主定理公式：T (n)=aT (n/b)+f (n)
参数含义
T (n)：规模 n 的问题耗时
a：递归产生的子问题数量
b：每个子问题规模缩小为原来 1/b
f (n)：拆分、合并子问题的非递归开销
重要前提：主定理只适用于 除以常数 的分治递归 T (n)=aT (n/b)+f (n)
如果是 T (n)=aT (n-c)+f (n)，是减号，不能用主定理，要用迭代展开
第一步：计算基准 n^(log_b a)，拿这个和 f (n) 对比，分 3 种情况
情况 1：f (n) 远小于 n^(log_b a)
条件：存在 ε>0，f (n)=O (n^(log_b a - ε))
结论：T (n)=Θ(n^(log_b a))
例子：T (n)=2T (n/2)+√n
a=2,b=2，log2 (2)=1，基准 n^1=n
f (n)=√n = n^0.5 < n^1，满足情况 1
T(n)=Θ(n)
情况 2：f (n) 等于基准，附带对数项【自考最高频！】
条件：f (n)=Θ(n^(log_b a) * lg^k n) ，k≥0
结论：T (n)=Θ(n^(log_b a) * lg^(k+1) n)
口诀：f 里面对数是 k 次方，结果对数 + 1 次方
真题例子 1：T (n)=2T (n/2)+n
a=2,b=2，log2 (2)=1，基准 n
f(n)=n = n^1 * lg^0 n，k=0
T(n)=Θ(n lg n)
真题例子 2：T (n)=2T (n/2)+n lg n 【你刷的选择题原题】
a=2,b=2，log2 (2)=1，基准 n
f(n)=n lg n = n^1 * lg^1 n，k=1
T(n)=Θ(n lg² n)
真题例子 3：T (n)=2T (n/2)+n lg² n
f(n)=n^1 * lg² n，k=2
T(n)=Θ(n lg³ n)
情况 3：f (n) 远大于 n^(log_b a)，满足正则条件
条件：存在 ε>0，f (n)=Ω(n^(log_b a + ε))，且 af(n/b) ≤ cf(n)
结论：T (n)=Θ(f (n))
例子：T (n)=2T (n/2)+n²
log2 (2)=1，n² > n^1，满足情况 3
T(n)=Θ(n²)
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【自考大题标准答题模板，直接抄写】
题目：T (n)=2T (n/2)+n lg n，T (1)=O (1)
解：
1、确定参数 a=2，b=2，f (n)=n lg n
2、计算 log_b a = log₂2 = 1，基准函数 n^(log_b a)=n^1 = n
3、对比 f (n)：f (n)=n lg n = Θ(n¹ lg¹ n)，属于主定理第二种情况，k=1
4、代入公式：T (n)=Θ(n^(log_b a) * lg^(k+1) n)=Θ(n lg² n)
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坑点背诵
1、lg²n = (lg n)²，不是 lg (lg n)
2、只有 T (n)=aT (n/b) 能用主定理；T (n)=4T (n-1)+n，减号，不能用主定理，复杂度 Θ(4ⁿ)
3、Θ 是渐近复杂度，只看 n 很大时增长速度，不是求精确数字
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自测两道题
题 1：T (n)=3T (n/3)+n
解：a=3,b=3,log3 (3)=1，f (n)=n=n¹lg⁰n，k=0
T(n)=Θ(n lg n)
题 2：T (n)=4T (n/2)+n²
解：a=4,b=2，log2 (4)=2，f (n)=n²=n²lg⁰n，k=0
T(n)=Θ(n² lg n)
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递归树推导（题目要求写原理才写）
T(n)=2T(n/2)+n lg n
根节点：规模 n，开销 n lg n
第二层：2 个子节点，每个规模 n/2，总开销 n lg (n/2)
第三层：4 个子节点，总开销 n lg (n/4)
一共 lg n 层
全部求和：sum（i=0 到 lg n-1） n * lg (n / 2^i)
求和结果：Θ(n lg² n)
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