \mid s, a)v_\pi(s') = \mathbb{E}v_\\pi(S') \\mid S = s, EG∣S=s=a∑π(a∣s)s′∑p(s′∣s,a)vπ(s′)=Evπ(S′)∣S=s,
这个形式的意思是：跳到下一个状态，如果下一个状态是 S ′ S' S′ ，那么对它的 state value 求 expectation，所以这两个是相同的。
刚才的这个 state value 的定义实际上就可以化成下面这样一个式子：
v π ( s ) = E R + γ v π ( S ′ ) ∣ S = s , s ∈ S . (5) \textcolor{blue}{v_\pi(s) = \mathbb{E}R + \\gamma v_\\pi(S') \\mid S = s, \quad s \in \mathcal{S}.} \tag{5} vπ(s)=ER+γvπ(S′)∣S=s,s∈S.(5)
与之前所学的贝尔曼公式相比，它的形式更简洁---没有那些求和符号，为什么呢？就是因为这里边是有一个 expectation，如果把这个 expectation 写开的话，那这个公式就和我们之前的公式是一模一样的。
这个公式 ( 5 ) (5) (5) ，有时被称为 Bellman expectation equation ，就是因为这里有一个 expectation，之所以介绍这个贝尔曼公式，是因为 TD 算法本质上就是在求解这个 equation，为什么呢？
我们接着来看，下面来求解刚刚得到的贝尔曼公式。怎么求解呢？用上节课介绍的 RM 算法 ，之后会看到：推导出的 RM 算法与刚才的 TD 算法非常类似，通过这个我们就能知道， 实际上 TD 算法就是求解贝尔曼公式的一个 RM 算法。
g ( v ( s ) ) = v ( s ) − E R + γ v π ( S ′ ) ∣ s , g(v(s)) = v(s) - \mathbb{E}R + \\gamma v_{\\pi}(S') \\mid s, g(v(s))=v(s)−ER+γvπ(S′)∣s,
为了求解这个贝尔曼公式，首先要定义这样一个函数 g ( v ( s ) ) g(v(s)) g(v(s)) ，如果写成 g ( w ) g(w) g(w) 大家可能会更清晰一点，就是要求解 g ( w ) = 0 g(w)=0 g(w)=0 ，但这里 w w w 有具体含义，即 v ( s ) v(s) v(s)--- v π ( s ) v_\pi(s) vπ(s) 的一个估计值，所以用稍复杂一点的 g ( v ( s ) ) g(v(s)) g(v(s)) 表示。令 g ( v ( s ) ) = 0 g(v(s))=0 g(v(s))=0，得到的解满足 v ( s ) = E R + γ v π ( S ′ ) ∣ s v(s)=\mathbb{E}R + \\gamma v_{\\pi}(S') \\mid s v(s)=ER+γvπ(S′)∣s---这实际上就是 v π ( s ) v_\pi(s) vπ(s) 。所以 v π ( s ) v_\pi(s) vπ(s) 是
g ( v ( s ) ) = 0. g(v(s))=0. g(v(s))=0.
这个方程的一个解。
怎么求解 g ( v ( s ) ) = 0 g(v(s))=0 g(v(s))=0 ？我们有一系列采样，什么采样呢？ R R R 的采样 r r r 和 S ′ S' S′ 的采样 s ′ s' s′ ，然后用这些采样组成 g ~ \tilde{g} g~ ，这个是 RM 算法非常典型的流程。
g ~ ( v ( s ) ) = v ( s ) − r + γ v π ( s ′ ) = ( v ( s ) − E R + γ v π ( S ′ ) ∣ s ) ⏟ g ( v ( s ) ) + ( E R + γ v π ( S ′ ) ∣ s − r + γ v π ( s ′ ) ) ⏟ η . \begin{aligned} \tilde{g}(v(s)) &= v(s) - r + \\gamma v_\\pi(s') \\6pt &= \underbrace{\left( v(s) - \mathbb{E}R + \\gamma v_\\pi(S')\|s \right)}{g(v(s))} + \underbrace{\left( \mathbb{E}R + \\gamma v_\\pi(S')\|s - r + \\gamma v_\\pi(s') \right)}{\eta}. \end{aligned} g~(v(s))=v(s)−r+γvπ(s′)=g(v(s)) (v(s)−ER+γvπ(S′)∣s)+η (ER+γvπ(S′)∣s−r+γvπ(s′)).
快速过一遍： g ~ \tilde{g} g~ 实际上就是 g ( v ( s ) ) g(v(s)) g(v(s)) 加上一个测量的误差，那么相对应的 RM 算法如下：
v k + 1 ( s ) = v k ( s ) − α k g ~ ( v k ( s ) ) = v k ( s ) − α k ( v k ( s ) − r k + γ v π ( s k ′ ) ) , k = 1 , 2 , 3 , ... \begin{align*} v_{k+1}(s) &= v_k(s) - \alpha_k \tilde{g}(v_k(s)) \\ &= v_k(s) - \alpha_k \left( v_k(s) - \\textcolor{red}{r_k} + \\gamma \\textcolor{red}{v}_{\\textcolor{blue}{\\pi}}(\\textcolor{red}{s'_k}) \right), \quad k = 1, 2, 3, \dots \tag{6} \end{align*} vk+1(s)=vk(s)−αkg~(vk(s))=vk(s)−αk(vk(s)−rk+γvπ(sk′)),k=1,2,3,...(6)
这是 RM 算法的典型形式，把 g ~ \tilde{g} g~ 代进去就是这样一个形式，这个式子大家仔细看一下，其实它和刚才我们介绍的 TD 算法非常类似，但有 两个小的不同点，来看一下。
第一个不同点就是，这里需要 反复得到 r r r 和 s ′ s' s′ 的采样 ，即从 s s s 出发得到 r r r、跳到 s ′ s' s′ ，然后下个时刻还从 s s s 出发，得到 r r r、跳到 s ′ s' s′ ，因为要反复采样，这和 TD 算法中沿 episode 按时间顺序依次访问各状态的方式不同，待会讲怎么解决。
另一个问题，大家也注意到了---我这里用蓝色标了出来：计算 v k + 1 v_{k+1} vk+1 时要用到 v π ( s k ′ ) v_{\pi}(s'k) vπ(sk′) ，即 s k ′ s'k sk′ 真实的 state value v π v{\pi} vπ ，但是 **这个 v π v{\pi} vπ 是不知道的**，那该怎么办呢？这个问题下面来解决。
解决第一个问题的方法： 把 { ( s , r , s ′ ) } \{(s,r,s')\} {(s,r,s′)} 这组采样替换成 { ( s t , r t + 1 , s t + 1 ) } \{(s_t, r_{t+1}, s_{t+1})\} {(st,rt+1,st+1)} 序列 ，简而言之：不是反复从 s s s 出发得到 r r r、 s ′ s' s′，而是得到一个 trajectory。trajectory 中恰巧访问到 s s s 时，就更新 s s s ；没访问到 s s s ，其估计值就保持不变。这样用一个 trajectory 序列就可以更新所有 s s s 的 v v v 。
第二个问题： v π ( s ′ ) v_\pi(s') vπ(s′) 未知 ---它实际上正是要求解的量，那该怎么办呢？实际上也很简单， 把 v π ( s ′ ) v_{\pi}(s') vπ(s′) 替换成当前对 s ′ s' s′ 的估计值 v k ( s k ′ ) v_k(s'_k) vk(sk′) 。问题又来了：原来式子中是 v π v_\pi vπ 时能保证收敛，现在换成了不准确的 v k v_k vk ，还能确保收敛吗？
答案是肯定的，直观解释是：这里其实只有一个式子，即对 s s s 的值不断进行更新，写成这种形式后，每个状态都有这样一个估计值，虽然此时此刻这个估计值是不准确的，但是在其它状态被访问时，还会对这个估计值进行修正，然后不断修正，最后所有状态的估计值都会收敛到 v π v_{\pi} vπ 。
这就是 用 RM 算法求解贝尔曼公式的思路，当然这个思路相对来说还是直观一些，下面给出严格的收敛性分析。
2. TD learning of state values - Algorithm convergence
TD 算法严格的收敛性结果就是下面这个定理。
定理（TD Learning 的收敛性）
通过 TD 算法 ( 1 ) (1) (1) ，如果对于所有 s ∈ S s \in \mathcal{S} s∈S ， ∑ t α t ( s ) = ∞ \sum_t \alpha_t(s) = \infty ∑tαt(s)=∞ 且 ∑ t α t 2 ( s ) < ∞ \sum_t \alpha_t^2(s) < \infty ∑tαt2(s)<∞ ，则当 t → ∞ t \to \infty t→∞ 时， v t ( s ) v_t(s) vt(s) 以概率 1 收敛到 v π ( s ) v_\pi(s) vπ(s) 。
定理说的是：在满足这些条件时， v t ( s ) v_t(s) vt(s) 最终收敛到 v π ( s ) v_\pi(s) vπ(s) 。这些条件是对 α t \alpha_t αt 的要求，如果大家学习了我们之前的 RM 算法或 SGD（随机梯度下降）算法，那你看到这个条件就会很熟悉了，证明这里不再展开，感兴趣的同学可以参考教材中的详细证明。
那么根据这个定理我们再强调几点：
第一点就是这个定理其实说的是什么呢？说的就是 状态值（state value）会收敛到真实的状态值 ，所以 TD 算法本质上还是在做 policy evaluation ，而且是针对某个给定的策略。但强化学习的最终目的是找到最优策略，那怎么改进策略、找到最优策略呢？之后我们会介绍：需要把 policy evaluation 和 policy improvement 相结合。
另外一个条件是对 α t \alpha_t αt 的要求：它应该满足 ∑ t α t ( s ) = ∞ , ∑ t α t 2 ( s ) < ∞ \sum_t \alpha_t(s) = \infty, \, \sum_t \alpha_t^2(s) < \infty ∑tαt(s)=∞,∑tαt2(s)<∞ 这两个式子，第一个式子说的是 α t \alpha_t αt 的和趋于无穷，注意这对任意一个状态 s s s 都应该成立，这是什么意思呢？从本质上说， 每一个状态 s s s 都应该被访问很多次或者是无穷次 ，当然实际当中只要很多次就可以。为什么这么说呢？当某个状态被访问时，对应的 α t ( s ) \alpha_t(s) αt(s) 是正数，当 trajectory 访问其它状态时，该状态对应的 α t ( s ) \alpha_t(s) αt(s) 就是 0，所以求和等于无穷意味着它被访问了（无穷）多次。
另外，定理的条件要求 α t \alpha_t αt 最终收敛到 0，但 实际中通常取一个较小的常数（如 0.001） ，这时候 ∑ t α t 2 ( s ) < ∞ \sum_t \alpha_t^2(s) < \infty ∑tαt2(s)<∞ 当然就不满足了，那实际中为什么还这么做呢？因为实际问题比较复杂， 我们希望很久之后我们得到的经验仍然能够派上用场 ，相反如果 α t \alpha_t αt 最后是趋向于 0 了，那很久之后这经验就没用了，所以我们只是把它设成一个很小的数，但不让它收敛到 0。
3. TD learning of state values - Algorithm properties
刚刚我们介绍了 TD learning 的基本性质，下面把 TD learning 与之前介绍的基于蒙特卡洛的 MC learning 比较 。 MC learning 是本课程中第一个 model-free 方法， TD learning 是第二个，那它们分别有什么优劣势呢？我们来看一下。
我们一个一个讲它们的优劣势，值得指出：除了 TD 之外我们还写了一个 Sarsa ，这个 Sarsa 是什么呢？是我们接下来马上要讲的一个算法，它可以直接来估计 action value，Sarsa 与之前讲的 TD 算法表达式基本一样，所以就直接把它一起拿过来比较。
第一个性质是什么呢？第一个性质是： TD 算法是 online（在线）的 ，什么意思呢？意思是：现在得到一个 reward、跳到下一状态，就立刻可以用这些信息更新当前的状态值估计。相比之下， MC learning 是 offline（离线）的 ：虽然正在采样，但不能立刻使用这些采样。为什么呢？因为我们必须一直采到 episode 结束，才能计算从当前 s s s 到最后的总 return，再用那个 return 作为估计值。
也正因为 TD 是 online 的，所以 它能处理 continuing task ，当然它也能够处理 episodic task，所以两类都可以。continuing task 是什么呢？就是任务不会停止、会一直持续下去，这时要更新就必须在线更新，因为我们不能等它停下来，当然，现实中不存在一直持续的任务，但是你可以想象它是一个非常长的任务。而 MC learning 因为是 offline 的，所以它只能处理 episodic task，必须等 episode 停止后才能用 MC 算法。
所以在这两方面 TD learning 还是略胜一筹 的，下面接着看 TD 的另外一个性质：
TD learning 是 bootstrapping ，bootstrapping 是指：之前对某个状态的 state value 已有初始猜测，再基于这个初始猜测加上新的信息，得到一个新的猜测。 MC learning 则不是 bootstrapping，为什么呢？它直接根据当前 episode 计算 return，并用这个 return 直接作为 action value 或者 state value 的估计值，这里不涉及之前的估计值。
另外一个性质就是： TD 的估计 variance 相对来说是比较小的，为什么呢？因为算法过程中涉及的随机变量较少：比如从当前状态出发，得到 reward 的一个采样和下一个状态的采样（如果是 Sarsa，还会对下一时刻的 action 采样）。正因为涉及得少，只用一次采样时 variance 也比较低。
相反， MC learning 涉及非常多的随机变量 ，为什么呢？因为它需要一个 episode，这个 episode 的第一步有一个 reward，第二步又有一个 reward...；即有很多个随机变量参与进来，随机变量很多时，只用一次采样，这次采样的 variance 会比较高。
那我们举一个比较直观的例子，假设 episode 长度为 L = 100 L=100 L=100，每个状态有 5 个 action 可选，那么一共可能有 5 100 5^{100} 5100 个不同的 episode ，即从当前出发随机采样，可能会产生 5 100 5^{100} 5100 种不同的 episode，而只用其中一个 episode 的数据估计，可以想象它的 variance 会比较大。
另一方面，随机变量有两个性质，第一个是 variance ，第二个是它的 expectation 或者是 mean ，虽然 TD 算法的 variance 比较小，但它的 mean（expectation） 有 bias，为什么呢？
就是因为它 基于 bootstrapping，依赖初始估计 ，如果初始估计不太准确，这个不准确的估计会进入估计过程造成 bias，随着数据越来越多，bias 会被抵消，最终收敛到正确的估计值。相反， MC learning 虽然 variance 高，但不涉及任何初始值，对它求期望，其期望直接等于真实的 action value 或 state value，所以它是无偏估计。
结语
本讲第三部分完成了 TD 算法的理论闭环。通过引入简洁的 Bellman expectation equation v π ( s ) = E R + γ v π ( S ′ ) ∣ S = s v_\pi(s) = \mathbb{E}R + \\gamma v_\\pi(S')\|S=s vπ(s)=ER+γvπ(S′)∣S=s，我们看清了 TD 算法的本质：它就是在无模型情况下，用 RM 算法求解贝尔曼公式。RM 与 TD 的两个差异恰好通过两个巧妙的替换解决---用轨迹中自然出现的 ( s t , r t + 1 , s t + 1 ) (s_t, r_{t+1}, s_{t+1}) (st,rt+1,st+1) 代替反复从同一状态采样，用当前估计 v k ( s ′ ) v_k(s') vk(s′) 代替未知的 v π ( s ′ ) v_\pi(s') vπ(s′) 。收敛定理给出的条件 ∑ t α t ( s ) = ∞ \sum_t \alpha_t(s) = \infty ∑tαt(s)=∞ 且 ∑ t α t 2 ( s ) < ∞ \sum_t \alpha_t^2(s) < \infty ∑tαt2(s)<∞ 与 RM 定理一脉相承，其本质要求是每个状态都被访问足够多次。
TD 与 MC 的对比则呈现了一幅经典的权衡图景：TD 在线、可处理 continuing task、方差小，但因 bootstrapping 依赖初始估计而略有偏倚；MC 离线、只能处理 episodic task、方差大（一条长度为 100 的 episode 只是 5 100 5^{100} 5100 种可能中的一种），却因不依赖初始值而无偏。低方差的有偏估计与高方差的无偏估计---这一对互补的特性，正是后续众多算法（如 TD(λ) 谱系）试图调和的对象。接下来，我们将把 TD 思想推广到 action value 的估计，迎来 Sarsa 算法🤗。