C语言素数判断：从入门到进阶

1. 什么是素数

素数（又称质数）是指大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的数。例如 2、3、5、7、11 都是素数，而 4、6、8、9 都不是素数。

判断一个数是否为素数，是 C 语言初学者最经典的练习题目之一，也是后续学习算法优化、数论的基础。

2. 最基础的判断方法

最直观的思路：对于一个数 n，从 2 开始一直试除到 n-1，如果中间存在某个数能整除 n，则 n 不是素数；否则 n 是素数。

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#include <stdio.h>

int isPrime(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 0;  // 1 和负数不是素数
    }
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            return 0;  // 能被整除，不是素数
        }
    }
    return 1;  // 是素数
}

int main() {
    int num;
    printf("请输入一个整数：");
    scanf("%d", &num);

    if (isPrime(num)) {
        printf("%d 是素数\n", num);
    } else {
        printf("%d 不是素数\n", num);
    }
    return 0;
}

这种方法虽然正确，但效率较低。当 n 很大时，循环次数接近 n 次，时间复杂度为 O(n)。

3. 优化一：只需判断到 √n

观察可以发现：如果 n 有一个大于 √n 的因数 a，那么必然存在一个小于 √n 的因数 b = n / a。因此，我们只需要从 2 试除到 √n 即可。

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#include <stdio.h>
#include <math.h>

int isPrime(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 0;
    }
    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

这样时间复杂度降为 O(√n)，性能大幅提升。

4. 优化二：跳过偶数

除了 2 以外，所有偶数都不是素数。因此可以先单独判断 2，然后从 3 开始只检查奇数。

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int isPrime(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 0;
    }
    if (n == 2) {
        return 1;  // 2 是素数
    }
    if (n % 2 == 0) {
        return 0;  // 偶数不是素数
    }
    for (int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) {
        if (n % i == 0) {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

这样循环次数又减少了一半，效率进一步提升。

5. 综合示例：输出 1~100 之间的所有素数

下面把上面的优化综合起来，输出 1 到 100 之间的所有素数：

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#include <stdio.h>
#include <math.h>

int isPrime(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 0;
    }
    if (n == 2) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 0) {
        return 0;
    }
    for (int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) {
        if (n % i == 0) {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}

int main() {
    printf("1~100 之间的素数有：\n");
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        if (isPrime(i)) {
            printf("%d ", i);
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

运行结果：

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1~100 之间的素数有：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

6. 进阶：埃拉托斯特尼筛法

当需要一次性判断大量数字（比如求 1 到 1000000 之间所有素数）时，逐个判断效率太低。此时可以使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes），时间复杂度为 O(n log log n)。

基本思想：从 2 开始，把每个素数的倍数都标记为合数，剩下的就是素数。

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#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

void sieve(int n) {
    bool isPrime[n + 1];
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        isPrime[i] = true;
    }
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;

    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                isPrime[j] = false;
            }
        }
    }

    printf("1~%d 之间的素数有：\n", n);
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            printf("%d ", i);
        }
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    sieve(100);
    return 0;
}

7. 总结

方法	时间复杂度	适用场景
基础试除法	O(n)	小数字、教学演示
试除到 √n	O(√n)	单个数字判断
跳过偶数优化	O(√n/2)	单个数字判断（推荐）
埃拉托斯特尼筛法	O(n log log n)	批量判断大量数字

掌握素数的判断方法，不仅能帮助你通过 C 语言的基础练习，更是理解算法复杂度优化的重要一步。建议初学者先掌握基础写法，再逐步理解优化思路，最后尝试用筛法解决更大规模的问题。