数据结构第三课补充（空间复杂度）

数据结构算法空间复杂度分析

空间复杂度，衡量内存开销与问题规模 n 之间的关系，和时间复杂度共同构成算法效率的度量。

定义

空间复杂度：用于量度一个算法运行过程中临时占用的存储空间大小。

重要考点：只算辅助变量，不算输入数据本身所占的空间！

一般也作为问题规模n的函数，采用数量级形式描述，记作：
S(n)=O(g(n))

若一个算法的空间复杂度为 O(1)，则称此算法为原地工作 / 就地工作算法 。
注意：O(1)不是完全不用空间，而是辅助空间大小和 n 无关，是固定常量。不是零空间！

一、普通非递归程序的分析方法

步骤：

找出辅助变量、动态数组中，大小会随 n 变化的变量。输入参数不算！
分析该空间 x 和 n 的关系：x=f(n)
取数量级，得到 S(n)=O(f(n))。
小口诀：静态变量不算数，输入数组不算数，只看临时新开的。

示例1：O(1) 原地算法

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void loveYou(int n)
{
    int i=1;
    while(i<=n)
    {
        i++;
        printf("I Love You %d\n", i);
    }
    printf("I Love You More Than %d\n", n);
}

分析：变量 i 是固定单个变量，数量不随 n 变化。
👉 空间复杂度：S(n)=O(1)。

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int fun(int n)
{
    int i, j, k, s;
    s=0;
    for (i=0;i<=n;i++)
        for(j=0;j<=i;j++)
            for (k=0;k<=j;k++)
                s++;
    return(s);
}

分析：所有变量都是固定数量，循环只是执行次数变化，没有动态开辟数组。
👉 空间复杂度：S(n)=O(1)。

示例2：O(n)，一维动态数组

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void test(int n)
{
    int flag[n];  // 长度为n的数组
    int i;
    // ...省略代码
}

分析：数组 flag 的大小等于 n，辅助空间随 n 线性增长。
👉 空间复杂度：S(n)=O(n)。

示例3：O(n²)，二维动态数组

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void test(int n)
{
    int flag[n][n]; // n×n二维数组
    int i;
    // ...省略代码
}

👉 空间复杂度：S(n)=O(n²)。

多个数组叠加时，使用加法规则：O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))
例：同时有 flag $n$ $n$ 和 other $n$ ，S(n)=O(n^2)+O(n)=O(n2)，只保留最高阶。

一般关于数组：一旦形参涉及到数组

eg:im $n$ O(n)=n 一维数组

im $n$ $n$ O(n)=n^2 二维数组

二、递归程序的分析方法

递归的空间复杂度 = 递归调用的最大深度！

每一层递归，栈上都会保存一层局部变量与参数。栈帧深度决定空间。

示例1：深度为 n 的递归

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void loveYou(int n)
{
    int a,b,c;
    if (n > 1) {
        loveYou(n-1);
    }
    printf("I Love You %d\n", n);
}

分析：调用链 loveYou(5) → loveYou(4) → ... → loveYou(1)，递归深度 = n。
👉 空间复杂度：S(n)=O(n)。

示例2：每层递归再开一个数组

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void loveYou(int n)
{
    int flag[n];
    if (n > 1) {
        loveYou(n-1);
    }
    printf("I Love You %d\n", n);
}

分析：第n层开n个、n‑1层开n‑1个......总和 1+2+...+n≈\frac12 n^2。
👉 空间复杂度：S(n)=O(n²)。

⚠️ 坑点：不是只看单层，要累加整个递归栈的空间！

三、复杂度运算规则

加法规则：O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n)))
乘法规则：O(f(n)) × O(g(n)) = O(f(n)×g(n))

完整大小顺序（时间、空间通用）：
O(1) < O(log₂n) < O(n) < O(nlog₂n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

四、经典例题

例题1

算法的空间复杂度是指（）。

A.算法中输入数据所占用的存储空间的大小

B.算法本身所占用的存储空间的大小

C.算法中所占用的所有存储空间的大小

D.算法中需要的辅助变量所占用存储空间的大小

答案：D

解析：输入数据的空间不计入空间复杂度。

例题2

某算法的空间复杂度为O(1)，则（）。

A.该算法执行不需要任何辅助空间

B.该算法执行所需辅助空间大小与问题规模n无关

C.该算法执行不需要任何空间

D.该算法执行所需空间大小与问题规模n无关

答案：B

解析：只针对辅助空间，不是全部空间。

例题3【判断题】

一个算法的空间复杂度是O(1)，那么执行该算法时不需要任何空间。

答案：错

O(1)代表辅助空间是常量，仍然会用到少量变量空间，不是零。

五、空间复杂度做题通用步骤

区分输入与辅助：输入数组不算！只看算法自己临时开辟的变量、数组。
非递归：看动态数组的维度，一维O(n)，二维O(n²)，没有动态数组大多O(1)。
递归：找递归深度！深度是多少，阶就是多少；每层还开数组，需要累加计算。
最后：忽略常数、系数、低阶项，保留最高阶得到大O。

背诵总结

空间复杂度只统计辅助存储空间，输入数据所占空间不计入。
O(1)＝原地算法：辅助空间是固定常量，不是完全不用空间。
普通程序：看动态数组；递归程序：空间复杂度主要由递归深度决定。
复杂度排序：O(1) < O(log₂n) < O(n) < O(nlog₂n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ)。