一、算法简介
埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛） 是最经典、最高效的素数筛选算法之一，专门用于快速筛选出 2~n 范围内的所有素数。相比于普通暴力枚举判断素数的方法，埃氏筛通过倍数标记法剔除合数，极大降低了时间复杂度。
普通素数判断时间复杂度：O(n\\sqrt{n})
埃氏筛算法时间复杂度：O(n\\log\\log n)
该算法核心思想：素数的所有倍数一定是合数，只需遍历每个素数，将其所有倍数标记为合数，最终未被标记的数即为素数。
二、算法核心原理
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数组初始化：定义布尔数组，默认将所有数字标记为素数；
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特殊值剔除：0 和 1 不属于素数，手动标记为非素数；
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遍历筛选：从 2 开始遍历，若当前数是素数，则将其所有平方及以上的倍数标记为合数（优化点：从 i\*i 开始遍历，避免重复筛选）；
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结果输出：遍历数组，所有标记为 true 的数值即为范围内的素数。
重点优化说明：常规筛法会从 2\*i 开始标记倍数，会产生重复筛选；从 i\*i 开始筛选，可大幅减少循环次数，提升运行效率。
cpp
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#define MAXN 1000000
// 埃氏筛法筛选素数，全局数组默认初始化为false
bool is_prime[MAXN];
/**
* @brief 埃氏筛核心函数，筛选2~n范围内的所有素数
* @param n 筛选上限
*/
void eratosthenes_sieve(int n){
数组：默认所有数为素数
t i=0;i<=n;i++){
is_prime[i]=true;
// 0和1不是素数，单独标记
is_prime[0]=is_prime[1]=false;
// 遍历2~sqrt(n)，筛选素数
or(int i=2;i*i<=n;i++){
如果当前数是素数，标记其所有倍数为合数
if(is_prime[i]){
从i*i开始标记，避免重复筛选
for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
is_prime[j] = false;
}
}
}
int main(){
置素数筛选上限
n=100;
// 调用筛法函数
atosthenes_sieve(n);
// 格式化输出所有素数
rintf("小于等于%d的素数有：\n", n);
boo = true; // 控制逗号格式，避免末尾多余逗号
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (is_prime[i]) {
if (!first) {
printf(", ");
}
printf("%d", i);
first = false;
}
}
("\n");
turn 0;
}
re printfl first p er int // 设 }
// // f
} for(in // 初始化四、代码详细解析
1. 头文件与宏定义
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#include <stdio.h>：提供输入输出打印功能； -
#include <stdbool.h>：支持 C 语言布尔类型（true/false）； -
#define MAXN 1000000：定义数组最大容量，支持百万级数据筛选，可根据需求修改。
2. 全局标记数组
bool is_prime[MAXN] 作为素数标记数组：
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true：代表当前下标数值为素数；
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false：代表当前下标数值为合数/非素数。
3. 筛法核心函数
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数组初始化：将 0~n 所有数值默认标记为素数；
-
特殊处理：0、1 不是素数，强制标记为 false；
-
外层循环：只遍历到 \\sqrt{n}，减少循环次数（合数一定存在小于自身的因数）；
-
内层循环：对每个素数 i，标记其所有大于等于i\*i 的倍数为合数。
4. 主函数格式化输出
通过 first 布尔变量控制输出格式，素数之间用逗号分隔，解决传统输出末尾多余逗号的问题，输出结果更整洁规范。
五、运行结果展示
代码默认筛选 100 以内所有素数，运行输出结果如下：
cpp
小于等于100的素数有：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97六、算法优缺点分析
✅ 优点
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筛选效率极高，远优于暴力枚举法，适合大批量素数筛选；
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逻辑清晰、代码简洁，易于理解和二次修改；
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通过 i\*i 起始优化，规避了重复筛选问题。
❌ 缺点
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需要开辟大容量数组，占用内存空间，不适合超大范围素数筛选；
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仍存在少量重复标记（相较于线性筛），极致性能场景可使用欧拉线性筛优化。
七、拓展修改方式
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修改筛选范围 ：直接修改主函数中
int n=100;的数值，即可筛选任意范围内的素数（不超过 MAXN 最大值）； -
扩大筛选上限 ：修改宏定义
MAXN的数值，可支持更大范围筛选； -
统计素数个数：可新增计数器，遍历过程中统计范围内素数总数量。
八、总结
埃氏筛法是C语言算法入门的核心知识点，也是笔试、刷题的高频考点。相比于暴力判断，该算法通过空间换时间的思路，大幅提升了素数筛选效率。本文代码可直接复制编译运行，格式规范、注释详细，适合新手学习和项目直接使用。