最长递增子序列的个数（200分 / 动态规划）

题目描述 ：给定一个整数数组 nums（长度 n ≤ 2000，元素范围 -10^6 ~ 10^6），求最长严格递增子序列 的个数。若最长递增子序列长度为 L，输出长度为 L 的不同子序列个数（下标不同即视为不同）。

输入：

• 第一行：n

• 第二行：n 个整数

输出：最长递增子序列的个数。

示例：

text

输入：
5
1 3 5 4 7

输出：
2

解释：最长递增子序列长度为 4，有两个：1 3 5 7 和 1 3 4 7。

解题思路

维护两个数组：

• dp[i]：以 nums[i] 结尾的最长递增子序列长度。

• cnt[i]：以 nums[i] 结尾的最长递增子序列个数。

转移：

• 若 nums[j] < nums[i]：

  • 若 dp[j] + 1 > dp[i]：dp[i] = dp[j] + 1，cnt[i] = cnt[j]

  • 若 dp[j] + 1 == dp[i]：cnt[i] += cnt[j]

最后统计所有 dp[i] == L 的 cnt[i] 之和。

参考代码

c

#include <stdio.h>

int main(void) {
    int n;
    scanf("%d", &n);

    int nums[2005];
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &nums[i]);

    int dp[2005];
    long long cnt[2005]; // 个数可能较大，用 long long

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i] = 1;
        cnt[i] = 1;
    }

    int maxLen = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
                    dp[i] = dp[j] + 1;
                    cnt[i] = cnt[j];
                } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
                    cnt[i] += cnt[j];
                }
            }
        }
        if (dp[i] > maxLen) maxLen = dp[i];
    }

    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (dp[i] == maxLen) ans += cnt[i];
    }

    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}