【学习笔记】动态规划+背包问题

一、动态规划 DP 基础概念

1. DP 核心思想

动态规划：把大问题拆成重叠的子问题，保存子问题答案避免重复计算，不需要重复递归。

三大核心要素：DP数组定义、递推公式、初始化，再加遍历顺序、结果取值。

2. DP 数组定义

一句话：dpi 代表第 i 个状态下，我们想要的答案。

dp 数组含义必须先写清楚，定义错了，后面全错。

示例：一维 dp，dpi = 考虑前 i 个物品时能得到的最大价值。

3. 递推公式（状态转移方程）

子问题之间的推导关系，把旧状态推导出新状态，DP 最关键部分。

比如 01 背包：dpj = max(dpj, dpj - weight\[i] + valuei);

含义：不选当前物品，就是dpj；选当前物品，容量减少 weight i，价值加上 value i，取两者最

大值。

4. DP 四步解题模板

1、确定 dp 数组以及下标的含义

2、确定递推公式（状态转移方程）

3、dp 数组如何初始化（初始值，边界条件）

4、确定遍历顺序（一维 01 背包：物品正序，容量倒序！）

二、背包入门（01 背包，最基础）

01 背包：每个物品只能选 1 次或者不选，不能重复选。

完全背包：物品可以选无限次（后面再学，入门先学 01 背包）

01 背包重点

物品：weight \[\] 重量，value \[\] 价值；背包总容量 bagSize

dp 一维数组定义：dpj：背包容量为 j 时，能装的最大价值

递推公式：dpj = max(dpj, dpj - w + v)

遍历顺序：容量 j 从后往前倒序遍历！

倒序：保证每个物品只用一次（01 背包）

如果正序，物品会被重复选取，变成完全背包

初始化：dp 数组全部初始化为 0。容量 0，价值就是 0。

01 背包选择：两种情况

1、 不拿当前物品：dp j 不变

2、拿当前物品：背包腾出 w i 空间，加上当前物品价值 v i