在抽象代数的环论中，环（Ring） 、交换环（Commutative Ring） 和 除环（Division Ring / Skew Field） 是按照代数运算性质逐步加深、层层递进的三种基本代数结构。
1. 环（Ring）
设 RRR 是一个非空集合，配有加法 +++ 和乘法 ⋅\cdot⋅ 两种二元运算。如果 (R,+,⋅)(R, +, \cdot)(R,+,⋅) 满足以下条件，则称 RRR 为一个环：
加法构成阿贝尔群（交换群）：
- 加法结合律 ：∀a,b,c∈R,(a+b)+c=a+(b+c)\forall a, b, c \in R, (a + b) + c = a + (b + c)∀a,b,c∈R,(a+b)+c=a+(b+c)
- 加法交换律 ：∀a,b∈R,a+b=b+a\forall a, b \in R, a + b = b + a∀a,b∈R,a+b=b+a
- 存在加法零元 000 ：∀a∈R,a+0=a\forall a \in R, a + 0 = a∀a∈R,a+0=a
- 存在加法逆元 ：∀a∈R\forall a \in R∀a∈R, ∃−a∈R\exist -a \in R∃−a∈R, a+(−a)=0a + (-a) = 0a+(−a)=0
乘法满足结合律（构成半群）：
- 乘法结合律 ：∀a,b,c∈R,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\forall a, b, c \in R, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)∀a,b,c∈R,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
乘法对加法满足分配律：
- 左分配律 ：∀a,b,c∈R,a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\forall a, b, c \in R, a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c∀a,b,c∈R,a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
- 右分配律 ：∀a,b,c∈R,(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a\forall a, b, c \in R, (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a∀a,b,c∈R,(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a
经典例子：
- 偶数环 2Z2\mathbb{Z}2Z：无乘法单位元的环。
- n×nn \times nn×n 实矩阵环 Mn(R)M_n(\mathbb{R})Mn(R)（n≥2n \ge 2n≥2） ：带有单位矩阵 III，但不满足乘法交换律。
幺环 （Ring with Unity）
有乘法单位元 111 的环称为幺环. 乘法单位元称作幺元（unity）.
交换环（Commutative Ring）
如果一个环 (R,+,⋅)(R, +, \cdot)(R,+,⋅) 的乘法运算满足交换律，即：
∀a,b∈R,a⋅b=b⋅a\forall a, b \in R, \quad a \cdot b = b \cdot a∀a,b∈R,a⋅b=b⋅a
则称 RRR 为一个交换环。
经典例子：
- 整数环 Z\mathbb{Z}Z：最典型的交换环。
- 多项式环 FxFxFx （FFF 为任意域）：多项式乘法满足交换律。
- 模 mmm 剩余类环 Zm\mathbb{Z}_mZm。
除环（Division Ring）
设 RRR 是一个幺环。如果 RRR 中的乘法满足所有元素（除 000 外）都有一个逆元，即：
∀a∈R∖{0},∃a−1∈R 使得 a⋅a−1=a−1⋅a=1 \forall a \in R \setminus \{0\}, \quad \exists a^{-1} \in R \text{ 使得 } a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 ∀a∈R∖{0},∃a−1∈R 使得 a⋅a−1=a−1⋅a=1
则称 RRR 为一个除环 （也常被称为体 或非交换域）。
非交换除环经典例子：
- 四元数环 H\mathbb{H}H（Hamiltonian Quaternions） ：
最著名的非交换除环。其元素形式为 a+bi+cj+dka + bi + cj + dka+bi+cj+dk（a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}a,b,c,d∈R），乘法满足 i2=j2=k2=ijk=−1i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1i2=j2=k2=ijk=−1。由于 ij=k≠−k=jiij = k \neq -k = jiij=k=−k=ji，乘法不可交换，但每个非零四元数都有乘法逆元。