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前言
本专栏文章为《LeetCode 热题 100》的刷题题解，相关内容如有侵权，立即删除。
一、题目
1、原题链接
2、题目描述
二、个人思路整理
1、思路分析
思路1：广度优先搜索 BFS（Kahn 算法 / 入度表法）
核心逻辑：
- 构建图与统计入度：
- 每门课程对应一个节点。
- 对于每对先修关系 a i , b i a_i, b_i ai,bi（学 a i a_i ai 前必须先学 b i b_i bi），建立有向边 b i → a i b_i \to a_i bi→ai。
- 统计每个节点的入度（即有多少门先修课需要提前完成）。
- 初始化队列： 将所有入度为
0的节点（没有任何先修课的课程）推入队列。 - BFS 拓扑遍历：
- 每次从队列中取出一个课程节点，已修课程计数加 1。
- 遍历该课程的所有后继节点，将它们的入度减 1（表示前置依赖已解决）。
- 若某个后继节点的入度减为
0，将其加入队列。
- 判断结果： 若最终弹出的节点总数等于
numCourses，返回true；否则说明存在环，返回false。
思路2：深度优先搜索 DFS（三色标记法）
核心逻辑：
使用数组 visited 记录节点状态：
0（未访问）：尚未遍历该节点。1（访问中）：当前 DFS 路径上的祖先节点。如果 DFS 过程中再次遇到状态为1的节点，说明找到了环。2（已完成）：以该节点为起点的所有路径均已遍历完毕且无环，后续若再次遍历到该节点可直接跳过。
2、解题代码
思路1：广度优先搜索 BFS（Kahn 算法 / 入度表法）
cpp
class Solution {
public:
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
// 1. 定义邻接表与入度数组
// adj[u] 存储所有依赖课程 u 的后续课程 v
vector<vector<int>> adj(numCourses);
// inDegree[v] 记录课程 v 的先修课程数量（入度）
vector<int> inDegree(numCourses, 0);
// 2. 构建有向图并统计入度
// prerequisites 中的每一项为 [ai, bi]，表示学习 ai 之前必须先修 bi（即存在有向边 bi -> ai）
for (const auto& edge : prerequisites) {
int course = edge[0]; // 目标课程
int pre = edge[1]; // 先修课程
adj[pre].push_back(course);
inDegree[course]++;
}
// 3. 将所有入度为 0 的节点（即没有任何先修课要求的课程）加入队列
queue<int> q;
for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
if (inDegree[i] == 0) {
q.push(i);
}
}
// 4. 执行 BFS 拓扑排序
int completed = 0; // 记录成功修完的课程总数
while (!q.empty()) {
int curr = q.front();
q.pop();
completed++;
// 遍历当前课程的所有后续课程
for (int nextCourses : adj[curr]) {
inDegree[nextCourses]--; // 对应后继课程的先修依赖减1
// 如果后继课程的所有先修课都已修完（入度为 0），则可以加入队列开始修读
if (inDegree[nextCourses] == 0) {
q.push(nextCourses);
}
}
}
// 5. 判断是否能够修完所有课程：
// 若修完的课程数等于总课程数，说明不存在环；否则说明图中存在换，无法全部完成
return completed == numCourses;
}
};复杂度分析
- 时间复杂度：时间复杂度： O ( V + E ) O(V + E) O(V+E)，其中 V = numCourses V = \text{numCourses} V=numCourses 为课程数， E = prerequisites.length E = \text{prerequisites.length} E=prerequisites.length 为依赖关系数。建图和遍历每个节点与边各一次。
- 空间复杂度： O ( V + E ) O(V + E) O(V+E)，邻接表占用 O ( V + E ) O(V + E) O(V+E)，入度表/状态数组及队列/递归栈占用 O ( V ) O(V) O(V)。
思路2：深度优先搜索 DFS（三色标记法）
cpp
class Solution {
public:
// DFS 辅助函数：检测从节点 u 出发是否存在环
// visited 状态说明：0 = 未访问，1 = 正在访问（当前 DFS 递归调用栈中），2 = 已安全访问完毕（无环）
bool hasCycle(int u, const vector<vector<int>>& adj, vector<int>& visited) {
// 将当前节点标记为 1 （正在访问）
visited[u] = 1;
for (int v : adj[u]) {
// 如果遇到状态为 1 的后继几点，说明碰到了当前递归栈上的祖先节点，存在环
if (visited[v] == 1) {
return true;
}
// 如果遇到未访问的节点，继续深入递归；若发现环则向上直接返回 true
if (visited[v] == 0 && hasCycle(v, adj, visited)) {
return true;
}
// 若 visited[v] = 2, 说明该节点之前已验证过无环，直接跳过即可
}
// 当前节点的所有分支均已探索完毕且无环，标记为 2 （安全状态）
visited[u] = 2;
return false;
}
bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
// 1. 构建邻接表：edge[1] -> edge[0]（先修课程 -> 目标课程）
vector<vector<int>> adj(numCourses);
for (const auto& edge : prerequisites) {
adj[edge[1]].push_back(edge[0]);
}
// 2. 初始化访问状态数组，初始全为 0（未访问）
vector<int> visited(numCourses, 0);
// 3. 遍历每一个节点作为起点进行 DFS 检测（处理图非连通的情况）
for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
if (visited[i] == 0) {
if (hasCycle(i, adj, visited)) {
return false; // 检测到环，无法完成所有课程
}
}
}
// 4. 所有节点及分支均无环，可以完成所有课程
return true;
}
};复杂度分析
- 时间复杂度：时间复杂度： O ( V + E ) O(V + E) O(V+E)，其中 V = numCourses V = \text{numCourses} V=numCourses 为课程数， E = prerequisites.length E = \text{prerequisites.length} E=prerequisites.length 为依赖关系数。建图和遍历每个节点与边各一次。
- 空间复杂度： O ( V + E ) O(V + E) O(V+E)，邻接表占用 O ( V + E ) O(V + E) O(V+E)，入度表/状态数组及队列/递归栈占用 O ( V ) O(V) O(V)。
三、知识风暴
拓扑排序（Topological Sorting） 是本题的核心解法。课程之间的先修关系天然构成一张有向图，只有不存在环时才能完成全部课程。理解拓扑排序的两种实现（Kahn 算法与 DFS 三色标记法），对掌握本题至关重要。
算法核心思想：
- 有向图建模 ：把每门课程看作一个节点，先修关系 a i , b i a_i, b_i ai,bi 建立有向边 b i → a i b_i \to a_i bi→ai，表示必须先学 b i b_i bi 才能学 a i a_i ai。
- 环检测本质 ：若图中存在环，则环上的课程互为先修、永远无法开始，因此
canFinish的本质就是判断有向图是否无环（DAG）。 - 两种实现殊途同归 ：BFS（Kahn 算法）通过不断删除入度为 0 的节点来拓扑排序；DFS 通过三色标记检测递归路径上是否出现回边。两者都能在 O ( V + E ) O(V+E) O(V+E) 内完成判断。
常见对比：BFS（Kahn 算法） vs DFS（三色标记法）
- BFS（Kahn 算法）：从入度为 0 的节点出发，逐层"剥离"无依赖节点。若最终能处理的节点数等于总课程数，说明无环；否则存在环。实现直观，且天然给出一种合法的选课顺序。
- DFS（三色标记法） ：从每个未访问节点出发递归遍历，用
0/1/2三色标记节点状态。若在递归栈上再次遇到状态为1的节点，说明存在环。适合处理图不连通的情况，代码更简洁。 - 共同点 ：两者都只需遍历每个节点和每条边一次，时间复杂度均为 O ( V + E ) O(V+E) O(V+E)。区别在于 BFS 侧重"入度消减"，DFS 侧重"路径回溯"。
"入度消减"标记思想：
- 核心思想：每修完一门先修课，就把所有依赖它的后继课程入度减 1。当某门课入度降为 0 时，说明它的所有先修课都已修完，可以入队开始修读。
- 与本题的联系 ：
completed计数器记录已修完的课程数。若最终completed == numCourses，说明所有课程都能被安排；否则说明存在环，无法完成。 - 注意事项：入度减 1 的操作必须发生在"弹出先修课程"时，且只有当入度恰好减为 0 才入队，避免重复入队或漏掉依赖关系。
使用要点：
- 邻接表构建 ：
adj[pre].push_back(course)建立先修课程到后继课程的映射，配合inDegree[course]++统计入度，是 Kahn 算法的标准建图方式。 - 队列初始化：第一轮把所有入度为 0 的课程全部入队，它们是没有先修依赖、可以立即开始的课程。
- 环的判定 ：BFS 结束后若
completed != numCourses，说明有课程因环而永远无法入队；DFS 中遇到状态为1的节点则直接返回true表示有环。 - 图不连通的处理：DFS 解法中，外层循环遍历所有节点作为起点，确保非连通图（如多门独立课程）也能被完整检测。
算法变体与扩展：
- 课程表 II（LeetCode 210）：在本题基础上要求输出一种具体的选课顺序，正是 Kahn 算法中节点出队的顺序，可加深对拓扑排序的理解。
- 课程表 III（LeetCode 630）：引入每门课的截止时间与持续时间，转化为贪心 + 优先队列问题，是拓扑排序的进阶变体。
- 外星词典（LeetCode 269）：根据单词顺序推断字母之间的先后关系，再通过拓扑排序判断字典序是否合法，是"隐式建图 + 拓扑排序"的经典应用。
- 项目管理（LeetCode 1203）：在课程表基础上增加"组内/组间"两级依赖，需要先对组做拓扑排序再对组内排序，是拓扑排序的复杂综合应用。
相关 LeetCode 例题：
- 210. 课程表 II（拓扑排序输出具体顺序）
- 630. 课程表 III（贪心 + 优先队列）
- 269. 外星词典（隐式建图 + 拓扑排序）
- 1203. 项目管理（两级拓扑排序）