【算法】双指针与滑动窗口（三）：相向双指针——比较、排除、收缩

【算法】双指针与滑动窗口（三）：相向双指针------比较、排除、收缩

摘要

双指针系列第三篇，相向双指针专题。三道题讲透"比较、排除、收缩"：LC167 两数之和 II （裸题；一版过，但这题的判决书有个反直觉的结构------淘汰 r 时，论证的全部内容却是 l 的未来 ："不动的那边"才是死刑判决的依据）；LC11 盛最多水的容器 （排除论证的原题；代码一次过、证明欠着的病历------"谁矮动谁"凭什么安全，矮边的所有剩余配对上限 ≤ 已记录值；以及"排序的自由度"：LC15 的下标是身份标签、LC11 的下标是坐标）；LC15 三数之和 （boss；四版弧线------把双指针写成递归回溯的六 if 平行惨案、"去重的宿主"：回溯的同层剪枝不能字面搬家、l=i+1 的区间设计、以及"第二个数可以和固定数同值"的暗坑）。相向双指针的全部灵魂一句话：一次比较必须买到"排除一整排候选"的信息，买不到就退化。

前置阅读：双指针与滑动窗口（一）：框架总纲------三类问题、一个原理与判决书。配套代码仓库（按题号分目录）：https://github.com/a18792721831/studyleetCode

【算法】双指针与滑动窗口（三）：相向双指针------比较、排除、收缩

【算法】双指针与滑动窗口（三）：相向双指针------比较、排除、收缩
- 摘要
- [1. 模板与识别信号](#1. 模板与识别信号)
- [2. 第一课 LC167：裸题与"不动的那边"](#2. 第一课 LC167：裸题与"不动的那边")
- [3. 第二课 LC11：排除论证的原题](#3. 第二课 LC11：排除论证的原题)
- - [3.1 代码一次过，证明欠着](#3.1 代码一次过，证明欠着)
  - [3.2 排序的自由度](#3.2 排序的自由度)
- [4. 第三课 LC15：boss 战的四版弧线](#4. 第三课 LC15：boss 战的四版弧线)
- - [4.1 第一版：双指针写成递归回溯](#4.1 第一版：双指针写成递归回溯)
  - [4.2 第二、三版：空着没填，和剪枝放错家](#4.2 第二、三版：空着没填，和剪枝放错家)
  - [4.3 终版：收集 → 跳同值 → 双动 → continue](#4.3 终版：收集 → 跳同值 → 双动 → continue)
  - [4.4 三层去重地图 + 一个暗坑](#4.4 三层去重地图 + 一个暗坑)
- [5. 相向双指针速查表](#5. 相向双指针速查表)
- 总结
- 参考资料

1. 模板与识别信号

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l, r := 0, len(nums)-1        // 两端起步
for l < r {
    // 用有序性做一次 O(1) 比较
    // → 排除一整排候选（l 的右半排 或 r 的左半排）
    // → 只动一个指针
}

识别信号：排序后找配对------两数之和、三数之和、区间极值。两个前提：

有序性是弹药：排序给指针方向感（和大 r--、和小 l++、谁矮动谁）------每次比较必须买到信息
一轮一动：每轮只动一个指针，动作互斥。我在这上面栽过"平行 if 无互斥"四连犯，最壮观的是 LC15 第一版------六行平行 if 递归，同一轮指针同时走多条路

2. 第一课 LC167：裸题与"不动的那边"

有序数组找两数之和等于 target，下标从 1 返回。numbers = [2,7,11,15], target = 9 → [1,2]。

这题一版过，代码六行：

go 复制代码

for l < r {
    if numbers[l]+numbers[r] == target {
        break
    } else if numbers[l]+numbers[r] > target {
        r--
    } else {
        l++
    }
}
return []int{l + 1, r + 1}

值得记的是判决书的结构------淘汰 r 时，论证的主体全在 l 身上：

复制代码

sum > target 时淘汰 r 的判决书：
    此后 l 只会右移（有序）⟹ 未来的 l' 满足 nums[l'] >= nums[l]
    ⟹ nums[l'] + nums[r] >= nums[l] + nums[r] > target
    ⟹ r 的所有剩余配对全部 > target，出局安全
    （sum < target 淘汰 l 对称：r 只会左移，值只会更小）

反直觉的地方：你淘汰 r，却要盯着 l 的未来------因为"不动的那边"的单调性才是"动的那边"的死刑依据。这个结构后面两道题原样复用。

两个小病历：注释里残留"右指针从中间开始"的初始想法（幸好没照做------拿 [2,7,11,15] 找 26 验证：r 从中间起步，l 一路右移追上 r，漏掉 11+15 。错误想法留在注释里必须标注"错在哪"，否则重读会被自己骗）；len==2 特判是化石（l < r 循环天然覆盖）。

3. 第二课 LC11：排除论证的原题

盛最多水的容器。[1,8,6,2,5,4,8,3,7] → 49。

3.1 代码一次过，证明欠着

go 复制代码

l, r := 0, len(height)-1
area := 0
for l < r {
    area = max(area, min(height[l], height[r])*(r-l))
    if height[l] > height[r] { // 谁矮动谁
        r--
    } else {
        l++
    }
}

代码一次过，但真正的考题是：凭什么是矮的一边被淘汰？ 假如最优解的边界恰恰是它呢？

拿 [1,8,6,2,5,4,8,3,7] 第一轮论证：l=0（高 1）、r=8（高 7），当前面积 1×8=8。考察"下标 0 作为左边界的所有可能"：它配任何 r'，面积 = min(1, height $r'$ ) × (r'-0) ≤ 1 × 8 = 8------高度被它自己卡死（1），宽度已经到头（8），它的所有剩余配对的上限，就是刚刚记进 area 的这一格。它已经被"代表"过了，除名绝对安全。对称地，任何时候矮的一边都可以除名。

这就是总纲篇那个统一原理的原始形态：被淘汰的候选，其所有剩余配对的上限 ≤ 已记录值。 LC167 的"和超了淘汰 r"、LC3 的"left 只进不退"，骨子里全是这一个论证------三道题，一个灵魂。

诚实记录：这段证明是交卷后补的------代码一次过的那版，注释里写的还是"谁大选谁"这种嘴瓢。代码能写对，和能论证它对，隔着"看懂题解"到"能讲明白"的距离。

3.2 排序的自由度

写这题时顺手记了一个观察："这个就不能排序了 "。对照 LC15 很有意思------15 能排序是因为下标只是元素的身份标签 （无序，随便换，换个身份照样求和）；11 不能排序是因为下标是坐标（宽度 = 下标差，排序等于摧毁题面）。排序的自由度，取决于下标是否承载语义。 这个判据后面在链表题里还会换装出现（数组下标 O(1) 前驱 vs 链表节点无前驱），先立个牌子。

4. 第三课 LC15：boss 战的四版弧线

三数之和。[-1,0,1,2,-1,-4] → [[-1,-1,2],[-1,0,1]]。不重复，O(n²)。

思路本身不难：排序 → 固定一个数 i → 内层用 LC167 找两数之和 = -nums $i$ ------相向双指针的嵌套。难的全在工程。

4.1 第一版：双指针写成递归回溯

手推指针演化表全对（和小于 l++、和大于 r--、同层剪枝，动作全对），然后代码写成了这个：

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if nums[l]+nums[r] == -nums[idx] { res = append(...); return }   // 找到就撤 → 漏答案
if l == idx { backtrack(l+1, r, idx) }        // 六个 if 全部平行、
if r == idx { backtrack(l, r-1, idx) }        // 各自递归、
if l > 0 && nums[l] == nums[l-1] { ... }      // 互不 return ------
if sum > target { backtrack(l, r-1, idx) }    // 一轮走多条路！
if sum < target { backtrack(l+1, r, idx) }

外加一个初犯：手推全程在排序数组上做，代码里 sort 蒸发了 。实测壮观：原样传入输出 [[2,-4,2]]（同一个 2 被当固定数和 l 各用一次------元素复用 ），[0,0,0] ×4（同一答案四条路径）、九组大乱炖。

病根一句话：双指针的正确宿主是 for 循环 。指针移动是互斥单步，写成平行 if 递归等于同一轮指针同时走多条路。这版唯一值钱的是注释里的自问自答："为何答案有重复？如果限制 l>=idx? "------它就是后面 l = i+1 的种子。

4.2 第二、三版：空着没填，和剪枝放错家

第二版骨架全对（sort、外层剪枝、l=i+1、for 循环），两个残留：找到答案 return 了（该 l++ r-- 继续找------循环自带"继续"，这正是双指针住 for 的原因 ）；内层去重没写------[-2,0,0,2,2] 里下标不同、值相同的一对又凑出一次 [-2,0,2]。

第三版去填去重，填成了这样：

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if sum == target { 收集; l++; r--; continue }   // == 判定在前
if l+1 < len(nums) && nums[l] == nums[l+1] { l++; continue }   // ← 去重排在它后面

实测依旧重复------去重一次都没执行到 ：重复对每轮都在 == 分支直接命中、append、continue，排在后面的去重 if 根本没机会被走到。病根是把回溯同层剪枝的位置字面搬过来了（它长在回溯每层的 for 里），但双指针里去重的正确翻译是"这个值已经配过对了，收集完就把同值跳光 "------同一原则，不同的家。

4.3 终版：收集 → 跳同值 → 双动 → continue

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for l < r {
    sum := nums[l] + nums[r]
    if sum == -nums[i] {
        res = append(res, []int{nums[i], nums[l], nums[r]})
        for l < r && nums[l] == nums[l+1] { l++ } // 收集后立刻跳
        for l < r && nums[r] == nums[r-1] { r-- }
        l++
        r--
        continue
    }
    if sum > -nums[i] { r--; continue }
    if sum < -nums[i] { l++; continue }
}

为什么收集后敢整批跳同值------判决书是"唯一性"论证：固定 i 和 l 之后，能凑出 0 的搭档值是唯一确定的 （-nums[i]-nums[l]）。同值的 l' 再配任何搭档，要么值不对凑不出 0，要么值还是 nums $r$ ------但那已经是同一个三元组，纯重复。跳同值就是在跳"值层面已注定重复"的候选。

4.4 三层去重地图 + 一个暗坑

位置	手段	相邻的坑
固定数 i	`i>0 && nums[i]==nums[i-1]` 跳过	---
内层 l	收集后 `while nums[l]==nums[l+1] l++`	第二个数可以和固定数同值
内层 r	收集后 `while nums[r]==nums[r-1] r--`	同上

暗坑值得单独一行：[-1,-1,2] 是合法答案------第二个数和固定数同值。如果把去重放在每轮开头"看见同值就剪"，第一个被误杀的就是它（我手推表里亲手剪掉过这个答案）。收集后去重天然不误伤：它只在"这对已经成立"之后才跳，同值同角色的重复才被清理。

还有那个值钱的小设计：l = i+1------每个三元组只以其最小元素为固定数被发现一次 （值集合 (a≤b≤c) 与"固定 a、在 a 右边找 b c"一一对应），第一版里 l==idx、r==idx 两个特判整个消失。特判是结构缺陷的补丁，结构对了特判蒸发。

5. 相向双指针速查表

问题	判据/口诀	出处
识别信号	排序后找配对；有序性是弹药，每次比较必须买到"排除一排"的信息	全类
淘汰判决书	主体是"不动的那边"：它的单调性证明被淘汰者的剩余配对全灭（≤ 或 ≥ 已记录/已判定值）	LC167/LC11
排除论证模板	被淘汰候选的所有剩余配对上限 ≤ 已记录值	LC11
能不能排序	下标是身份标签可排，是坐标不可排	LC15 vs LC11
宿主	for 循环，一轮一动、互斥；`==` 分支收集后 continue	LC15 四版
去重的家	收集之后跳同值（不是每轮开头剪）	LC15
固定数 + 内层双指针	l 从 i+1 起步，消灭 idx 特判	LC15
同值暗坑	第二个数可以和固定数同值------收集后去重天然不误伤	LC15 `[-1,-1,2]`
手推工具	指针演化表：`i / l / r / 和 / 动谁` 逐行推	全类

总结

三道题，一个动作循环（比较、排除、收缩），三个层次的收获：

判决书的"镜像结构"是相向双指针的核心直觉。 淘汰谁，就论证谁的对面------LC167 淘汰 r 时盯着 l 的单调未来，LC11 淘汰矮边时算出矮边的配对上限。养成习惯：每次动指针前，先说出"不动的那边"保证了什么。

原则不变，宿主会变。 同层去重从回溯带进双指针，家从"层循环开头"搬到"收集之后"------字面搬家让剪枝成了永远执行不到的摆设。这和滑窗篇的"断链套收缩"是同一类病：学新范式时最危险的不是新知识，是旧知识的字面迁移。

一次过不等于毕业。 LC11 代码满分、证明欠着；LC15 手推全对、代码另起炉灶。"看懂题解"和"能讲明白"之间的距离，这个系列每篇都在量------量的工具就是判决书：对着最险的一行，讲出它为什么对。

下一篇：二分------找点与找边界，两类模板与判定设计的三课。

【算法】双指针与滑动窗口（三）：相向双指针——比较、排除、收缩