推理的形式结构
◆ 推理 是从前提推出结论的思维过程
◆ 前提 (premise) ，或称假设 (hypothesis) ，是指已知的命题公式 A₁,A₂,...,Aₙ
◆ 结论 (conclusion) 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式 B
◆ 若对于 A₁，A₂，...，Aₙ 和 B 中出现的命题变项的任一赋值，或者 A₁∧A₂∧...∧Aₙ 为假，或者当 A₁∧A₂∧...∧Aₙ为真时 B 也为真，则称由前提 A₁，A₂，...，Aₙ 推 B 的推理是正确的 或有效的 ，并称 B 为有效的结论
判断下列推理是否正确：
{p,p → q} ⊢ q
{ p,q → p } ⊢ q
◆ 正确的推理 或有效的推理 即是指 A₁ ∧ A₂ ∧ ... ∧ Aₙ → B 是重言式
◆ 由命题公式 A₁, A₂, ..., Aₙ 推 B 的推理正确当且仅当 A₁∧A₂∧...∧Aₙ→B 为重言式
◆ 解推理问题的基本方法是：
- 将命题符号化
- 写出前提、结论和推理的形式结构
- 对推理形式的正确性进行判断
◆ 这里考虑的是推理形式结构的有效性 ，而不是结论的正确性 。
（推理正确不能保证结论一定正确）
◆ 例如：判断下面推理是否正确
◆ 如果三角形的两边相等，则其所对的角相等；一个三角形的两边不相等，所以其所对的角不相等。
◆ 设 p: 三角形的两边相等；q：三角形的两边所对的角相等
◆ 则推理的形式结构为：(p → q) ∧ (¬p → ¬q)
◆ 该蕴涵式不是重言式，表明推理不正确，或论证并非有效
判断下列推理是否正确，并写成前提、结论和推理的形式结构
{p, p → q} ⊢ q
(p ∧ (p → q)) → q
◆ 判断一个推理形式是否正确，从定义上讲就是判断一个蕴涵式是否是重言式
◆ 判定公式类型方法
◆ 真值表法
◆ 等值演算法
◆ 主析取范式法
・例 判断下面推理是否正确
・(1) 若今天是 1 号，则明天是 5 号。今天是 1 号。所以，明天是 5 号
解 设 p：今天是 1 号，q：明天是 5 号.
推理的形式结构:
用等值演算法
(p→q)∧p→q
⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q
⇔ ¬p∨¬q∨q ⇔ 1
由 (p→q)∧p→q 为重言式可知推理正确
另一种思考方式：
・(2) 若今天是 1 号，则明天是 5 号。明天是 5 号。所以，今天是 1 号
推理的形式结构: (p→q)∧q→p
用主析取范式法
(p→q)∧q→p
⇔ (¬p∨q)∧q→p
⇔ ¬((¬p∨q)∧q)∨p
⇔ ¬q∨p
⇔ (¬p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(p∧¬q)∨(p∧q)
⇔ m₀∨m₂∨m₃
结果不含 m₁, 故 01 是成假赋值，非重言式所以推理不正确
推理的形式结构
- {A₁, A₂, ..., Aₙ} ⊢ B
若推理正确，记为 {A₁, A₂, ..., Aₙ} ⊨ B - A₁∧A₂∧...∧Aₙ → B
若推理正确，记为 A₁ ∧ A₂ ∧ ... ∧ Aₙ ⇒ B - 前提：A₁, A₂, ..., Aₙ
结论：B
例题 判断下面各推理理论是否正确
（1）如果天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所以小王没去游泳
（2）如果我上街，我一定去新华书店。我没上街，所以我没去新华书店。
解：（1）设 p：天气凉快。q：小王去游泳。
推理形式结构：(p → ¬q) ∧ p → ¬q
推理形式结构为 重言式，所以推理正确
p q ¬q (p→¬q) (p→¬q)∧p (p→¬q)∧p→¬q
0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1
例题 判断下面各推理理论是否正确
（1）如果天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所以小王没去游泳
（2）如果我上街，我一定去新华书店。我没上街，所以我没去新华书店。
解：（2）设 p：我上街。q：我去新华书店。
前提：(p → q)，¬p
结论：¬q
推理结构非重言式，所以推理不正确
((p → q) ∧ ¬p) → ¬q
⇔ ¬((¬p∨q) ∧ ¬q)∨¬q
⇔ (p ∧ q) ∨ ¬q
⇔ p ∨ ¬q
◆ 采用判定公式类型的方法来判断推理形式的正确与否具有一般性、广泛性的优点，
◆ 但不足也很明显
- 不能直观看出由前提到结论的推演过程
- 而且也难于推广到谓词逻辑中使用
◆ 建立推理演算的证明方法**（亦称演绎法）**
- 从前提 A₁, A₂, ..., Aₙ 出发
- 配合使用基本推理公式 和几条推理规则
- 逐步推演出结论 B
◆ 定理（基本推理公式）以下蕴涵式皆为重言式：（重言蕴涵式）
（背过，连叫啥都要记住，因为在写式子时，用了啥也要写。不像之前的等值式，其实等值式也最好知道名字吧------------。。。。）
- A ⇒ (A∨B) 附加律
- (A∧B) ⇒ A 化简律
- (A→B)∧A ⇒ B 假言推理
- (A→B)∧¬B ⇒ ¬A 拒取式
- (A∨B)∧¬B ⇒ A 析取三段论
- (A→B)∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论
- (A↔B)∧(B↔C) ⇒ (A↔C) 等价三段论
- (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒ (B∨D) 构造性二难
- (A→B)∧(¬A→B) ⇒ B 构造性二难(特殊形式)
- (A→B)∧(C→D)∧(¬B∨¬D) ⇒ (¬A∨¬C) 破坏性二难
每个等值式可产生两个推理定律
如, 由 A↔¬¬A
可产生 A⇒¬¬A 和 ¬¬A⇒A