不到 200 行 MATLAB 讲透 ISAC：2×2 MIMO-OFDM 通信与单基地雷达，凭什么能共用同一套波形【文末附代码链接】

基于 MATLAB 的 2×2 MIMO-OFDM ISAC 收发机设计与实现（含雷达距离-多普勒处理）

一个自包含的仿真工程：同一套 OFDM numerology 下同时实现 2×2 空分复用通信链路与 2×2 时分 MIMO 单基地雷达探测，输出 BER / EVM 与距离-多普勒图。全部使用 base MATLAB，无需任何工具箱。

〇、运行环境

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软件     : MATLAB R2020b 或更高（base MATLAB，无需 Communications/Phased Array 等工具箱）
脚本文件 : isac_mimo_ofdm_transceiver.m（单文件，约 200 行）
输出     : isac_mimo_ofdm_results.png（四子图结果）
随机种子 : rng(17, 'twister')（可复现）

脚本结构：

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① 系统配置
② 通信帧与 QPSK 发射流
③ 频选 MIMO 通信信道
④ 通信接收：CP 去除 → FFT → 导频 LS 估计 → MMSE 均衡
⑤ ISAC 感知突发：TDM-MIMO OFDM 雷达波形
⑥ 雷达接收：信道除法 → 距离 IFFT → 多普勒 FFT → 通道合并
⑦ 结果绘图与导出
⑧ 局部函数（调制/解调/OFDM/信道/回波）

一、系统配置

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clear; clc; close all;
rng(17, 'twister');                 % 固定随机种子，保证结果可复现

c     = 299792458;
fc    = 5.9e9;                      % 载频 [Hz]，λ ≈ 5.08 cm
lambda = c/fc;
Nt = 2; Nr = 2;                     % 2 发 2 收
Nfft = 64;
subcarrierSpacing = 15e3;           % 子载波间隔 [Hz]
Fs   = Nfft*subcarrierSpacing;      % 采样率 = 960 kHz
Ncp  = 16;                          % 循环前缀（采样点数）
Tsym = (Nfft + Ncp)/Fs;             % OFDM 符号长度 ≈ 83.33 μs
snrDb = 22;

由配置直接得到的雷达性能指标：

指标	公式	数值
总带宽	N f f t Δ f N_{fft}\Delta f NfftΔf	960 kHz
距离采样间隔	c / ( 2 F s ) c/(2F_s) c/(2Fs)	156.1 m
最大无模糊距离	c / ( 2 Δ f ) c/(2\Delta f) c/(2Δf)	10 km
PRI（TDM-MIMO 后）	N t T s y m N_t T_{sym} NtTsym	166.67 μs
最大无模糊速度	λ / ( 4 ⋅ P R I ) \lambda/(4\cdot PRI) λ/(4⋅PRI)	±76.2 m/s
速度分辨率	λ / ( 2 N p u l s e s P R I ) \lambda/(2N_{pulses}PRI) λ/(2NpulsesPRI)	9.53 m/s

二、通信发射端

2.1 QPSK 调制

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function symbols = qpskMod(bits)
    bits = bits(:);
    assert(mod(numel(bits),2) == 0, 'QPSK requires an even number of bits.');
    % 每 2 bit 映射为一个符号，实部/虚部取 ±1/sqrt(2)，保证平均功率为 1
    symbols = ((1 - 2*bits(1:2:end)) + 1j*(1 - 2*bits(2:2:end))) / sqrt(2);
end

注意：此映射不是格雷编码。对 BER 曲线的影响：高 SNR 下符号错误可能带来 2 个比特错误，而非格雷映射下通常为 1 个。与标准曲线对比时需说明。

2.2 帧结构与正交导频

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NcommSym = 20;
pilotSym = 1:Nt;                        % 每个 Tx 占一个整带导频符号（时域正交）
dataSym  = (Nt+1):NcommSym;

NdataBits = 2*Nfft*numel(dataSym)*Nt;
txBits = randi([0 1], NdataBits, 1);
txData = qpskMod(txBits);

Xcomm = zeros(Nfft, NcommSym, Nt);
for tx = 1:Nt
    % 整带、恒模导频：exp(j2πk·m/Nfft)，类似 DFT/Zadoff-Chu 序列
    Xcomm(:, pilotSym(tx), tx) = exp(1j*2*pi*(0:Nfft-1)'*(tx+1)/Nfft);
end
Xcomm(:, dataSym, :) = reshape(txData, Nfft, numel(dataSym), Nt);
txCommWave = ofdmModulate(Xcomm, Nfft, Ncp);

设计要点：

设计	目的
每个 Tx 独占一个导频符号	时域正交，使 LS 估计解耦为逐元素除法
导频序列恒模	频域全子载波激励（无需插值）+ 低峰均比
导频开销 2/20 = 10%	通信吞吐的固定代价，换取雷达相干处理能力

2.3 OFDM 调制与解调

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function wave = ofdmModulate(grid, Nfft, Ncp)
    [~, Nsym, Nant] = size(grid);
    timeNoCp   = ifft(grid, Nfft, 1) * sqrt(Nfft);      % 酉变换约定
    timeWithCp = [timeNoCp(end-Ncp+1:end,:,:); timeNoCp];   % 加 CP
    wave = reshape(timeWithCp, (Nfft+Ncp)*Nsym, Nant);
end

function grid = ofdmDemodulate(wave, Nfft, Ncp, Nsym)
    Nant = size(wave,2);
    assert(size(wave,1) == (Nfft+Ncp)*Nsym, 'Unexpected received frame length.');
    blocks = reshape(wave, Nfft+Ncp, Nsym, Nant);
    grid = fft(blocks(Ncp+1:end,:,:), Nfft, 1) / sqrt(Nfft);   % 必须配对
end

关键：ifft(...)*sqrt(Nfft) 与 fft(...)/sqrt(Nfft) 构成酉变换对，保证时/频域功率一致。两处缩放系数必须严格配对，否则 EVM 会被系统性缩放、BER 曲线整体平移。

三、通信信道与接收端

3.1 三径频选 MIMO 信道

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function h = makeMimoChannel(Nr, Nt, delays, powerDb)
    L = max(delays) + 1;
    h = zeros(Nr, Nt, L);
    for p = 1:numel(delays)
        spatialTap = (randn(Nr,Nt) + 1j*randn(Nr,Nt)) / sqrt(2);   % 复高斯
        h(:,:,delays(p)+1) = sqrt(10^(powerDb(p)/10)) * spatialTap;
    end
end

function y = applyMimoChannel(x, h)
    [Nr, Nt, ~] = size(h);
    Ns = size(x,1);
    y = zeros(Ns, Nr);
    for rx = 1:Nr
        for tx = 1:Nt
            response = squeeze(h(rx,tx,:));
            filtered = conv(x(:,tx), response);   % 线性卷积
            y(:,rx) = y(:,rx) + filtered(1:Ns);   % 截取前 Ns 个样本（无拖尾）
        end
    end
end

tapDelays  = [0 3 7];
tapPowerDb = [0 -5 -10];
hComm = makeMimoChannel(Nr, Nt, tapDelays, tapPowerDb);

建模约定：

最大时延 7 < Ncp = 16，全部多径落在 CP 内，无 ISI/ICI；
第一径时延为 0，FFT 窗口定时精确，频域信道不含额外线性相位；
各抽头空间矩阵独立同分布复高斯，抽头间不相关（简化模型）。

conv 的长度为 Ns + L - 1，截取前 Ns 个样本等价于"只保留在 CP 保护范围内的部分"，这是时域等效信道建模的标准做法。

3.2 加噪

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rxCommWaveClean = applyMimoChannel(txCommWave, hComm);
signalPower     = mean(abs(rxCommWaveClean(:)).^2);
noiseVariance   = signalPower / 10^(snrDb/10);

% 复高斯噪声：实虚部各承担一半方差，因此乘 sqrt(noiseVariance/2)
rxCommWave = rxCommWaveClean + sqrt(noiseVariance/2) * ...
             (randn(size(rxCommWaveClean)) + 1j*randn(size(rxCommWaveClean)));

这是最易出错的一行 ：漏掉 1/2 会让实际 SNR 比标称高 3 dB，BER 曲线整体乐观，且从图上基本看不出来。

3.3 LS 信道估计

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Ycomm = ofdmDemodulate(rxCommWave, Nfft, Ncp, NcommSym);

Hest = zeros(Nfft, Nr, Nt);
for tx = 1:Nt
    for rx = 1:Nr
        % 导频时域正交 → 每个导频符号只含一路 Tx 信号 → 逐元素除法即 LS 解
        Hest(:, rx, tx) = Ycomm(:, pilotSym(tx), rx) ./ Xcomm(:, pilotSym(tx), tx);
    end
end

3.4 逐子载波 MMSE 均衡

W M M S E = ( H H H + σ 2 I N t ) − 1 H H \mathbf{W}{MMSE} = \left(\mathbf{H}^H\mathbf{H} + \sigma^2\mathbf{I}{N_t}\right)^{-1}\mathbf{H}^H WMMSE=(HHH+σ2INt)−1HH

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rxData = zeros(Nfft, numel(dataSym), Nt);
for m = 1:numel(dataSym)
    symbolIndex = dataSym(m);
    for k = 1:Nfft
        Hk = squeeze(Hest(k, :, :));                  % Nr × Nt
        yk = squeeze(Ycomm(k, symbolIndex, :));       % Nr × 1
        Wmmse = (Hk' * Hk + noiseVariance*eye(Nt)) \ Hk';
        rxData(k, m, :) = Wmmse * yk;
    end
end

工程要点：

noiseVariance 必须与实际加噪方差一致。若用 1/SNR 硬编码，MMSE 会退化成"带错误正则项的 ZF"；
逐子载波求逆利用了 OFDM 的频率对角化特性，复杂度随 N f f t N_{fft} Nfft 线性增长；
当 N t > N r N_t > N_r Nt>Nr 时矩阵可能病态，建议改用 pinv 或用 \（MATLAB 会给出最小二乘解）。

3.5 解调与评估

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function bits = qpskDemod(symbols)
    symbols = symbols(:);
    bits = zeros(2*numel(symbols), 1);
    bits(1:2:end) = real(symbols) < 0;    % 符号判决，等价于最小距离判决（QPSK）
    bits(2:2:end) = imag(symbols) < 0;
end

rxBits = qpskDemod(rxData(:));
ber    = mean(rxBits ~= txBits);
evmRms = sqrt(mean(abs(rxData(:) - txData).^2) / mean(abs(txData).^2));
fprintf('Communication BER = %.4g, RMS EVM = %.2f %% at %.1f dB SNR\n', ...
        ber, 100*evmRms, snrDb);

EVM 定义：

E V M R M S = E $∣ s r x - s t x ∣ 2$ E $∣ s t x ∣ 2$ \mathrm{EVM}_{RMS} = \sqrt{\frac{\mathbb{E}\left $\\left\|s_{rx}-s_{tx}\\right\|\^2\\right$ }{\mathbb{E}\left $\\left\|s_{tx}\\right\|\^2\\right$ }} EVMRMS=E $∣stx∣2$ E $∣srx-stx∣2$

在 22 dB 条件下的合理预期值 ：BER 约 10 − 4 10^{-4} 10−4 量级、EVM 约 10%。若 BER 为 0，检查噪声是否加对（很可能噪声方差算错，或均衡器用了真实信道 hComm 而非 Hest）；若 BER > 0.1，检查 QPSK 的 ± 1 / 2 \pm1/\sqrt{2} ±1/2 归一化与判决逻辑。

四、ISAC 感知突发：TDM-MIMO

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NpulsesPerTx = 16;
NradSym = Nt*NpulsesPerTx;                  % 32 个雷达符号
Xrad = zeros(Nfft, NradSym, Nt);
for m = 1:NradSym
    activeTx = mod(m-1, Nt) + 1;            % 轮转激活：1,2,1,2,...
    Xrad(:, m, activeTx) = qpskMod(randi([0 1], 2*Nfft, 1));
end
txRadarWave = ofdmModulate(Xrad, Nfft, Ncp);

TDM-MIMO 的两大收益与一大代价：

收益	说明
波形正交	每个符号只含一路 Tx 信号，`Y/X` 可直接解
虚拟阵列	N t N r = 4 N_t N_r = 4 NtNr=4 个收发通道，等效孔径翻倍

代价	量化
PRI 拉长为 N t T s y m N_t T_{sym} NtTsym = 166.67 μs	无模糊速度 ±152 → ±76.2 m/s
速度分辨率变粗	Δ v = 9.53 \Delta v = 9.53 Δv=9.53 m/s（ N p u l s e s = 16 N_{pulses}=16 Npulses=16 时）

目标回波模型

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function y = targetEcho(x, delays, dopplers, azimuthDeg, amplitudes, fc, Fs, Nt, Nr)
    c = 299792458;
    lambda = c/fc;
    elementSpacing = lambda/2;                 % 半波长线阵
    Ns = size(x,1);
    n  = (0:Ns-1)';
    y  = zeros(Ns, Nr);

    for q = 1:numel(delays)
        theta = deg2rad(azimuthDeg(q));
        aTx = exp(1j*2*pi*elementSpacing/lambda*(0:Nt-1)'*sin(theta));
        aRx = exp(1j*2*pi*elementSpacing/lambda*(0:Nr-1)'*sin(theta));

        delayed = zeros(size(x));
        delayed(delays(q)+1:end,:) = x(1:end-delays(q),:);   % 整数采样时延
        transmittedAtTarget = delayed * aTx;                  % 发射阵列响应
        dopplerPhase = exp(1j*2*pi*dopplers(q)*n/Fs);         % 慢时间多普勒

        for rx = 1:Nr
            y(:,rx) = y(:,rx) + amplitudes(q)*aRx(rx) * ...
                      dopplerPhase .* transmittedAtTarget;
        end
    end
end

虚拟阵列的数学本质 ：发射侧乘 a T x a_{Tx} aTx，接收侧乘 a R x a_{Rx} aRx，级联后相位相加，即方向图正比于 a T x ⊗ a R x a_{Tx}\otimes a_{Rx} aTx⊗aRx 的 Kronecker 结构。

目标参数注入：

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targetDelaySamples = [4 10];                       % 量化到采样点，便于校验
targetRange        = targetDelaySamples*c/(2*Fs);  % [624.6, 1561.4] m
targetVelocity     = [10 -6];                      % 径向速度 [m/s]
targetDoppler      = 2*targetVelocity*fc/c;        % [393.3, -236.0] Hz
targetAzimuthDeg   = [18 -25];
targetAmplitude    = [0.85 0.45] .* exp(1j*[0.4 -1.1]);

五、雷达接收链

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Yrad = ofdmDemodulate(rxRadarWave, Nfft, Ncp, NradSym);

%% ① 信道除法 + ② 距离维 IFFT
rangeCube = zeros(Nfft, NpulsesPerTx, Nr, Nt);
for tx = 1:Nt
    symbolsForTx = tx:Nt:NradSym;        % 关键：步长 = Nt，按激活 Tx 抽取
    for rx = 1:Nr
        targetResponse = Yrad(:, symbolsForTx, rx) ./ Xrad(:, symbolsForTx, tx);
        rangeCube(:, :, rx, tx) = ifft(targetResponse, Nfft, 1);
    end
end

%% ③ 多普勒维 FFT
rdCube = fftshift(fft(rangeCube, NpulsesPerTx, 2), 2);

%% ④ 非相干合并（跨 4 个虚拟阵元）
rdPower   = squeeze(sum(sum(abs(rdCube).^2, 4), 3));
rdPowerDb = 10*log10(rdPower/max(rdPower(:)) + eps);

步骤	操作	物理含义
①	Y $k$ / X $k$ Y $k$ /X $k$ Y $k$ /X $k$	剥离已知调制符号，得到含时延/多普勒的信道
②	`ifft(..., 1)`	频域 → 时延域， τ ↔ R = c τ / 2 \tau \leftrightarrow R = c\tau/2 τ↔R=cτ/2
③	`fft(..., 2)`	慢时间 → 多普勒域， f D ↔ v = f D c / ( 2 f c ) f_D \leftrightarrow v = f_D c/(2f_c) fD↔v=fDc/(2fc)
④	∑ r x , t x ∣ ⋅ ∣ 2 \sum_{rx,tx}\vert\cdot\vert^2 ∑rx,tx∣⋅∣2	4 通道非相干累积，提升检测 SNR

为什么第 ④ 步用非相干合并 ：不需要已知目标角度，对相位误差鲁棒。若改用相干合并（先按阵列相位加权），理论增益为 10 log ⁡ 10 ( N v a ) ≈ 6 10\log_{10}(N_{va})\approx 6 10log10(Nva)≈6 dB，但前提是先完成 DOA 估计------本文 4 元阵列的角分辨率约 30°，不足以支撑相干加权。

坐标轴与峰值检测

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rangeAxis = (0:Nfft-1)' * c/(2*Fs);

PRI = Nt*Tsym;                       % 单个 Tx 的脉冲重复间隔
dopplerAxis  = ((-NpulsesPerTx/2):(NpulsesPerTx/2-1)) / (NpulsesPerTx*PRI);
velocityAxis = dopplerAxis * c/(2*fc);

[~, peakIndex] = max(rdPower(:));
[rangeBin, velocityBin] = ind2sub(size(rdPower), peakIndex);
fprintf('Strongest sensing peak: range %.1f m, velocity %.2f m/s\n', ...
        rangeAxis(rangeBin), velocityAxis(velocityBin));

三个必须记住的公式：

Δ R = c 2 F s = 156.1 m , Δ f D = 1 N p u l s e s P R I = 375 H z , Δ v = λ 2 N p u l s e s P R I = 9.53 m / s \Delta R = \frac{c}{2F_s}=156.1\,\mathrm{m},\quad \Delta f_D = \frac{1}{N_{pulses}PRI}=375\,\mathrm{Hz},\quad \Delta v = \frac{\lambda}{2N_{pulses}PRI}=9.53\,\mathrm{m/s} ΔR=2Fsc=156.1m,ΔfD=NpulsesPRI1=375Hz,Δv=2NpulsesPRIλ=9.53m/s

量化误差说明 ：目标 2 的速度为 −6 m/s，落在 0 与 −9.53 之间，最近 bin 是 −9.53 m/s，因此峰值搜索会报告 −9.53 m/s，误差 3.5 m/s。这是速度分辨率的物理下限，不是代码 bug。要提升速度分辨率，唯一办法是增大 N p u l s e s N_{pulses} Npulses 或缩小 PRI（后者与 TDM-MIMO 冲突）。

六、结果绘图

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figure('Color','w', 'Position',[100 100 1150 720]);

% 子图 1：发射 QPSK 星座
subplot(2,2,1);
plot(real(txData(1:500)), imag(txData(1:500)), 'o', 'MarkerSize', 4);
grid on; axis square; title('Transmit QPSK constellation');

% 子图 2：均衡后数据星座（含 BER/EVM 标注）
subplot(2,2,2);
plot(real(rxData(:)), imag(rxData(:)), '.', 'MarkerSize', 7);
grid on; axis square;
title(sprintf('Equalized data: BER %.3g, EVM %.2f%%', ber, 100*evmRms));

% 子图 3：距离-多普勒图
subplot(2,2,3);
imagesc(velocityAxis, rangeAxis, rdPowerDb); axis xy; colorbar; caxis([-35 0]);
xlabel('Radial velocity (m/s)'); ylabel('Range (m)');
title('Combined MIMO range-Doppler map (dB)');
hold on; plot(targetVelocity, targetRange, 'wo', 'LineWidth', 1.5, 'MarkerSize', 8); hold off;

% 子图 4：距离像（沿多普勒取最大）
subplot(2,2,4);
plot(rangeAxis, max(rdPowerDb, [], 2), 'LineWidth', 1.2); grid on; hold on;
xline(targetRange(1), '--'); xline(targetRange(2), '--'); hold off;
title('Range profile'); ylim([-45 2]);

exportgraphics(gcf, 'isac_mimo_ofdm_results.png', 'Resolution', 160);

七、常见问题排查表

现象	可能原因	排查方法
图里没有距离峰	按 Tx 抽取索引错误（步长写成 1 而非 Nt）	打印 `Xrad(:,symbolsForTx,tx)` 确认非零比例
距离峰位置整体偏移	坐标轴换算漏了 2（用了 c / F s c/F_s c/Fs 而非 c / 2 F s c/2F_s c/2Fs）	核对 `rangeAxis` 表达式
出现 `Inf`/`NaN`	除法分母为 0（索引错位）	检查分子分母是否同一三元组
底噪整体抬高	时延超过 CP → ISI/ICI	比较最大时延与 `Ncp`
BER 远低于理论值	噪声方差漏乘 1/2，或帧长/信号功率估计不准	打印 `10*log10(signalPower/noiseVariance)` 校验 SNR
EVM 异常大/小	`ifft*sqrt(Nfft)` 与 `fft/sqrt(Nfft)` 未配对	做一次无噪回环测试（信道设为单位）
速度估计偏差 3~5 m/s	速度分辨率不足（ Δ v = 9.53 \Delta v = 9.53 Δv=9.53 m/s）	增大 `NpulsesPerTx` 重跑

八、可扩展方向

角度维 ：把 N t N_t Nt 或 N r N_r Nr 扩到 8 以上，在 rdCube 后加第三维 FFT（虚拟阵列方向），或引入 MUSIC / 2D-OMP；
分数时延 ：把整数采样时延改成连续时延，用相位斜坡 exp(-j2πk·τ_frac/Nfft) 在频域实现，验证插值精度；
感知辅助通信闭环 ：用 rdPower 中的分布（如雷达距离像的信道状态）反推通信侧最优的 MCS / 波束 / 功率分配------这才是 ISAC 的核心价值；
杂波抑制：在多普勒维加 MTI（动目标显示）滤波器，剔除零多普勒静态杂波；
波形复用替代方案 ：把 TDM-MIMO 换成 DDMA（多普勒分集）或 CDM（码分），可避免 PRI 被 N t N_t Nt 拉长，代价是旁瓣和波形设计复杂度上升；
与 OFDM 标准对齐：把子载波间隔与 CP 换成 5G NR 的 numerology（15/30/60 kHz，normal/extended CP），评估对雷达性能的影响。

九、参考文献

K. M. Braun, "OFDM Radar Algorithms in Mobile Communication Networks," Ph.D. dissertation, Karlsruhe Institute of Technology, 2014.
C. Sturm, W. Wiesbeck, "Waveform Design and Signal Processing Aspects for Fusion of Wireless Communications and Radar Sensing," Proceedings of the IEEE, vol. 99, no. 7, pp. 1236--1259, 2011.
3GPP TR 22.837, Feasibility Study on Integrated Sensing and Communication (Release 19).
3GPP TS 38.211, NR: Physical channels and modulation（OFDM numerology 与 CP 定义）。
IEEE 802.11bf Task Group, WLAN Sensing.

十、小结

本工程的实现要点可归纳为三句话：

通信侧：时域正交导频把 MIMO 信道估计简化成逐元素除法，逐子载波 MMSE 均衡把频选信道对角化处理，导频开销 10%；
感知侧 ：TDM-MIMO 保证波形正交并形成 4 元虚拟阵列，Y/X → IFFT → FFT → 非相干合并 四步完成距离-多普勒成像；
必须警惕的三个数值陷阱 ：CP 长度约束、复噪声方差的 1/2 因子、ifft/fft 的 sqrt(Nfft) 配对。

代码可直接运行并复现出 624.6 m / 1561.4 m 两个目标的距离像，以及 22 dB 条件下的 BER / EVM 结果。

原文链接 EW Frontier