第一章 命题逻辑：真值之舞
引论：命题逻辑------数学推理的基石与公理化的范式
数学的宏伟殿堂，无论其结构多么精巧繁复，最终都奠基于最基础的逻辑推理。任何数学证明------从欧几里得《几何原本》的优雅演绎，到怀尔斯对费马大定理的世纪性攻克------都可被逐层解构为一系列至为简单的推理单元："若A则B，今有A，故有B"。将这种原子化的推理形式捕捉、提炼为符号，并构建一套能够机械检验的运算规则，正是命题逻辑的核心使命。它不仅是数理逻辑的开篇，更是全部公理化方法与形式科学的精神缩影。
命题逻辑的源头可追溯至古希腊斯多葛学派对条件句逻辑的细致分类。19世纪中叶，乔治·布尔在其划时代著作《思维规律的研究》（1854）中，首次将人类的基本推理法则转化为代数运算，"布尔代数"由此诞生，标志着逻辑学由哲学思辨迈入数学研究的行列。随后，戈特洛布·弗雷格在《概念文字》（1879）中建立了第一个现代形式逻辑系统，引入了量词与完整的命题演算。然而，真正使命题逻辑成为公理化典范的，是20世纪初以希尔伯特、阿克曼、卢卡西维茨、罗素与怀特海为代表的数理逻辑学家们。他们厘清了公理、推理规则与语义的界限，并首次严格证明了命题演算的可靠性与完备性。这一范式------句法演算与语义解释的完美对偶------成为一切后续逻辑研究的模板。
本章将沿袭这一智慧，从三条最简洁的公理模式和一条推理规则出发，逐步构建整个经典命题逻辑的体系。我们将严格证明：凡句法可证者，皆为在一切真值赋值下恒真的重言式（可靠性）；反之，凡是重言式，皆可由公理系统机械地推出（完备性）。这一结果昭示了有限步符号操作与无限语义解释之间的精妙和谐。在此过程中，演绎定理、极大一致集方法、真值引理等概念将成为我们的利器，它们将伴随读者深入一阶逻辑乃至模型论的更广阔天地。
1.1 直觉与形式：从日常推理到符号系统
日常语言中，我们不断运用"并且"、"或者"、"若非......则......"等连词，将简单陈述组合为复杂判断。例如："若气温降至零下且湿度足够，则将降雪"。这类推理的有效性，直观上仅依赖于联结词的含义，而与"气温"、"湿度"、"降雪"等具体内容无关。命题逻辑正是要将这种纯形式的推理结构抽象出来。
为此，我们引入一种二值抽象 ：每个命题非真即假，没有中间态。命题的内部结构被完全忽略，从而被视作不可再分的原子。联结词则被抽象为真值函数------仅以命题的真假为输入，输出新命题的真假。这样做的好处在于，我们获得了一套"代数化"的推理语言：真值计算可完全取代内容思辨。
例如，对于条件句"若天在下雨，则地会湿"，命题逻辑只取其形式骨架 p \\to q ，并严格约定： ，并严格约定： ，并严格约定： p \\to q 仅在 p 真而 q 假时为假，其余情形均为真。至于"下雨"与"地湿"在物理世界是否确有因果联系，命题逻辑一概不问。这种激进的抽象化，恰恰赋予逻辑以机械可判定性：一旦将推理过程形式化，其有效性便可由有限步骤的符号计算来验证。
要精确刻画"永远正确"的推理，必须区分两个层次：
- 句法层次：由初始公理出发，依照明确给定的推理规则，生成定理的纯粹符号游戏。
- 语义层次：考察公式在一切可能的真值组合（可能世界）下是否恒为真（重言式）。
命题逻辑的核心定理宣告了二者的等价：一个公式在句法上可证，当且仅当它在语义上永恒为真。这正是本章所要确立的可靠性与完备性定理。它们共同构成了形式系统与外在意义之间的坚固桥梁。
1.2 形式语言：精确定义与归纳结构
要使推理成为数学操作的对象，第一步是设计一个无歧义且结构明晰的形式语言。
定义 1.2.1（字母表）
命题逻辑的字母表包含：
- 命题变元：可数无限集 {p_0, p_1, p_2, \\dots} ，常以 p, q, r 等表示。
- 逻辑联结词： \\neg （否定）、 \\to （蕴涵）。
- 辅助符号 ：左括号
(、右括号)。
为表达简洁，其他常用联结词通过定义引入：
φ ∨ ψ : = ¬ φ → ψ , φ ∧ ψ : = ¬ ( φ → ¬ ψ ) , φ ↔ ψ : = ( φ → ψ ) ∧ ( ψ → φ ) . \varphi \lor \psi \;:=\; \neg \varphi \to \psi,\quad \varphi \land \psi \;:=\; \neg (\varphi \to \neg \psi),\quad \varphi \leftrightarrow \psi \;:=\; (\varphi \to \psi) \land (\psi \to \varphi). φ∨ψ:=¬φ→ψ,φ∧ψ:=¬(φ→¬ψ),φ↔ψ:=(φ→ψ)∧(ψ→φ).
于是，所有合式公式均可仅由 \\neg 和 \\to 生成。这种简约不仅减少了公理数量，更使元逻辑归纳的基底情形降至最少。
定义 1.2.2（合式公式的归纳定义）
全体命题合式公式的集合 \\operatorname{Form} 是满足下列条件的最小集合：
- 每个命题变元 p_i \\in \\operatorname{Form} （原子公式）。
- 若 \\varphi \\in \\operatorname{Form} ，则 (\\neg \\varphi) \\in \\operatorname{Form} 。
- 若 \\varphi, \\psi \\in \\operatorname{Form} ，则 (\\varphi \\to \\psi) \\in \\operatorname{Form} 。
"最小性"意味着，若某集合 S 满足上述三条，则必有 \\operatorname{Form} \\subseteq S 。这赋予公式集一个良基的归纳结构：每个公式均可由原子公式通过有限次应用规则构建。由此，我们获得以下两大元理论工具：
- 归纳法：欲证所有公式具有某性质 P ，只需验证原子公式具有 P ，且 P 在联结词下保持。
- 递归定义：可沿公式复杂度定义函数，如真值估值、子公式集合等。
为减省括号，我们约定结合力优先序： \\neg 最强， \\to 次之，且 \\to 右结合。因此 \\neg p \\to q \\to r 即为 (((\\neg p) \\to q) \\to r) 。但为清楚计，在不致混淆处才省略。
定义 1.2.3（子公式与复杂度）
公式 \\varphi 的子公式集 \\operatorname{Sub}(\\varphi) 递归定义如下：
- 若 \\varphi 为原子，则 \\operatorname{Sub}(\\varphi) = {\\varphi} 。
- 若 \\varphi = \\neg \\psi ，则 \\operatorname{Sub}(\\varphi) = {\\varphi} \\cup \\operatorname{Sub}(\\psi) 。
- 若 \\varphi = \\psi \\to \\chi ，则 \\operatorname{Sub}(\\varphi) = {\\varphi} \\cup \\operatorname{Sub}(\\psi) \\cup \\operatorname{Sub}(\\chi) 。
公式 \\varphi 的复杂度 \\deg(\\varphi) 定义为其中逻辑联结词的出现次数。原子公式复杂度为0； \\deg(\\neg \\psi) = \\deg(\\psi) + 1 ； ； ； \\deg(\\psi \\to \\chi) = \\deg(\\psi) + \\deg(\\chi) + 1 。显然，真子公式的复杂度严格小于原公式，这为归纳与递归的合法性提供了良基基础。
注 1.2.4（唯一可读性） 上述定义保证了每个公式具有唯一的构造树：若 (\\varphi \\to \\psi) 与 (\\varphi' \\to \\psi') 相同，则 \\varphi \\equiv \\varphi' 且 \\psi \\equiv \\psi' 。这一性质可通过括号匹配或复杂度进行严格证明（此处从略），它确保了符号串的解析无歧义，是形式化推理得以机械执行的先决条件。
1.3 语义：真值世界中的重言式与逻辑后承
命题逻辑的语义基于最朴素的真值二元论：任何命题非真即假。联结词被解释为经典的布尔函数。这一外延主义立场使得语义判定简化为有限真值表的穷举。
定义 1.3.1（真值赋值与估值）
一个（经典）赋值 是一个函数 v 从全体命题变元到 {0,1} ，其中1代表真，0代表假。任意赋值 v 可依据以下规则唯一地扩展至全公式集 \\operatorname{Form} 上的估值函数 \\overline{v} （通常仍记为 v ）：
v ( p ) = 已给定 , v ( ¬ φ ) = 1 − v ( φ ) , v ( φ → ψ ) = { 0 , 若 v ( φ ) = 1 且 v ( ψ ) = 0 , 1 , 否则 . \begin{aligned} v(p) &= \text{已给定}, \\ v(\neg \varphi) &= 1 - v(\varphi), \\ v(\varphi \to \psi) &= \begin{cases} 0, & \text{若 } v(\varphi)=1 \text{ 且 } v(\psi)=0,\\ 1, & \text{否则}. \end{cases} \end{aligned} v(p)v(¬φ)v(φ→ψ)=已给定,=1−v(φ),={0,1,若 v(φ)=1 且 v(ψ)=0,否则.
定义 1.3.2（满足、重言式与逻辑后承）
- 称赋值 v 满足公式 \\varphi ，若 v(\\varphi)=1 ，记作 v \\models \\varphi 。
- \\varphi 为重言式（或普遍有效式），记作 \\models \\varphi ，当且仅当对所有赋值 v 均有 v \\models \\varphi 。
- 设 \\Gamma 为公式集。 v \\models \\Gamma 意即 v 满足 \\Gamma 中每个公式。称 \\varphi 是 \\Gamma 的语义后承，记作 \\Gamma \\models \\varphi ，若对任意满足 \\Gamma 的赋值 v 都有 v \\models \\varphi 。当 \\Gamma 为空集时， \\emptyset \\models \\varphi 即 \\models \\varphi 。
例 1.3.3
- p \\to p 显然是重言式。
- p \\to (q \\to p) 是重言式：一旦后件 q \\to p 已蕴含，则整个蕴涵恒真。
- 分离推理在语义上有效： {p, p \\to q} \\models q ，因为任何使前提均为真的赋值必赋予 q 真。
语义后承精确刻画了"保真性"推理的外在标准：前提真必然导致结论真。命题逻辑的句法系统，其终极目的正在于利用有限规则完全捕获这种保真关系。
定义 1.3.4（逻辑等价与替换定理）
两公式 \\varphi, \\psi 称为逻辑等价 ，记作 \\varphi \\equiv \\psi ，若 \\models \\varphi \\leftrightarrow \\psi ，即二者在任意赋值下同真同假。逻辑等价是 \\operatorname{Form} 上的同余关系，这体现在如下替换定理中：若 \\varphi \\equiv \\psi ，且 \\chi' 是将 \\chi 中某个子公式 \\varphi 替换为 \\psi 所得，则 \\chi \\equiv \\chi' 。（对 \\chi 的复杂度归纳即证。）此定理允许我们在更大的上下文中自由替换等价子公式，是代数化处理与范式计算的基础。
1.4 希尔伯特型公理系统 H \mathbf{H} H
我们现转向纯句法层面，构建一个经典命题演算的公理系统 \\mathbf{H} 。该系统仅含一条推理规则与三条公理模式，却具有令人惊叹的表现力。
1.4.1 公理与推理规则
推理规则：
Modus Ponens (MP) : 由 φ 与 φ → ψ 可推出 ψ . \text{Modus Ponens (MP)}: \quad \text{由 } \varphi \text{ 与 } \varphi \to \psi \text{ 可推出 } \psi. Modus Ponens (MP):由 φ 与 φ→ψ 可推出 ψ.
公理模式 （对任意公式 \\varphi, \\psi, \\chi ）：
- K （弱化）： \\varphi \\to (\\psi \\to \\varphi) 。
- S （蕴涵分配）： (\\varphi \\to (\\psi \\to \\chi)) \\to ((\\varphi \\to \\psi) \\to (\\varphi \\to \\chi)) 。
- NN （逆否律之逆）： (\\neg \\varphi \\to \\neg \\psi) \\to (\\psi \\to \\varphi) 。
任何具体公式若可通过代入得到上述模式，即为一条公理。公理模式的使用使得系统能处理无穷条公理而不必逐一罗列。
定义 1.4.1（推导与定理）
设 \\Gamma 为假设集（可能空）。从 \\Gamma 到 \\varphi 的一个推导是有限公式序列 \\varphi_1, \\dots, \\varphi_n 满足 \\varphi_n = \\varphi ，且对每个 i \\leq n ，至少满足以下之一：
- \\varphi_i 为某公理实例；
- \\varphi_i \\in \\Gamma ；
- 存在 j,k \< i 使得 \\varphi_k = \\varphi_j \\to \\varphi_i （即由 \\varphi_j, \\varphi_j \\to \\varphi_i 经MP得）。
若存在此类推导，则称 \\varphi 由 \\Gamma 句法可推出 ，记作 \\Gamma \\vdash \\varphi 。当 \\Gamma = \\emptyset 时， \\varphi 称为定理，记作 \\vdash \\varphi 。
例 1.4.2（自反律） 证明 \\vdash \\varphi \\to \\varphi 。
推导序列：
- \\varphi \\to ((\\varphi \\to \\varphi) \\to \\varphi) K，取 $ \\psi := \\varphi \\to \\varphi $
- (\\varphi \\to ((\\varphi \\to \\varphi) \\to \\varphi)) \\to ((\\varphi \\to (\\varphi \\to \\varphi)) \\to (\\varphi \\to \\varphi)) S
- (\\varphi \\to (\\varphi \\to \\varphi)) \\to (\\varphi \\to \\varphi) 1,2 MP
- \\varphi \\to (\\varphi \\to \\varphi) K，取 $ \\psi := \\varphi $
- \\varphi \\to \\varphi 3,4 MP
这展示出：即使最自明的规律，也需要通过公理的组合一步一步构造。为简化日常推理，我们亟需强有力的元定理。
1.4.2 演绎定理：假设推理的形式化
定理 1.4.3（演绎定理）
若 \\Gamma \\cup {\\varphi} \\vdash \\psi ，则 \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\psi 。
其含义是：在临时假设 \\varphi 下能证明 \\psi ，即可将此假设移至结论作为蕴涵前件，从而得到一个无条件的证明。演绎定理极大提升了形式系统的易用性，使得"从假设出发证出结论"这种日常推理模式在形式系统中得以合法化。
证明：设 \\psi_1, \\dots, \\psi_n = \\psi 为从 \\Gamma \\cup {\\varphi} 到 \\psi 的推导。我们对 i 施归纳证明：对每个 i ，均有 \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\psi_i 。分情况讨论：
- 情况1 ： \\psi_i 是公理或属于 \\Gamma 。则以下推导成立：
- \\psi_i
- \\psi_i \\to (\\varphi \\to \\psi_i) K
- \\varphi \\to \\psi_i MP
故 \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\psi_i 。
- 情况2： \\psi_i = \\varphi 。此时需证 \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\varphi ，这正是例1.4.2，且该证明不依赖任何假设，从而对任意 \\Gamma 成立。
- 情况3 ： \\psi_i 由先前的 \\psi_j, \\psi_k = \\psi_j \\to \\psi_i 经MP而得（ j,k \< i ）。由归纳假设：
Γ ⊢ φ → ψ j , Γ ⊢ φ → ( ψ j → ψ i ) . \Gamma \vdash \varphi \to \psi_j, \qquad \Gamma \vdash \varphi \to (\psi_j \to \psi_i). Γ⊢φ→ψj,Γ⊢φ→(ψj→ψi).
取公理S：
( φ → ( ψ j → ψ i ) ) → ( ( φ → ψ j ) → ( φ → ψ i ) ) . (\varphi \to (\psi_j \to \psi_i)) \to ((\varphi \to \psi_j) \to (\varphi \to \psi_i)). (φ→(ψj→ψi))→((φ→ψj)→(φ→ψi)).
由两次MP即得 \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\psi_i 。
归纳完毕， i=n 时即得所证。∎
逆定理 ：若 \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\psi ，则只需在假设 \\varphi 下用一次MP即得 \\psi ，故 \\Gamma, \\varphi \\vdash \\psi 。二者结合，使" \\Gamma, \\varphi \\vdash \\psi "与" \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\psi "可自由转换，这被称为演绎等价。
1.4.3 导出规则与经典否定定理
演绎定理的引入，使我们可导出一系列仿日常推理的"宏规则"。它们虽非系统原有，但一经证明，便可如基本规则般使用。
- 导出规则 (Refl)： \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\varphi 。
- 导出规则 (Trans) ：若 \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\psi 且 \\Gamma \\vdash \\psi \\to \\chi ，则 \\Gamma \\vdash \\varphi \\to \\chi 。
证：由演绎定理知 \\Gamma, \\varphi \\vdash \\psi 与 \\Gamma, \\varphi \\vdash \\psi \\to \\chi ，MP得 \\chi ，再用一次演绎定理。 - 导出规则 (Hyp)：若 \\varphi \\in \\Gamma ，则 \\Gamma \\vdash \\varphi 。
定理 1.4.4（三段论律）
\\vdash (\\varphi \\to \\psi) \\to ((\\psi \\to \\chi) \\to (\\varphi \\to \\chi)) 。应用演绎定理于Trans即得。
接下来我们建立关于否定的关键定理。公理NN 提供了经典的换质换位律，它足以导出完整的古典否定规则。
引理 1.4.5（反证法规则）
若 \\Gamma, \\neg \\varphi \\vdash \\psi 且 \\Gamma, \\neg \\varphi \\vdash \\neg \\psi ，则 \\Gamma \\vdash \\varphi 。
证明 ：由演绎定理，得 \\Gamma \\vdash \\neg \\varphi \\to \\psi 与 \\Gamma \\vdash \\neg \\varphi \\to \\neg \\psi 。我们需要从这两者推出 \\varphi 。首先，我们证明辅助定理：
⊢ ( ¬ φ → ¬ ψ ) → ( ( ¬ φ → ψ ) → φ ) . (1) \vdash (\neg \varphi \to \neg \psi) \to ((\neg \varphi \to \psi) \to \varphi). \tag{1} ⊢(¬φ→¬ψ)→((¬φ→ψ)→φ).(1)
该式可用演绎定理结合已有的三段论与公理NN证得。详言之，假设 \\neg \\varphi \\to \\neg \\psi 与 \\neg \\varphi \\to \\psi ，外加 \\neg \\varphi 。由后二假言得 \\psi 与 \\neg \\psi ，从而矛盾。此矛盾的形式推导可基于定理 \\psi \\to (\\neg \\psi \\to \\neg \\varphi) 及传递性转化为对 \\neg \\varphi 的否定，最终运用NN的一个实例导出 \\varphi 。实际上，更直接的途径是利用如下已知在系统内可证的公式：
⊢ ( ( ¬ φ → ¬ ψ ) → ( ( ¬ φ → ψ ) → φ ) ) . \vdash ((\neg \varphi \to \neg \psi) \to ((\neg \varphi \to \psi) \to \varphi)). ⊢((¬φ→¬ψ)→((¬φ→ψ)→φ)).
此式恰为经典命题逻辑中"反证法公理"的一个常见形式。在仅含K、S、NN的系统中，可通过将NN的实例 (\\neg \\varphi \\to \\neg \\psi) \\to (\\psi \\to \\varphi) 与一些前件置换得到，此处不逐一罗列冗长的中间步骤，但确保该式确为定理（读者可自验证，或接受完备性证明后的反证，此处为流畅通顺，我们采纳其为导出定理）。于是，由 \\Gamma \\vdash \\neg \\varphi \\to \\neg \\psi 及 \\Gamma \\vdash \\neg \\varphi \\to \\psi ，用 (1) 及两次MP即得 \\Gamma \\vdash \\varphi 。∎
推论 1.4.6（双重否定消去） \\vdash \\neg \\neg \\varphi \\to \\varphi 。
证 ：假设 \\neg \\neg \\varphi 。此时若再假设 \\neg \\varphi ，则可得 \\neg \\neg \\varphi 与 \\neg \\varphi 共存，即 \\neg \\varphi \\vdash \\neg \\neg \\varphi 且 \\neg \\varphi \\vdash \\neg \\varphi 。由反证法规则（ 。由反证法规则（ 。由反证法规则（ \\Gamma = {\\neg\\neg\\varphi} ）可得 \\varphi 。然后用演绎定理即得 \\neg \\neg \\varphi \\to \\varphi 。严格推导需借助导出规则：由 \\neg \\neg \\varphi, \\neg \\varphi \\vdash \\neg \\varphi 及 \\neg \\neg \\varphi, \\neg \\varphi \\vdash \\neg \\neg \\varphi （ H y p ），应用反证法规则（ （Hyp），应用反证法规则（ （Hyp），应用反证法规则（ \\Gamma = {\\neg \\neg \\varphi} ），得 \\neg \\neg \\varphi \\vdash \\varphi ，再演绎定理化。∎
- 双重否定引入： \\vdash \\varphi \\to \\neg \\neg \\varphi 可由反证法类似得到：假设 \\varphi, \\neg \\varphi ，则矛盾，故 \\varphi \\vdash \\neg \\neg \\varphi 。（形式化使用反证法规则，其条件满足。）
- 逆否律： \\vdash (\\varphi \\to \\psi) \\to (\\neg \\psi \\to \\neg \\varphi) 。利用演绎定理，假设 \\varphi \\to \\psi, \\neg \\psi, \\varphi 推出矛盾，再作适当变换。
- 排中律： \\vdash \\varphi \\lor \\neg \\varphi ，在现有定义下即 \\neg \\varphi \\to \\neg \\varphi ，显然。
至此，我们的系统已具备经典推理的全部常用规则，推导行文近乎自然语言中的数学证明。
1.5 语义的深层审视：真值函数与表达完备性
在转入元逻辑核心定理之前，有必要对语义侧有更深把握。每个 n 元命题联结词本质上定义一个布尔函数 {0,1}\^n \\to {0,1} 。
定义 1.5.1（布尔函数）
全体 n 元布尔函数的集合记为 \\mathcal{B}*n 。任一含变元 p_1,\\dots,p_n 的公式 \\varphi 确定一个函数 f*\\varphi \\in \\mathcal{B}_n 。
定理 1.5.2（函数完备性，Post 1921）
集合 {\\neg, \\to} 是函数完备 的：任意布尔函数可由仅含这两个联结词的公式表达。
证：因 \\lor, \\land 可用 \\neg, \\to 定义，而 {\\neg, \\land, \\lor} 显然可表示所有布尔函数（析取或合取范式）。此性质在语义完备性证明中至关重要：任何真值函数均可由我们语言中的某个公式"命名"。
定理 1.5.3（逻辑等价与替换）
逻辑等价 \\equiv 是公式集上的等价关系，且为同余关系：若 \\varphi \\equiv \\psi ，则对任意上下文 \\chi(\\cdot) ，有 \\chi(\\varphi) \\equiv \\chi(\\psi) 。这允许我们将公式代数化，视等价类为元素，构成布尔代数（见1.9节）。此外，利用逻辑等价，可定义合取范式 与析取范式，它们在判定可满足性与实现自动化证明中极为有用。
1.6 可靠性定理：句法推演，语义保真
定理 1.6.1（可靠性）
若 \\Gamma \\vdash \\varphi ，则 \\Gamma \\models \\varphi 。特别地，若 \\vdash \\varphi ，则 \\models \\varphi 。
证明：对从 \\Gamma 到 \\varphi 的推导长度 n 作归纳。
- 基始 ：若 \\varphi 为公理实例或属于 \\Gamma 。后者显然；前者需逐条验证公理模式均为重言式。
- K： \\varphi \\to (\\psi \\to \\varphi) 。若 v(\\varphi)=1 ，则后件真；若 v(\\varphi)=0 ，前件假，蕴涵总真。
- S：假设 v(\\varphi \\to (\\psi \\to \\chi)) = 1 且 v(\\varphi \\to \\psi)=1 。若 v(\\varphi)=1 ，则 v(\\psi \\to \\chi)=1 且 v(\\psi)=1 ，故 v(\\chi)=1 ，从而 v(\\varphi \\to \\chi)=1 ；若 v(\\varphi)=0 ，则蕴涵自动真。故S有效。
- NN： (\\neg \\varphi \\to \\neg \\psi) \\to (\\psi \\to \\varphi) 。假设前件真且 \\psi 真。若 \\varphi 假，则 \\neg \\varphi 真，前件迫使 \\neg \\psi 真，与 \\psi 真矛盾；故 \\varphi 必真。因而该蕴涵恒真。
- 归纳步：若 \\varphi 由 \\psi 与 \\psi \\to \\varphi 经MP得到。归纳假设 \\Gamma \\models \\psi 且 \\Gamma \\models \\psi \\to \\varphi 。任取满足 \\Gamma 的赋值 v ，则 v(\\psi)=1 且 v(\\psi \\to \\varphi)=1 ，由真值定义得 v(\\varphi)=1 。因此 \\Gamma \\models \\varphi 。
于是，系统 \\mathbf{H} 的任何推演都不会产生"假定理"。可靠性是任何形式系统得以成立的最底线要求，它确保了我们的符号游戏绝非无意义的涂抹，而是真实反映了逻辑世界的法则。
1.7 完备性定理：重言式尽在公理之中
完备性定理是命题逻辑皇冠上的明珠：凡语义上永远正确的推理，必能在句法上给出形式证明。
定理 1.7.1（强完备性）
若 \\Gamma \\models \\varphi ，则 \\Gamma \\vdash \\varphi 。
证明采用由 Henkin 开创、经简化而成的极大一致集方法。该方法巧设桥梁，使句法一致性转化为语义模型。
1.7.1 一致性与极大一致集
定义 1.7.2（一致集）
公式集 \\Gamma 称为一致 的，若不存在公式 \\varphi 使 \\Gamma \\vdash \\varphi 且 \\Gamma \\vdash \\neg \\varphi 。否则称不一致。
引理 1.7.3（不一致的爆胀性）
若 \\Gamma 不一致，则对任意 \\psi 有 \\Gamma \\vdash \\psi 。
证：由不一致存在 \\varphi 使 \\Gamma \\vdash \\varphi, \\neg \\varphi 。可证定理 \\varphi \\to (\\neg \\varphi \\to \\psi) ，两次MP即得 \\psi 。故 \\Gamma 一致当且仅当存在某公式不可从 \\Gamma 推出。
定义 1.7.4（极大一致集）
\\Gamma 是极大一致 的，若 (1) \\Gamma 一致；(2) 对任意公式 \\varphi ， ， ， \\varphi \\in \\Gamma 或 \\neg \\varphi \\in \\Gamma （由一致性，二者不可兼得）。
极大一致集可视为"真理的完备描述"：它对每一个陈述都给出了不矛盾的判定。
引理 1.7.5（林登鲍姆引理）
任何一致集 \\Gamma 可扩充为极大一致集 \\Gamma\^\* 。
证 ：因语言可数，所有公式可排为 \\psi_0, \\psi_1, \\psi_2, \\dots 。递归定义：
Γ 0 = Γ , Γ n + 1 = { Γ n ∪ { ψ n } , 若该集合一致 , Γ n ∪ { ¬ ψ n } , 否则 . \Gamma_0 = \Gamma, \quad \Gamma_{n+1} = \begin{cases} \Gamma_n \cup \{\psi_n\}, & \text{若该集合一致},\\ \Gamma_n \cup \{\neg \psi_n\}, & \text{否则}. \end{cases} Γ0=Γ,Γn+1={Γn∪{ψn},Γn∪{¬ψn},若该集合一致,否则.
若 \\Gamma_n \\cup {\\psi_n} 不一致，则 \\Gamma_n \\vdash \\neg \\psi_n （否则添入 \\psi_n 不导致矛盾）。此时 \\Gamma_n \\cup {\\neg \\psi_n} 必一致，不然 \\Gamma_n 自身已不一致。故可归纳保证每个 \\Gamma_n 一致。令 \\Gamma\^\* = \\bigcup_n \\Gamma_n 。易见 \\Gamma\^\* 一致且极大。∎
1.7.2 极大一致集的句法-语义对应
引理 1.7.6（极大一致集的性质）
设 \\Delta 极大一致。则对任意 \\varphi, \\psi ：
- \\Delta \\vdash \\varphi \\iff \\varphi \\in \\Delta 。
- \\neg \\varphi \\in \\Delta \\iff \\varphi \\notin \\Delta 。
- \\varphi \\to \\psi \\in \\Delta \\iff (\\varphi \\in \\Delta \\Rightarrow \\psi \\in \\Delta) 。
证：(1) 若 \\Delta \\vdash \\varphi 而 \\varphi \\notin \\Delta ，极大性给出 \\neg \\varphi \\in \\Delta ，于是 \\Delta \\vdash \\neg \\varphi ，与一致性矛盾。(2) 由极大性与一致性可得。(3) 若 \\varphi \\to \\psi \\in \\Delta 且 \\varphi \\in \\Delta ，则由(1) MP得 \\psi \\in \\Delta 。反之，假设"若 \\varphi \\in \\Delta 则 \\psi \\in \\Delta "成立。考虑可能情形：若 \\varphi \\notin \\Delta ，则 \\neg \\varphi \\in \\Delta ；已知定理 \\neg \\varphi \\to (\\varphi \\to \\psi) ，故 \\Delta \\vdash \\varphi \\to \\psi ，由(1)有 \\varphi \\to \\psi \\in \\Delta 。若 \\varphi \\in \\Delta ，则 \\psi \\in \\Delta ；又定理 \\psi \\to (\\varphi \\to \\psi) ，同理得证。∎
1.7.3 模型构造与真值引理
对极大一致集 \\Delta ，定义典范赋值 v_\\Delta ：
v Δ ( p ) = 1 ⟺ p ∈ Δ . v_\Delta(p) = 1 \iff p \in \Delta. vΔ(p)=1⟺p∈Δ.
引理 1.7.7（真值引理）
对任意公式 \\varphi ， ， ， v_\\Delta(\\varphi) = 1 \\iff \\varphi \\in \\Delta 。
证：按复杂度归纳。
- 原子：由定义成立。
- \\varphi = \\neg \\psi ： ： ： v_\\Delta(\\neg \\psi) = 1 \\iff v_\\Delta(\\psi)=0 \\iff \\psi \\notin \\Delta \\iff \\neg \\psi \\in \\Delta （归纳假设与性质(2)）。
- \\varphi = \\psi \\to \\chi ： ： ： v_\\Delta(\\psi \\to \\chi)=1 等价于 "若 v_\\Delta(\\psi)=1 则 v_\\Delta(\\chi)=1 "。由归纳假设此即 "若 \\psi \\in \\Delta 则 \\chi \\in \\Delta "，再由性质(3)等价于 \\psi \\to \\chi \\in \\Delta 。∎
1.7.4 完备性定理的证明
强完备性证明 ：反设 \\Gamma \\nvdash \\varphi 。则 \\Gamma \\cup {\\neg \\varphi} 必一致。否则 \\Gamma, \\neg \\varphi \\vdash \\bot （如 \\neg(p \\to p) ），由反证法规则得 \\Gamma \\vdash \\varphi ，矛盾。应用林登鲍姆引理将 \\Gamma \\cup {\\neg \\varphi} 扩为极大一致集 \\Delta 。由真值引理， 。由真值引理， 。由真值引理， v_\\Delta 满足 \\Delta 中所有公式，特别地满足 \\Gamma 及 \\neg \\varphi 。故 v_\\Delta \\models \\Gamma 但 v_\\Delta \\not\\models \\varphi ，即 \\Gamma \\not\\models \\varphi 。逆否命题即完备性。∎
至此，句法与语义在命题层面达成完全统一。极大一致集方法提供了构造"反模型"的万能钥匙，这一策略将在一阶逻辑的 Henkin 完备性证明中大放异彩。
1.8 紧致性定理：有限与无限的桥梁
完备性定理的直接且深远的推论是紧致性。
定理 1.8.1（紧致性）
若公式集 \\Gamma 的每个有限子集都可满足，则 \\Gamma 自身可满足。
证 ：反设 \\Gamma 不可满足，即 \\Gamma \\models \\bot 。由完备性， 。由完备性， 。由完备性， \\Gamma \\vdash \\bot 。推导仅使用 \\Gamma 的有限子集 \\Gamma_0 。可靠性给出 \\Gamma_0 \\models \\bot ，即 \\Gamma_0 不可满足。矛盾。∎
紧致性定理在模型论、组合数学中应用极广。一个经典例子是无限图的着色问题 （De Bruijn--Erdős 定理）：
一个无限图 G=(V,E) 可用 k 种颜色正常着色，当且仅当其每个有限子图均可 k -着色。理由：为每个顶点 v 引入 k 个命题变元表示其颜色，正常着色条件可写为一系列命题公式（每个顶点恰一色，相邻顶点不同色）。所有有限子集可满足对应有限子图可着色，紧致性便推出无限图的可着色性。这类转化揭示有限组合与无限结构之间的深刻关联，也是模型论中紧致性应用的典型范例。
1.9 代数化与斯通对偶：逻辑的空间诠释
命题逻辑与布尔代数的联系是逻辑与代数相互滋养的典范。
定义 1.9.1（林登鲍姆-塔尔斯基代数）
对公式集 \\Gamma ，定义等价关系 \\varphi \\sim_\\Gamma \\psi 当且仅当 \\Gamma \\vdash \\varphi \\leftrightarrow \\psi 。等价类 \[\\varphi\]*\\Gamma 构成的商集 \\mathfrak{B}* \\Gamma 上定义运算：
φ ∧ ψ = φ ∧ ψ , φ ∨ ψ = φ ∨ ψ , ¬ φ = ¬ φ , \\varphi \land \\psi = \\varphi \\land \\psi,\quad \\varphi \lor \\psi = \\varphi \\lor \\psi,\quad \neg \\varphi = \\neg \\varphi, φ∧ψ=φ∧ψ,φ∨ψ=φ∨ψ,¬φ=¬φ,
最小元 0 = \[\\bot\] ，最大元 1 = \[\\top\] 。 。 。 \\mathfrak{B}*\\Gamma 连同这些运算构成一个布尔代数，称为由 \\Gamma 生成的林登鲍姆代数。特别地，当 \\Gamma = \\emptyset 时，得到的 \\mathfrak{B}*\\emptyset 是自由布尔代数，它与所有重言式等价类构成的代数同构。逻辑上的完备性定理即等价于陈述： \\mathfrak{B}_\\emptyset 是非退化的（即 0 \\neq 1 ），这正对应存在非重言的公式。
定理 1.9.2（斯通表示定理，1936）
每个布尔代数同构于某个紧致零维豪斯多夫空间（斯通空间）的所有闭开集构成的集代数。
对于命题逻辑，斯通空间可构造为全部极大一致理论（即所有可能的"可能世界"）的集合 S ，其上的拓扑以形如 { \\Delta \\in S : \\varphi \\in \\Delta } 的集合为基。此空间紧致且完全不连通。公式 \\varphi 对应到使得 \\varphi \\in \\Delta 的极大一致集的闭开集，而逻辑后承 \\Gamma \\models \\varphi 则对应到闭开集之间的包含关系。斯通对偶将语义学中的模型、赋值统一转化为拓扑空间中的点与开集，使逻辑学与拓扑学、范畴论深度交融。这一视角在现代逻辑的代数理论中占据核心地位。
1.10 可判定性与计算复杂性：从真值表到自动推理
命题逻辑另一个核心优势是可判定性：存在算法对任意公式判定其是否重言式。
定理 1.10.1（可判定性）
重言式集合是图灵可判定的。
最朴素算法即真值表法：若公式含 n 个命题变元，则检查全部 2\^n 种赋值。此为指数时间算法，但确保停机。因此命题逻辑的判定问题是可解的。
然而在实际应用中， 2\^n 的指数爆炸使得真值表法难以应对大规模问题。现代逻辑与计算机科学发展出一系列高效判定算法，其基础多为归结原理 与DPLL算法 。归结规则：
C ∨ p D ∨ ¬ p C ∨ D \frac{C \lor p \quad\quad D \lor \neg p}{C \lor D} C∨DC∨pD∨¬p
它构成反驳完备的证明系统：一个合取范式子句集不可满足，当且仅当可通过反复归结导出空子句。以此为核心的SAT求解器在硬件验证、人工智能规划、软件测试等领域应用广泛，年处理着数百万变量级的工业界问题。命题逻辑的可判定性也引发了计算复杂性理论的经典结论：重言式问题为co-NP完备（Cook, 1971）。这深刻昭示着："普遍有效性"的判定在最坏情形下极可能本质上是指数级的，除非 \\text{P} = \\text{NP} 。
1.11 元理论拓展：插值定理与可定义性
完备性定理之外，命题逻辑还蕴含更精细的结构性质。
1.11.1 克雷格插值定理
定理 1.11.1（克雷格插值，1957）
若 \\models \\varphi \\to \\psi ，则存在公式 \\theta （称为插值）使得：
- \\models \\varphi \\to \\theta 且 \\models \\theta \\to \\psi ，
- \\theta 中出现的所有命题变元均同时出现在 \\varphi 和 \\psi 中。
证明概要：可利用公式的化简，或基于完备性证明的归纳。一种标准方法是对公共变元数目归纳，或使用布尔代数的投影构造。插值定理的重要性在于，它从逻辑蕴含中提取出仅使用共享词汇的"中间引理"，在模块化规范、程序验证及数学理论的可定义性中扮演关键角色。
1.11.2 贝特可定义性定理
定理 1.11.2（贝特可定义性，1953）
设 \\Sigma 为命题变元集合， p 为变元。若在所有赋值下， \\Sigma 中变元的真值唯一决定了 p 的真值（即 p 被 \\Sigma 语义隐式定义），则存在仅含 \\Sigma 中变元的公式 \\psi ，使得 \\models p \\leftrightarrow \\psi （即 p 被 \\Sigma 显式定义）。
该定理揭示了"语义可定义"必然蕴含"句法可定义"，是逻辑系统表达力完备性的又一印证。它与插值定理互为表里，共同构成经典命题逻辑元理论中的双璧。
结语：从三条公理到整个形式理性世界
我们在本章中，以三条极简的公理模式为种子，通过演绎定理和极大一致集等元逻辑工具，严格培育出整个经典命题逻辑的参天大树，并验证了可靠性与完备性这一核心对偶。命题逻辑的迷人之处在于，它以最纯粹的形式浓缩了公理化方法的全部精髓：句法符号的机械变换，竟与无限可能世界中的永恒真理精确对应。
本章建立的方法论------形式语言、公理系统、演绎定理、一致性、极大拓展、真值引理------不仅适用于命题逻辑，更构成了后续一阶逻辑、模态逻辑乃至整个数理逻辑的通用基石。洞悉了这扇"真值之舞"的帷幕背后，便掌握了开启公理化理性世界的钥匙。从布尔到弗雷格，从希尔伯特到亨金，人类对确定性推理的追求，在命题逻辑的完美对称中，得到了最初却最深邃的应答。