声学感知基础：Multipath 与 CFR
学习目标
本节学习两个紧密相关的概念：
- Multipath（多径传播）：声波通过多条路径到达接收端的物理现象；
- CFR（Channel Frequency Response，信道频率响应）：多径传播等信道效应在频域中的表现。
一句话概括二者的关系：
Multipath 描述声波通过哪些路径传播，CFR 描述这些路径叠加后对不同频率的幅度和相位造成了什么影响。
1. Multipath：多径传播
1.1 什么是多径传播？
扬声器发出的声波通常不会只沿一条路径到达麦克风。声波还可能经过人体、墙壁、桌面、地面和天花板等物体的反射，再到达麦克风。
例如：
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路径 1：Speaker → Microphone 直达路径
路径 2：Speaker → 人体 → Microphone 人体反射路径
路径 3：Speaker → 墙壁 → Microphone 墙壁反射路径
路径 4：Speaker → 桌面 → Microphone 桌面反射路径因此，麦克风接收到的信号实际上是多条传播路径上的信号叠加：
y(t)=∑i=0L−1aix(t−τi)+n(t) y(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i x(t-\tau_i)+n(t) y(t)=i=0∑L−1aix(t−τi)+n(t)
其中：
- x(t)x(t)x(t)：扬声器发射的原始信号；
- y(t)y(t)y(t)：麦克风接收到的信号；
- LLL：传播路径的数量；
- aia_iai：第 iii 条路径的幅度衰减系数；
- τi\tau_iτi：第 iii 条路径的传播时延；
- n(t)n(t)n(t)：环境噪声。
由于每条路径的长度不同，所以各条信号到达麦克风的时间、幅度和相位也不同。
1.2 Direct Path：直达路径
直达路径是声波从扬声器直接传播到麦克风的路径，中间不经过其他物体反射。
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Speaker ─────────→ Microphone如果扬声器与麦克风之间的距离为 ddd，声速为 ccc，则传播时延为：
τ=dc \tau=\frac{d}{c} τ=cd
室温下，空气中的声速大约为：
c≈343 m/s c\approx343\ \text{m/s} c≈343 m/s
例如，扬声器与麦克风相距 1 m1\ \text{m}1 m，则传播时间约为：
τ=1343≈2.92 ms \tau=\frac{1}{343}\approx2.92\ \text{ms} τ=3431≈2.92 ms
直达路径通常具有以下特点：
- 距离最短；
- 到达最早；
- 信号通常较强；
- 可用于估计扬声器与麦克风之间的直接距离。
1.3 Reflection：反射
当声波遇到墙壁、桌面或人体时，一部分声波会改变传播方向，这种现象称为反射。
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Speaker → 墙壁 → Microphone假设某条反射路径的总长度为 did_idi，其传播时延为：
τi=dic \tau_i=\frac{d_i}{c} τi=cdi
反射路径通常比直达路径长，因此：
τi>τdirect \tau_i>\tau_{\mathrm{direct}} τi>τdirect
每次反射还会造成声波能量衰减，所以反射路径上的信号通常比直达信号弱。
不同材料的反射能力不同：
- 墙壁、玻璃等硬质表面：反射通常较强；
- 窗帘、地毯等软质材料：会吸收更多声波；
- 人体：既会反射声波，也会吸收一部分声波。
1.4 Multipath：多径
当直达信号和多个反射信号同时到达麦克风时，就形成了多径传播。
例如，假设环境中只有三条路径：
y(t)=a0x(t−τ0)+a1x(t−τ1)+a2x(t−τ2) y(t)=a_0x(t-\tau_0)+a_1x(t-\tau_1)+a_2x(t-\tau_2) y(t)=a0x(t−τ0)+a1x(t−τ1)+a2x(t−τ2)
其中：
- 第一项可能表示直达路径；
- 第二项可能表示墙壁反射路径；
- 第三项可能表示人体反射路径。
多径信道的冲激响应可以表示为：
h(t)=∑i=0L−1aiδ(t−τi) h(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i\delta(t-\tau_i) h(t)=i=0∑L−1aiδ(t−τi)
于是接收信号可以写成卷积形式：
y(t)=x(t)∗h(t)+n(t) y(t)=x(t)*h(t)+n(t) y(t)=x(t)∗h(t)+n(t)
其中，h(t)h(t)h(t) 描述了声波从扬声器传播到麦克风时经历的整个环境，因此也可以将其理解为环境的"声学指纹"。
1.5 Path Overlap：路径重叠
如果不同路径的传播距离非常接近，它们的到达时间也会非常接近。路径长度差与时延差之间满足：
Δτ=Δdc \Delta\tau=\frac{\Delta d}{c} Δτ=cΔd
例如，两条路径的长度只相差 1 cm1\ \text{cm}1 cm：
Δτ=0.01343≈29.2 μs \Delta\tau=\frac{0.01}{343}\approx29.2\ \mu\text{s} Δτ=3430.01≈29.2 μs
这个时间差非常小。如果系统的时间分辨率不够，就无法在时域中直接分开两条路径，只能观察到它们的叠加结果。这种现象称为路径重叠。
路径重叠后可能产生：
- 相长干涉：两个信号相位接近，叠加后的幅度增大；
- 相消干涉：两个信号相位近似相反，叠加后的幅度减小。
对于两个同频率信号：
x1(t)=A1cos(2πft+ϕ1) x_1(t)=A_1\cos(2\pi ft+\phi_1) x1(t)=A1cos(2πft+ϕ1)
x2(t)=A2cos(2πft+ϕ2) x_2(t)=A_2\cos(2\pi ft+\phi_2) x2(t)=A2cos(2πft+ϕ2)
它们的叠加结果取决于相位差：
Δϕ=ϕ2−ϕ1 \Delta\phi=\phi_2-\phi_1 Δϕ=ϕ2−ϕ1
- 当 Δϕ≈0\Delta\phi\approx0Δϕ≈0 时，趋向于相长干涉；
- 当 Δϕ≈π\Delta\phi\approx\piΔϕ≈π 时，趋向于相消干涉。
因此，即使声源发送相同的信号，接收幅度也可能随着接收位置的变化而明显改变。
1.6 多径对声学感知的影响
多径既可能是干扰，也可以成为有用的信息来源。
作为干扰
墙壁、桌面等产生的静态反射可能掩盖人体的微弱反射，导致：
- ToF 测距不准确；
- 多个反射峰难以分离；
- 人体信号被较强的静态路径淹没；
- 不同环境或位置下的信号特征差异较大。
作为感知信息
人体运动会改变相关传播路径的长度、幅度和相位。
当目标产生微小位移 Δd\Delta dΔd 时，相位变化可写为：
Δϕ=2πΔdλ \Delta\phi=\frac{2\pi\Delta d}{\lambda} Δϕ=λ2πΔd
如果声波经过目标反射后返回，即发生往返传播，则总路径长度变化约为 2Δd2\Delta d2Δd，因此：
Δϕ=4πΔdλ \Delta\phi=\frac{4\pi\Delta d}{\lambda} Δϕ=λ4πΔd
其中，λ\lambdaλ 是声波波长。
呼吸和心跳引起的胸腔位移虽然很小，但仍可能造成可检测的相位变化。这正是声学呼吸和心跳感知的重要物理基础。
2. CFR：信道频率响应
2.1 什么是 CFR？
CFR 是 Channel Frequency Response 的缩写，中文称为信道频率响应。
它描述的是：
传播环境对不同频率信号的幅度和相位产生了怎样的影响。
CFR 通常表示为：
H(f) H(f) H(f)
它是一个复数，可以表示为：
H(f)=∣H(f)∣ejϕ(f) H(f)=|H(f)|e^{j\phi(f)} H(f)=∣H(f)∣ejϕ(f)
其中：
- ∣H(f)∣|H(f)|∣H(f)∣：该频率分量经过信道后的幅度变化；
- ϕ(f)\phi(f)ϕ(f)：该频率分量经过信道后的相位变化；
- jjj：虚数单位，满足 j2=−1j^2=-1j2=−1。
因此，CFR 同时包含幅度和相位两类信息。
| CFR 信息 | 表示内容 |
|---|---|
| 幅度 $ | H(f) |
| 相位 ϕ(f)\phi(f)ϕ(f) | 该频率的相位发生了多大变化 |
2.2 CFR 如何得到？
在频域中，发送信号、信道和接收信号之间满足：
Y(f)=X(f)H(f)+N(f) Y(f)=X(f)H(f)+N(f) Y(f)=X(f)H(f)+N(f)
其中：
- X(f)X(f)X(f)：发送信号的频谱；
- Y(f)Y(f)Y(f)：接收信号的频谱；
- H(f)H(f)H(f)：信道频率响应；
- N(f)N(f)N(f)：噪声的频谱。
暂时忽略噪声，可以得到：
H(f)=Y(f)X(f) H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)} H(f)=X(f)Y(f)
也就是说，如果我们知道发送信号，又测量到了接收信号，就可以估计传播环境的 CFR。
声学感知系统经常发送已知的 Chirp 信号。由于 X(f)X(f)X(f) 已知，因此可以使用接收信号 Y(f)Y(f)Y(f) 来估计 H(f)H(f)H(f)。
2.3 多径与 CFR 的关系
多径信道的冲激响应为：
h(t)=∑i=0L−1aiδ(t−τi) h(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i\delta(t-\tau_i) h(t)=i=0∑L−1aiδ(t−τi)
对其进行傅里叶变换，可以得到 CFR：
H(f)=∑i=0L−1aie−j2πfτi H(f)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i e^{-j2\pi f\tau_i} H(f)=i=0∑L−1aie−j2πfτi
这个公式说明：CFR 是所有传播路径在频域中的复数叠加。每条路径都包含：
- 幅度衰减 aia_iai；
- 传播时延 τi\tau_iτi；
- 与频率有关的相位项 e−j2πfτie^{-j2\pi f\tau_i}e−j2πfτi。
不同频率下，各条路径之间的相位关系不同：
- 某些频率下，各路径相长叠加，接收幅度较大；
- 某些频率下，各路径相消叠加，接收幅度较小。
因此，多径环境中的 CFR 通常不是一条平坦的直线，而会随着频率产生明显波动。
2.4 一个简单例子
假设环境中只存在两条路径：
- 直达路径：幅度为 111，时延为 τ0\tau_0τ0；
- 反射路径：幅度为 0.50.50.5，时延为 τ1\tau_1τ1。
则 CFR 为：
H(f)=e−j2πfτ0+0.5e−j2πfτ1 H(f)=e^{-j2\pi f\tau_0}+0.5e^{-j2\pi f\tau_1} H(f)=e−j2πfτ0+0.5e−j2πfτ1
两条路径的相对相位差为：
Δϕ(f)=2πf(τ1−τ0) \Delta\phi(f)=2\pi f(\tau_1-\tau_0) Δϕ(f)=2πf(τ1−τ0)
随着频率 fff 变化，相位差也会变化，因此 CFR 的幅度会周期性地增强或减弱。这种现象称为频率选择性衰落（Frequency-selective Fading）。
2.5 CFR 为什么能用于人体感知？
静止环境中的墙壁、桌面和地面所产生的传播路径基本不变，因此对应的 CFR 也相对稳定。
当人体运动时，与人体有关的传播路径会发生变化：
τi(t)=di(t)c \tau_i(t)=\frac{d_i(t)}{c} τi(t)=cdi(t)
于是 CFR 也会随时间变化：
H(f,t)=∑i=0L−1ai(t)e−j2πfτi(t) H(f,t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i(t)e^{-j2\pi f\tau_i(t)} H(f,t)=i=0∑L−1ai(t)e−j2πfτi(t)
增加时间变量 ttt 后，H(f,t)H(f,t)H(f,t) 表示信道频率响应同时随频率和时间变化。
以胸腔呼吸为例：
- 胸腔位置发生周期性变化；
- 人体反射路径的长度随之改变；
- 传播时延和相位发生改变；
- CFR 随时间呈现周期性变化；
- 系统从 CFR 的周期性变化中提取呼吸频率。
因此，声学感知通常不只关注某一时刻的 H(f)H(f)H(f)，而会分析随时间变化的 H(f,t)H(f,t)H(f,t)。
3. Multipath 与 CFR 的完整联系
整个过程可以概括为：
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声波发射
↓
形成直达路径和多条反射路径
↓
多径信号在麦克风处叠加
↓
接收信号的幅度与相位发生变化
↓
得到随频率变化的 CFR
↓
从 CFR 的时间变化中提取人体运动
↓
实现呼吸、心跳等感知任务需要特别区分：
| 概念 | 关注的问题 | 所属层面 |
|---|---|---|
| Multipath | 声波经过了哪些传播路径？ | 物理传播现象 |
| CIR：h(t)h(t)h(t) | 不同路径在什么时刻到达？ | 时域信道描述 |
| CFR：H(f)H(f)H(f) | 不同频率受到怎样的幅度和相位影响？ | 频域信道描述 |
CIR 与 CFR 是同一个信道在两个域中的表示，二者互为傅里叶变换：
H(f)=F{h(t)} H(f)=\mathcal{F}\{h(t)\} H(f)=F{h(t)}
h(t)=F−1{H(f)} h(t)=\mathcal{F}^{-1}\{H(f)\} h(t)=F−1{H(f)}
4. 与前面知识的串联
目前学习的知识可以连接成一条完整的声学感知链路：
Chirp 发射→Multipath 传播→麦克风接收→FFT/STFT 分析→估计 CFR→观察相位与多普勒变化→检测人体运动 \text{Chirp 发射} \rightarrow \text{Multipath 传播} \rightarrow \text{麦克风接收} \rightarrow \text{FFT/STFT 分析} \rightarrow \text{估计 CFR} \rightarrow \text{观察相位与多普勒变化} \rightarrow \text{检测人体运动} Chirp 发射→Multipath 传播→麦克风接收→FFT/STFT 分析→估计 CFR→观察相位与多普勒变化→检测人体运动
各部分的主要作用如下：
| 知识 | 在声学感知中的作用 |
|---|---|
| Chirp | 发射覆盖一段频率范围的已知信号 |
| ToF | 根据传播时间估计距离 |
| Multipath | 描述直达路径和多条反射路径 |
| FFT | 将信号从时域转换到频域 |
| STFT | 观察频率成分如何随时间变化 |
| CFR | 描述各频率的幅度与相位变化 |
| Phase | 检测微小距离变化 |
| Doppler | 检测目标运动速度 |
| SNR | 衡量目标信号相对于噪声的强弱 |
5. 核心公式总结
多径接收信号
y(t)=∑i=0L−1aix(t−τi)+n(t) y(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i x(t-\tau_i)+n(t) y(t)=i=0∑L−1aix(t−τi)+n(t)
多径信道冲激响应
h(t)=∑i=0L−1aiδ(t−τi) h(t)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i\delta(t-\tau_i) h(t)=i=0∑L−1aiδ(t−τi)
发送信号、信道与接收信号的关系
y(t)=x(t)∗h(t)+n(t) y(t)=x(t)*h(t)+n(t) y(t)=x(t)∗h(t)+n(t)
CFR 的估计
H(f)=Y(f)X(f) H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)} H(f)=X(f)Y(f)
多径信道的 CFR
H(f)=∑i=0L−1aie−j2πfτi H(f)=\sum_{i=0}^{L-1}a_i e^{-j2\pi f\tau_i} H(f)=i=0∑L−1aie−j2πfτi
反射目标位移造成的相位变化
Δϕ=4πΔdλ \Delta\phi=\frac{4\pi\Delta d}{\lambda} Δϕ=λ4πΔd
其中，第一个核心公式描述多径信号在时域中的叠加，第二个 CFR 公式描述同一个多径信道在频域中的表现。
6. 自测题
- 为什么麦克风收到的信号通常不是单一路径信号，而是多个信号的叠加？
- 直达路径和反射路径相比，通常哪一条先到达麦克风？
- 如果两条传播路径的时延非常接近，会出现什么问题？
- CFR 的幅度和相位分别表示什么？
- 已知发送信号频谱 X(f)X(f)X(f) 和接收信号频谱 Y(f)Y(f)Y(f)，如何估计 CFR？
- 人体胸腔运动为什么会引起 CFR 变化？
- Multipath、CIR 和 CFR 三者分别描述什么？
- CIR 与 CFR 之间存在什么数学关系？