第三十九课：数学与逻辑②------阶乘、排列数与组合数：公式到底从哪里来？
上一课我们解决了一个最重要的问题：
换一下顺序，算不算一种新的结果？
-
不算 → 组合
-
算 → 排列
今天我们继续向前走一步，把三个非常重要的数学工具真正搞明白：
重点不是让大家死记公式，而是让同学们知道：
这些公式不是天上掉下来的，而是"一步一步数出来的"。
一、今天的故事：小明要组织一场颁奖典礼
班里有5位同学：
A B C D E老师准备颁发三个奖项：
🥇 冠军
🥈 亚军
🥉 季军问题来了：
从5个人中选出3个人，并分别获得冠军、亚军、季军，一共有多少种可能？
我们先不用公式。
二、第一步：冠军有几种选择？
冠军可以是谁？
A
B
C
D
E一共有：
5
种。
三、第二步：亚军有几种选择？
假设冠军已经是A。
那么剩下：
B C D E所以亚军有：
4
种选择。
四、第三步：季军有几种选择？
假设：
冠军：A
亚军：B那么只剩：
C D E所以季军有：
3
种选择。
因此：
5×4×3=60
答案：
60
这就是排列。
五、于是我们发现了排列数公式
从5个人中选3个人排列：
如果是：
从n个人中选m个人排列
那么：
第1个位置：n种
第2个位置：n-1种
第3个位置：n-2种
......
第m个位置：n-m+1种所以：
这就是排列数。
六、但是还有一个神奇的东西：阶乘！
刚才我们看到：
这个东西在数学中有一个专门的名字：
读作：
5的阶乘
定义：
例如：
3!=3×2×1=6
4!=4×3×2×1=24
5!=5×4×3×2×1=120
6!=6×5×4×3×2×1=720
七、为什么阶乘这么重要？
因为：
阶乘其实就是"把所有东西排一遍"的方法数。
例如：
A B C把3个人排成一列。
所有方法：
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA一共有：
6
而：
3!=6
所以：
3个人全部排列 = 3!
同理：
n个人全部排列=n!\boxed{n个人全部排列=n!}
八、一个特别重要的特殊情况：0！
孩子第一次看到：
0!
通常会问：
老师，0个东西怎么排列？
数学中规定了：
0! = 1
这个结论在组合公式中非常重要。
例如：
意思就是：
从n个东西里面一个都不选，只有一种方法。
那就是：
什么都不选所以：
0! = 1
非常合理。
九、排列数如何改写成阶乘？
例如：
我们知道：
5!=5×4×3×2×1
所以：
因此：
所以一般公式：
十、为什么是 (n−m)!？
这个地方不要死记。
例如：
就是：
7×6×5
但是：
7!=7×6×5×4×3×2×1
后面多出来的是：
4×3×2×1 = 4!
而：
4 = 7−3
所以：
也就是：
十一、现在轮到组合登场
还是5个人：
A B C D E如果我们只想：
选出3个人参加比赛。
那么：
ABC和：
BAC是同一种选择。
但是排列会把它们当成不同情况。
十二、排列比组合多了多少？
假设我们选中了：
A B C这三个人可以怎么排列？
3！
种。
也就是：
6
种。
因此：
每一个"3人组合"，在排列中会被计算3!次。
所以：
于是：
所以：
十三、组合公式终于来了！
十四、千万不要把两个公式混淆
十五、一个非常好用的"反推法"
看到：
可以这样想：
先把m个人选出来，再把这m个人全部排列。
例如：
如果先组合：
然后这2个人可以交换位置：
2!
所以：
也就是：
而：
完全一致。
十六、组合数的一个超级重要性质
观察：
和：
它们实际上相等。
为什么？
从5个人里面选2个人：
选中的2个人等价于：
没有被选中的3个人所以：
例如：
十七、这个性质为什么非常有用？
比如：
直接算：
看起来很吓人。
但利用：
可以变成：
于是只需要计算：
简单很多。
所以考试看到：
先看看：
m是不是很大？
如果很大，就把它变成：
n−m
十八、组合数还有一个神奇规律
看看：
分别是：
1, 5, 10, 10, 5, 1
于是：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1这就是我们曾经学习的：
杨辉三角
它和组合数有直接关系：
第n行的数字就是组合数
例如：
1 5 10 10 5 1对应：
这也是为什么前面学习过的杨辉三角，和今天的组合数学是连在一起的。
十九、初赛中经常不让你真的计算
例如：
一个10个元素的集合有多少个子集？
这时候甚至不需要排列组合公式。
对于每一个元素：
选
不选都有两种可能。
10个元素：
所以：
我们可以给出这一结论：n个元素的集合，每个元素都有"选/不选"两种可能，因此子集共有 2^n 个。
例如：
10个元素的集合中，恰好选择7个元素组成子集，有多少个？
就是：
所以如果问：
"10个元素集合中，7元素子集占所有子集的比例？"
就是：
这也是典型题型。
二十、再看一道竞赛中的经典题
甲、乙、丙三位同学选修课程。
有4门课程，甲选2门，乙、丙各选3门。
一共有多少种不同的选课方案？
这个题特别适合训练：
先分别计算，再使用乘法原理。
甲
4门中选2门：
乙
4门中选3门：
丙
4门中选3门：
三个人同时完成
甲有6种。
每一种甲的选择，乙有4种。
每一种甲乙组合，丙又有4种。
所以：
6×4×4=96
答案：
96
这就是采用了"组合数 和 乘法原理"思路。
二十一、C++中怎么计算组合数？
如果数据比较小，可以直接写一个阶乘函数：
#include <iostream>
using namespace std;
long long fact(int n)
{
long long ans = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
ans *= i;
}
return ans;
}
long long C(int n, int m)
{
return fact(n) / fact(m) / fact(n - m);
}
int main()
{
cout << C(5, 3) << endl;
return 0;
}输出：
10二十二、但是这个程序有一个大问题
如果：
fact(100)会发生什么？
100!
是一个极其巨大的数字。
long long 根本装不下。
所以在真正的算法题中，不能看到组合数就傻乎乎地计算：
n!这就是信息学竞赛非常重要的一个意识：
数学公式正确，不代表直接写程序计算公式就是正确的算法。
以后我们会学习：
-
杨辉三角求组合数
-
递推
-
取模
-
防止整数溢出
-
快速计算组合数
今天先基本建立数学基础。
二十三、初赛"看到题目"的快速判断模板
以后大家遇到类似题目，可以按照下面流程：
第一步：到底是在"选"还是"排"？
↓
需要考虑顺序吗？
↙ ↘
不需要 需要
↓ ↓
组合 排列
↓ ↓
C(n,m) A(n,m)如果是全部排列：
如果是从n个中选m个排列：
如果只是从n个中选m个：
二十四、今天容易错的5个地方
错误1：把"选3个人"自动当组合
不一定。
选3个人当冠军、亚军、季军
是排列。
错误2：把"排队"自动当排列
也不一定。
选出的同学按照年龄从小到大排列。
顺序已经被规定了，本质上只是选择。
错误3：忘记 m!
排列和组合最核心的关系：
错误4：不会使用对称性
看到：
C_{100}^{97}
应该想到：
错误5：看到阶乘就直接写程序算
数学上可以写：
但程序中可能溢出。
所以：
公式是数学工具，算法是程序工具。
两者不能混为一谈。
二十五、课堂练习
练习1
4个人全部排队，有多少种排法？
答案：
4! = 24
练习2
7个人中选3个人参加比赛，有多少种选法？
练习3
7个人中选3个人，分别担任队长、副队长、秘书。
练习4
可以改写成什么？
答案：
练习5
可以写成阶乘形式吗？
可以：
练习6
等于什么？
根据：
所以：
二十六、今天的"知识地图"
把今天的知识串起来：
阶乘
│
n! = 全排列
│
┌───────┴────────┐
↓ ↓
排列 A 组合 C
│ │
考虑顺序 不考虑顺序
│ │
└──────┬─────────┘
↓
A(n,m)=C(n,m)×m!再记住：
二十七、给同学们的最终记忆口诀
全部排，阶乘 n!；
选了还要排，排列 A(n,m)；
只选不排，组合 C(n,m)；
排列里面藏组合，差一个 m!。
更重要的是这一句：
先别急着套公式，先问：换个顺序，还是不是同一种结果？
这句话真正掌握以后，排列组合题就从"背公式"变成了"分析问题"。