【计算几何】布尔运算交并补异或

本文涉及知识点

数学 几何

求PathD及PathsD的面积

数学规则逆时针为外边界，面积为正；顺时针为内边界（孔洞），面积为负数。

两个完全相同的矩形，一个逆时针一个顺时针

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.ComponentModel;
using System.Data;
using System.Drawing;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;
using System.Windows.Forms;
using Clipper2Lib;

            PathD path1 = new PathD(new PointD[]{ new PointD(0,0),new PointD(100,0),new PointD(100,100),new PointD(0,100) });
            PathD path2 = new PathD();
            path2.AddRange(path1);
            path2.Reverse();
            double area1 = Clipper.Area(path1);
            double area2 = Clipper.Area(path2);
            Console.WriteLine("面积一：" + area1);
            Console.WriteLine("面积二：" + area2);

运行结果符合预期。

面积一：10000

面积二：-10000

            PathsD ps = new PathsD();
            ps.Add(path1);
            ps.Add(path2);
            double area3 = Clipper.Area(ps);
            Console.WriteLine("面积三：" + area3);

        运行结果符合预期：
        面积三：0

两个逆时针矩形不重叠

 PathD path1 = CreatePath(100, 100, 10);
            PathD path2 = CreatePath(200, 100, 10);   
            double area1 = Clipper.Area(path1);
            double area2 = Clipper.Area(path2);
            Console.WriteLine("面积一：" + area1);
            Console.WriteLine("面积二：" + area2);

            PathsD ps = new PathsD();
            ps.Add(path1);
            ps.Add(path2);
            double area3 = Clipper.Area(ps);
            Console.WriteLine("面积三：" + area3);

结果是两者之和：

面积一：400

面积二：400

面积三：800

两个完全相同的矩形（端点重合，方向相同）

         PathD path1 = CreatePath(100, 100, 10);
            PathD path2 = CreatePath(100, 100, 10);   
            double area1 = Clipper.Area(path1);
            double area2 = Clipper.Area(path2);
            Console.WriteLine("面积一：" + area1);
            Console.WriteLine("面积二：" + area2);

            PathsD ps = new PathsD();
            ps.Add(path1);
            ps.Add(path2);
            double area3 = Clipper.Area(ps);
            Console.WriteLine("面积三：" + area3);

重叠部分重复计算：

面积一：400

面积二：400

面积三：800

不重叠矩形，一个顺时针一个逆时针

            PathD path1 = CreatePath(100, 100, 10);
            PathD path2 = CreatePath(200, 100, 10);
            path2.Reverse();
            double area1 = Clipper.Area(path1);
            double area2 = Clipper.Area(path2);
            Console.WriteLine("面积一：" + area1);
            Console.WriteLine("面积二：" + area2);

            PathsD ps = new PathsD();
            ps.Add(path1);
            ps.Add(path2);
            double area3 = Clipper.Area(ps);
            Console.WriteLine("面积三：" + area3);

面积一：400

面积二：-400

面积三：0

结论

Paths面积就是各Path面积之和。

缠绕数（Winding Number）

以区域（子区域）内任意一点为起点，任意方向做射线。边界线从右向左穿过射线：缠绕数 +1，边界线从左向右穿过射线：缠绕数 -1，缠绕数 = 所有穿越的代数和。为了实现方便，一般用水平向右的射线。

逆势针矩形

任意边界方向都在对应射线的的逆时针平面，故WN+1。

顺时针矩形

任何边界方向都在对应射线的顺时针平面，故WN-1。

凹多边形

向左的射线和一条边界相交，边界在射线的逆时针半平面。故WN+1。

向右的射线和五条边界相交，3条边界在射线的逆时针半平面，2条在射线的顺时针半平面，故WN+3-2=1。

向右水平的射线

令射线方向 v 1 , 边界方向 v 2 ，如果 v 2 在 v 1 的逆时针半平面，则 v 1 × v 2 > 0 令射线方向v_1,边界方向v_2，如果v2在v1的逆时针半平面，则v_1 \times v_2 > 0 令射线方向v1,边界方向v2，如果v2在v1的逆时针半平面，则v1×v2>0,假定射线水平向右，及 v 1 = ( 1 , 0 ) ，则 v 1 × v 2 = v 2 . y v_1=(1,0)，则v_1 \times v_2 = v_2.y v1=(1,0)，则v1×v2=v2.y。

FillType 与布尔运算

    public enum FillRule
    {
        EvenOdd = 0,
        NonZero = 1,
        Positive = 2,
        Negative = 3
    }

EvenOdd (奇偶):WN为奇数是内部。和Path是逆时针还是顺时针无关。假定将某个Path改变方向，x个交点由-1变成1，y个交点由1变成-1。则WN变化为：2x-2y，是偶数，故WN的奇偶性不变。

NonZero(非0）：WN不是0是内部。和Path的方向有关。逆时针矩形内部有另外一个逆时针矩形，内部矩形WN=2。如果将任何一个矩形反向，则内部矩形的WN为0。

Positive(正数):WN>0时，是内部。

Negative(负数):WN<0时，是内部。

运算类型决定最终保留哪些区域。例如：

Intersection（交集）：保留 WC = +2 的区域。

Union（并集）：保留 WC > 0 的区域。

Difference（差集）：保留 WC = +1 的区域。

XOR（异或）：保留 WC=1 的区域。

交集并集异或都内部WC都是1，外包都是0。

差集，被减数内部是1,减数内部是-1，被减数减数外部是0。

一个正方形的并

path1逆时针，path2 顺时针。Paths哪些块是内部，由FillType和WN决定。

奇偶

     public Form1()
        {
            InitializeComponent();

            PathD path1 = CreatePath(0, 0, 100);
            PathD path2 = CreatePath(0, 0, 10);
            path2.Reverse();
            FillRule fr = FillRule.EvenOdd;
            var ps1 = Clipper.Union(new PathsD(new PathD[] {path1 }),fr );
            var ps2 = Clipper.Union(new PathsD(new PathD[] { path2 }), fr);
            double area3 = Clipper.Area(ps1);
            double area4 = Clipper.Area(ps2);
            Console.WriteLine("FillRule:" + fr);
            Console.WriteLine("面积三：" + area3);
            Console.WriteLine("面积四：" + area4);
        }
        //创建正方形,点集合逆时针顺序
        PathD CreatePath(double xCenter,double yCenter,double halfLen)
        {
            PointD[] pts = {new PointD(xCenter-halfLen,yCenter-halfLen), new PointD(xCenter + halfLen, yCenter - halfLen), 
                new PointD(xCenter + halfLen, yCenter + halfLen), new PointD(xCenter - halfLen, yCenter + halfLen) };
            return new PathD(pts);
        }

运行结果：

FillRule:EvenOdd

面积三：40000

面积四：400

path1的WN=1,path2的WN=-1，都是奇数，故都是内部。

非0

只修改一行代码

FillRule fr = FillRule.NonZero;

FillRule:NonZero

面积三：40000

面积四：400

± 1 \pm 1 ±1都非0，故都是内部。

正数

FillRule fr = FillRule.Positive;

FillRule:Positive

面积三：40000

面积四：0

负数

            FillRule fr = FillRule.Negative;

FillRule:Negative

面积三：0

面积四：400

1个paths 2个path的并

path1逆时针矩形，path2逆时针矩形，path2完全在path1内部。path2反转后形成path3，即path3顺时针。

path2内部：WN=2，path3内部：WN=0;path1内部非空洞，WN=1。

奇偶

      public Form1()
        {
            InitializeComponent();

            PathD path1 = CreatePath(0, 0, 100);
            PathD path2 = CreatePath(0, 0, 10);
            PathD path3 = CreatePath(0, 0, 10);
            path3.Reverse();
            Console.WriteLine("面积一：" + Clipper.Area(path1));
            Console.WriteLine("面积二：" + Clipper.Area(path2));
            Console.WriteLine("面积三：" + Clipper.Area(path3));

            FillRule fr = FillRule.EvenOdd;
            var ps12 = Clipper.Union(new PathsD(new PathsD() { path1,path2}), fr);
            var ps13 = Clipper.Union(new PathsD(new PathsD() { path1, path3 }), fr);
            Console.WriteLine("" + fr);
            Console.WriteLine("面积一二：" + Clipper.Area(ps12));
            Console.WriteLine("面积一三：" + Clipper.Area(ps13));
        }
        //创建正方形,点集合逆时针顺序
        PathD CreatePath(double xCenter,double yCenter,double halfLen)
        {
            PointD[] pts = {new PointD(xCenter-halfLen,yCenter-halfLen), new PointD(xCenter + halfLen, yCenter - halfLen), 
                new PointD(xCenter + halfLen, yCenter + halfLen), new PointD(xCenter - halfLen, yCenter + halfLen) };
            return new PathD(pts);
        }

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

EvenOdd

面积一二：39600

面积一三：39600

非零

只修改一行。

  FillRule fr = FillRule.NonZero;

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

NonZero

面积一二：40000

面积一三：39600

正数

    FillRule fr = FillRule.Positive;

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

Positive

面积一二：40000

面积一三：39600

负数

FillRule fr = FillRule.Negative;

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

Negative

面积一二：0

面积一三：0

两个paths的交集

path1,path2的WN=1，path3的WN=-1

奇偶

            PathD path1 = CreatePath(0, 0, 100);
            PathD path2 = CreatePath(0, 0, 10);
            PathD path3 = CreatePath(0, 0, 10);
            path3.Reverse();
            Console.WriteLine("面积一：" + Clipper.Area(path1));
            Console.WriteLine("面积二：" + Clipper.Area(path2));
            Console.WriteLine("面积三：" + Clipper.Area(path3));

            FillRule fr = FillRule.EvenOdd;
            var ps12 = Clipper.Intersect(new PathsD(new PathsD() { path1}), new PathsD(new PathsD() {  path2 }), fr);
            var ps13 = Clipper.Intersect(new PathsD(new PathsD() { path1 }), new PathsD(new PathsD() { path3 }), fr);
            Console.WriteLine("" + fr);
            Console.WriteLine("面积一二：" + Clipper.Area(ps12));
            Console.WriteLine("面积一三：" + Clipper.Area(ps13));

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

EvenOdd

面积一二：400

面积一三：400

非0

            FillRule fr = FillRule.NonZero;

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

NonZero

面积一二：400

面积一三：400

正数

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

Positive

面积一二：400

面积一三：0

负数

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

Negative

面积一二：0

面积一三：0

两个paths的差集

奇偶

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

EvenOdd

面积一二：39600

面积一三：39600

非0

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

NonZero

面积一二：39600

面积一三：39600

正数

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

Positive

面积一二：39600

负数

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

Negative

面积一二：0

面积一三：0

两个paths的交集 异或

奇偶

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

EvenOdd

面积一二：39600

面积一三：39600

非0

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

NonZero

面积一二：39600

面积一三：39600

正数

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

Positive

面积一二：39600

面积一三：40000

负数

面积一：40000

面积二：400

面积三：-400

Negative

面积一二：0

面积一三：400

返回值

Clipper的返回值，可以认为是Even-Odd或者Non-Zero中任意一种，即兼容这两种填充方式。

演示工具

演示工具基于Cad，支持Cad2013及更高版本。

亲士库版本：2026.9.4

Cliper库版本：2.0.0.0

点击下载亲士数学演示工具箱

如果不会操作，请看视频：https://edu.csdn.net/course/detail/41418

建议用工具尝试以下情况：

四种填充方式

部分多边形相离，部分多边形相切，部分多边形相离。

部分多边形是凸多边形，部分是凹多边形。

由于布尔运算容易理解，故工具只演示一个Path的并。

如果不想可视频或操作，可直接看图片。

奇偶模式的并集

01模式的并集

正数并集

负数并集

并集也可能为空。

上图红色三角形WN是1。黄色三角形是0，穿过三角形是-1,穿过矩形是1。红色矩形是1。全部不是负数。

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计算几何为骨，排样优化为魂
作品：亲士CAD工具箱
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活到老，学到老。明朝中后期，大约50%的进士能当上堂官(副部及更高)；能当上堂官的举人只有十余人。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。