高级算法分析与设计 | 常见 NP-Complete 问题总结

目录

• [一、NP 完备问题概述](#一、NP 完备问题概述)
• [二、打包问题（Packing Problems）](#二、打包问题（Packing Problems）)
  • [1. SET-PACKING（集合打包问题）](#1. SET-PACKING（集合打包问题）)
  • [2. INDEPENDENT-SET（独立集问题）](#2. INDEPENDENT-SET（独立集问题）)
• [三、覆盖问题（Covering Problems）](#三、覆盖问题（Covering Problems）)
  • [3. SET-COVER（集合覆盖问题）](#3. SET-COVER（集合覆盖问题）)
  • [4. VERTEX-COVER（顶点覆盖问题）](#4. VERTEX-COVER（顶点覆盖问题）)
• [四、约束满足问题（Constraint Satisfaction Problems）](#四、约束满足问题（Constraint Satisfaction Problems）)
  • [5. SAT（布尔可满足性问题）](#5. SAT（布尔可满足性问题）)
  • [6. 3-SAT（三可满足性问题）](#6. 3-SAT（三可满足性问题）)
• [五、排序与路径问题（Sequencing Problems）](#五、排序与路径问题（Sequencing Problems）)
  • [7. HAMILTONIAN-CYCLE（哈密顿回路问题）](#7. HAMILTONIAN-CYCLE（哈密顿回路问题）)
  • [8. TSP（旅行商问题）](#8. TSP（旅行商问题）)
• [六、划分问题（Partitioning Problems）](#六、划分问题（Partitioning Problems）)
  • [9. 3D-MATCHING（三维匹配问题）](#9. 3D-MATCHING（三维匹配问题）)
  • [10. 3-COLOR（三着色问题）](#10. 3-COLOR（三着色问题）)
• [七、数值问题（Numerical Problems）](#七、数值问题（Numerical Problems）)
  • [11. SUBSET-SUM（子集和问题）](#11. SUBSET-SUM（子集和问题）)
  • [12. KNAPSACK（背包问题）](#12. KNAPSACK（背包问题）)
• [八、12 个经典 NP 完备问题速记表](#八、12 个经典 NP 完备问题速记表)
• 九、三个值得了解的复杂性问题
• 十、考试重点总结
• 总结

常见 NP-Complete 问题总结

一、NP 完备问题概述

NP 完备问题（NP-Complete Problem，简称 NPC）是计算复杂性理论中的一类重要问题。

一个判定问题是 NP 完备问题，需要满足两个条件：

1. 属于 NP 类：给定一个候选解，能够在多项式时间内验证其正确性。
2. 属于 NP-Hard 类：所有 NP 问题都可以在多项式时间内归约到该问题。

即：

NP-Complete = NP ∩ NP-Hard \boxed{\text{NP-Complete}=\text{NP}\cap\text{NP-Hard}} NP-Complete=NP∩NP-Hard

注意：NP 完备问题讨论的是判定版本，即判断是否存在满足条件的解，答案通常为 YES 或 NO。

例如：

• 优化问题：寻找一条总距离最短的旅行路线。
• 判定问题：是否存在一条总距离不超过 K K K 的旅行路线？

下面介绍 6 大类、12 个经典 NP 完备问题。

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二、打包问题（Packing Problems）

核心思想：选择若干彼此不冲突的对象。

1. SET-PACKING（集合打包问题）

问题定义

给定一个集合族：

S = { S 1 , S 2 , ... , S n } \mathcal{S}=\{S_1,S_2,\ldots,S_n\} S={S1,S2,...,Sn}

以及正整数 k k k。

问：能否从中选出至少 k k k 个集合，使这些集合两两不相交？

即对于任意两个选中的不同集合：

S i ∩ S j = ∅ S_i\cap S_j=\varnothing Si∩Sj=∅

举例

已知：

S 1 = { 1 , 2 } , S 2 = { 3 , 4 } , S 3 = { 2 , 5 } S_1=\{1,2\},\quad S_2=\{3,4\},\quad S_3=\{2,5\} S1={1,2},S2={3,4},S3={2,5}

要求选出 k = 2 k=2 k=2 个互不相交的集合。

可以选择：

S 1 = { 1 , 2 } , S 2 = { 3 , 4 } S_1=\{1,2\},\quad S_2=\{3,4\} S1={1,2},S2={3,4}

由于：

S 1 ∩ S 2 = ∅ S_1\cap S_2=\varnothing S1∩S2=∅

所以答案为 YES。

记忆：选集合，选中的集合之间不能有公共元素。

2. INDEPENDENT-SET（独立集问题）

问题定义

给定无向图：

G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)

以及正整数 k k k。

问：能否选出至少 k k k 个顶点，使任意两个被选中的顶点之间都没有边？

即寻找顶点集合 S ⊆ V S\subseteq V S⊆V，满足：

∣ S ∣ ≥ k |S|\geq k ∣S∣≥k

并且：

∀ u , v ∈ S , u ≠ v ⇒ ( u , v ) ∉ E \forall u,v\in S,\ u\neq v\Rightarrow (u,v)\notin E ∀u,v∈S, u=v⇒(u,v)∈/E

举例

假设图中存在边：

E = { ( A , B ) , ( B , C ) } E=\{(A,B),(B,C)\} E={(A,B),(B,C)}

可以选择顶点 A A A 和 C C C。

因为 A A A 与 C C C 之间没有边，所以：

S = { A , C } S=\{A,C\} S={A,C}

是一个大小为 2 的独立集。

记忆：选顶点，选中的顶点之间不能有边。

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三、覆盖问题（Covering Problems）

核心思想：选择有限数量的对象，覆盖所有目标。

3. SET-COVER（集合覆盖问题）

问题定义

给定全集：

U = { u 1 , u 2 , ... , u m } U=\{u_1,u_2,\ldots,u_m\} U={u1,u2,...,um}

以及若干子集：

S = { S 1 , S 2 , ... , S n } \mathcal{S}=\{S_1,S_2,\ldots,S_n\} S={S1,S2,...,Sn}

和正整数 k k k。

问：能否选择至多 k k k 个子集，使它们的并集等于全集 U U U？

即：

⋃ S i ∈ C S i = U , ∣ C ∣ ≤ k \bigcup_{S_i\in C}S_i=U,\qquad |C|\leq k Si∈C⋃Si=U,∣C∣≤k

其中 C C C 表示选中的子集集合。

举例

已知：

U = { 1 , 2 , 3 , 4 } U=\{1,2,3,4\} U={1,2,3,4}

S 1 = { 1 , 2 } , S 2 = { 3 , 4 } , S 3 = { 2 , 3 } S_1=\{1,2\},\quad S_2=\{3,4\},\quad S_3=\{2,3\} S1={1,2},S2={3,4},S3={2,3}

要求至多选择 k = 2 k=2 k=2 个集合覆盖全集。

选择：

S 1 ∪ S 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 } = U S_1\cup S_2=\{1,2,3,4\}=U S1∪S2={1,2,3,4}=U

因此答案为 YES。

记忆：选集合，用尽量少的集合覆盖所有元素。

4. VERTEX-COVER（顶点覆盖问题）

问题定义

给定无向图：

G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)

以及正整数 k k k。

问：能否选出至多 k k k 个顶点，使图中的每条边至少有一个端点被选中？

即寻找 S ⊆ V S\subseteq V S⊆V，满足：

∣ S ∣ ≤ k |S|\leq k ∣S∣≤k

并且：

∀ ( u , v ) ∈ E , u ∈ S ∨ v ∈ S \forall (u,v)\in E,\quad u\in S\lor v\in S ∀(u,v)∈E,u∈S∨v∈S

举例

假设图为：

A ----- B ----- C

选择中间顶点 B B B，即可同时覆盖：

( A , B ) , ( B , C ) (A,B),\quad (B,C) (A,B),(B,C)

因此，存在大小为 1 的顶点覆盖。

记忆：选顶点，保证每条边至少有一个端点被选中。

INDEPENDENT-SET 与 VERTEX-COVER 的区别

问题	选择对象	要求
INDEPENDENT-SET	顶点	选中的顶点之间没有边
VERTEX-COVER	顶点	每条边至少有一个端点被选中

两者有一个重要关系：

S 是独立集    ⟺    V ∖ S 是顶点覆盖 S\text{ 是独立集}\iff V\setminus S\text{ 是顶点覆盖} S 是独立集⟺V∖S 是顶点覆盖

因此：

α ( G ) + τ ( G ) = ∣ V ∣ \alpha(G)+\tau(G)=|V| α(G)+τ(G)=∣V∣

其中：

• α ( G ) \alpha(G) α(G)：最大独立集大小。
• τ ( G ) \tau(G) τ(G)：最小顶点覆盖大小。

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四、约束满足问题（Constraint Satisfaction Problems）

核心思想：判断是否存在一种变量赋值，使全部逻辑约束同时成立。

5. SAT（布尔可满足性问题）

SAT 的英文全称是 Boolean Satisfiability Problem。

问题定义

给定一个布尔逻辑公式：

F ( x 1 , x 2 , ... , x n ) F(x_1,x_2,\ldots,x_n) F(x1,x2,...,xn)

问：是否存在一组 True/False 赋值，使整个公式为 True？

常见逻辑符号：

符号	含义
∧ \land ∧	AND，逻辑与
∨ \lor ∨	OR，逻辑或
¬ \neg ¬	NOT，逻辑非

举例

给定：

F = ( x 1 ∨ x 2 ) ∧ ( ¬ x 1 ∨ x 3 ) F=(x_1\lor x_2)\land(\neg x_1\lor x_3) F=(x1∨x2)∧(¬x1∨x3)

如果令：

x 1 = True , x 3 = True x_1=\text{True},\qquad x_3=\text{True} x1=True,x3=True

那么两个括号都为 True，整个公式也为 True。

所以答案为 YES。

记忆：给布尔变量赋真假，使整个逻辑公式成立。

SAT 是第一个被证明为 NP-Complete 的问题，相关结果称为 Cook-Levin 定理。

6. 3-SAT（三可满足性问题）

问题定义

3-SAT 是 SAT 的一种特殊形式。

给定一个合取范式（CNF），每个子句恰好包含 3 个文字。

问：是否存在一组布尔变量赋值，使整个公式为 True？

其中：

• 子句内部使用 OR。
• 子句之间使用 AND。
• 每个子句有 3 个文字。
• 文字可以是变量，也可以是变量的否定。

举例

F = ( x 1 ∨ x 2 ∨ x 3 ) ∧ ( ¬ x 1 ∨ x 2 ∨ ¬ x 3 ) F=(x_1\lor x_2\lor x_3) \land (\neg x_1\lor x_2\lor\neg x_3) F=(x1∨x2∨x3)∧(¬x1∨x2∨¬x3)

每个括号中有 3 个文字。

如果令：

x 2 = True x_2=\text{True} x2=True

则两个子句都成立，因此整个公式成立。

记忆：3-SAT 就是每个子句恰好有 3 个文字的 SAT。

SAT 与 3-SAT 的区别

问题	核心要求
SAT	一般布尔公式是否可满足
3-SAT	每个子句恰好包含 3 个文字的 CNF 是否可满足

注意：这里说的 3-SAT 是经典的 NP-Complete 版本，不要与限制更强的特殊变体混淆。

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五、排序与路径问题（Sequencing Problems）

核心思想：寻找满足要求的顶点访问顺序或路径。

7. HAMILTONIAN-CYCLE（哈密顿回路问题）

问题定义

给定图：

G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)

问：是否存在一个回路，经过图中每个顶点恰好一次，并最终回到起点？

举例

假设存在：

A → B → C → D → A A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow A A→B→C→D→A

如果这条回路经过全部顶点，而且除起点与终点重合外，没有重复顶点，那么它就是哈密顿回路。

两种常见版本

有向哈密顿回路：DIR-HAM-CYCLE

必须沿着有向边的方向行走。

无向哈密顿回路：HAM-CYCLE

图中的边没有方向。

两者都是 NP-Complete 问题，并且存在多项式时间归约：

DIR-HAM-CYCLE ≤ p HAM-CYCLE \text{DIR-HAM-CYCLE}\leq_p\text{HAM-CYCLE} DIR-HAM-CYCLE≤pHAM-CYCLE

记忆：每个顶点恰好经过一次，最后返回起点。

8. TSP（旅行商问题）

TSP 的英文全称是 Travelling Salesperson Problem。

问题定义

给定若干城市、城市之间的距离，以及一个距离上限 K K K。

问：是否存在一条路线，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市，并使总距离不超过 K K K？

设路线为：

v 1 , v 2 , ... , v n , v 1 v_1,v_2,\ldots,v_n,v_1 v1,v2,...,vn,v1

要求：

∑ i = 1 n − 1 d ( v i , v i + 1 ) + d ( v n , v 1 ) ≤ K \sum_{i=1}^{n-1}d(v_i,v_{i+1})+d(v_n,v_1)\leq K i=1∑n−1d(vi,vi+1)+d(vn,v1)≤K

举例

假设：

d ( A , B ) = 3 d(A,B)=3 d(A,B)=3

d ( B , C ) = 4 d(B,C)=4 d(B,C)=4

d ( C , A ) = 5 d(C,A)=5 d(C,A)=5

选择路线：

A → B → C → A A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A A→B→C→A

总距离为：

3 + 4 + 5 = 12 3+4+5=12 3+4+5=12

如果：

K = 15 K=15 K=15

则答案为 YES。

记忆：访问所有城市并返回，总路程不能超过指定值。

HAMILTONIAN-CYCLE 与 TSP 的区别

问题	要求
HAMILTONIAN-CYCLE	是否存在经过全部顶点的回路
TSP	是否存在经过全部城市且总费用不超过 K K K 的回路

注意：TSP 的判定版本是 NP-Complete 问题，而寻找最短路线的优化版本是 NP-Hard 问题。

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六、划分问题（Partitioning Problems）

核心思想：将对象划分或分配到不同组中，使其满足特定约束。

9. 3D-MATCHING（三维匹配问题）

3D-MATCHING 的英文全称是 Three-Dimensional Matching。

问题定义

给定三个两两不相交、大小相等的集合：

X , Y , Z X,\quad Y,\quad Z X,Y,Z

以及允许选择的三元组集合：

T ⊆ X × Y × Z T\subseteq X\times Y\times Z T⊆X×Y×Z

问：能否从 T T T 中选出若干三元组，使每个元素恰好出现一次？

也就是说：

• 每个三元组分别从 X , Y , Z X,Y,Z X,Y,Z 中取一个元素。
• 不同三元组不能共享元素。
• 三个集合中的所有元素都恰好使用一次。

举例

X = { x 1 , x 2 } X=\{x_1,x_2\} X={x1,x2}

Y = { y 1 , y 2 } Y=\{y_1,y_2\} Y={y1,y2}

Z = { z 1 , z 2 } Z=\{z_1,z_2\} Z={z1,z2}

假设允许的三元组包括：

( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1,y1,z1)

( x 2 , y 2 , z 2 ) (x_2,y_2,z_2) (x2,y2,z2)

选择这两个三元组后，每个元素都恰好出现一次。

因此答案为 YES。

记忆：三个集合，每次各取一个元素组成三元组，要求所有元素恰好匹配一次。

10. 3-COLOR（三着色问题）

问题定义

给定无向图：

G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)

问：能否使用最多 3 种颜色给所有顶点着色，使每条边连接的两个顶点颜色不同？

即构造着色函数：

c : V → { 1 , 2 , 3 } c:V\rightarrow\{1,2,3\} c:V→{1,2,3}

满足：

∀ ( u , v ) ∈ E , c ( u ) ≠ c ( v ) \forall (u,v)\in E,\quad c(u)\neq c(v) ∀(u,v)∈E,c(u)=c(v)

举例

假设图是一个三角形：

      A（红）
     / \
    /   \
B（蓝）-- C（绿）

三个顶点两两相邻，因此需要使用 3 种不同颜色。

所以该图可以进行三着色。

记忆：最多使用 3 种颜色，相邻顶点不能同色。

注意：最多用 3 种颜色，而不是要求每种颜色都必须使用。

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七、数值问题（Numerical Problems）

核心思想：从数字或物品中进行选择，满足给定的数值约束。

11. SUBSET-SUM（子集和问题）

问题定义

给定一组整数：

S = { a 1 , a 2 , ... , a n } S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\} S={a1,a2,...,an}

以及目标值 T T T。

问：是否存在一个子集，使其中所有元素之和恰好等于 T T T？

即是否存在：

x i ∈ { 0 , 1 } x_i\in\{0,1\} xi∈{0,1}

使得：

∑ i = 1 n a i x i = T \sum_{i=1}^{n}a_ix_i=T i=1∑naixi=T

其中：

• x i = 1 x_i=1 xi=1：选择第 i i i 个数字。
• x i = 0 x_i=0 xi=0：不选择第 i i i 个数字。

举例

S = { 2 , 3 , 7 , 8 } S=\{2,3,7,8\} S={2,3,7,8}

目标值：

T = 10 T=10 T=10

选择：

2 + 8 = 10 2+8=10 2+8=10

因此答案为 YES。

记忆：选择若干数字，使它们的和恰好等于目标值。

12. KNAPSACK（背包问题）

这里讨论经典的 0-1 背包判定问题。

问题定义

给定 n n n 件物品，每件物品具有：

• 重量 w i w_i wi。
• 价值 v i v_i vi。

另外给定：

• 背包容量 W W W。
• 目标价值 K K K。

问：是否存在一种物品选择方案，使总重量不超过 W W W，同时总价值至少达到 K K K？

数学表达为：

∑ i = 1 n w i x i ≤ W \sum_{i=1}^{n}w_ix_i\leq W i=1∑nwixi≤W

∑ i = 1 n v i x i ≥ K \sum_{i=1}^{n}v_ix_i\geq K i=1∑nvixi≥K

其中：

x i ∈ { 0 , 1 } x_i\in\{0,1\} xi∈{0,1}

举例

物品	重量	价值
A	2	5
B	3	6
C	4	8

假设：

W = 5 , K = 10 W=5,\quad K=10 W=5,K=10

选择 A 和 B：

总重量 = 2 + 3 = 5 \text{总重量}=2+3=5 总重量=2+3=5

总价值 = 5 + 6 = 11 \text{总价值}=5+6=11 总价值=5+6=11

满足：

5 ≤ W , 11 ≥ K 5\leq W,\qquad 11\geq K 5≤W,11≥K

因此答案为 YES。

记忆：背包重量不能超限，物品总价值必须达到目标。

SUBSET-SUM 与 KNAPSACK 的区别

问题	核心要求
SUBSET-SUM	数字之和恰好等于目标值
KNAPSACK	总重量不超过上限，总价值至少达到目标

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八、12 个经典 NP 完备问题速记表

类别	英文名称	中文名称	一句话记忆
打包	SET-PACKING	集合打包	选至少 k k k 个两两不相交的集合
打包	INDEPENDENT-SET	独立集	选至少 k k k 个互不相邻的顶点
覆盖	SET-COVER	集合覆盖	用至多 k k k 个集合覆盖全集
覆盖	VERTEX-COVER	顶点覆盖	用至多 k k k 个顶点覆盖所有边
约束满足	SAT	布尔可满足性	给变量赋真假，使公式成立
约束满足	3-SAT	三可满足性	每个子句有 3 个文字的 SAT
排序与路径	HAMILTONIAN-CYCLE	哈密顿回路	经过全部顶点恰好一次并返回
排序与路径	TSP	旅行商问题	访问所有城市，总路程不超过 K K K
划分	3D-MATCHING	三维匹配	选择互不冲突的三元组覆盖所有元素
划分	3-COLOR	三着色	最多 3 种颜色，相邻顶点不同色
数值	SUBSET-SUM	子集和	选择若干数字，和恰好等于 T T T
数值	KNAPSACK	背包问题	重量不超限，价值达到目标

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九、三个值得了解的复杂性问题

1. Factoring（整数因式分解）

给定一个整数，研究如何寻找它的非平凡因子。

例如：

15 = 3 × 5 15=3\times5 15=3×5

需要注意：整数因式分解的搜索问题与其判定版本应当区分，不应直接称为 NP 完备问题。

2. Graph Isomorphism（图同构）

给定两个图：

G 1 , G 2 G_1,\quad G_2 G1,G2

判断它们是否具有相同的结构。

即：能否通过重新编号顶点，使两个图的顶点连接关系完全一致？

图同构问题属于 NP，但目前尚未证明它属于 P 或 NP 完备。

3. Nash Equilibrium（纳什均衡）

纳什均衡是博弈论中的重要概念。

如果在某种策略组合下，任何参与者都无法通过单方面改变自己的策略获得更高收益，那么该策略组合就是纳什均衡。

一般有限博弈中的纳什均衡计算属于 PPAD 相关的复杂性研究，与标准 NP 完备判定问题不同。

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十、考试重点总结

1. 必须记住的三组易混淆问题

第一组：SET-PACKING 与 SET-COVER

• SET-PACKING：选出的集合不能重叠。
• SET-COVER：选出的集合必须覆盖全集。

第二组：INDEPENDENT-SET 与 VERTEX-COVER

• INDEPENDENT-SET：选中的顶点之间不能有边。
• VERTEX-COVER：每条边至少有一个端点被选中。

第三组：SUBSET-SUM 与 KNAPSACK

• SUBSET-SUM：选中数字之和必须恰好等于目标。
• KNAPSACK：重量不超过容量，价值至少达到目标。

2. NP 完备问题中的常见关键词

关键词	常见对应问题
两两不相交的集合	SET-PACKING
顶点互不相邻	INDEPENDENT-SET
覆盖所有元素	SET-COVER
每条边至少一个端点被选中	VERTEX-COVER
布尔公式可满足	SAT
每个子句有 3 个文字	3-SAT
每个顶点访问一次并返回	HAMILTONIAN-CYCLE
最短旅行路线或费用限制	TSP
三元组、不重复匹配	3D-MATCHING
相邻顶点颜色不同	3-COLOR
数字之和恰好等于目标值	SUBSET-SUM
重量限制、价值要求	KNAPSACK

3. NP 完备性证明的基本步骤

如果要证明一个新问题 B B B 是 NP 完备的，通常需要：

第一步：证明 B ∈ N P B\in NP B∈NP。

说明给定一个候选解，可以在多项式时间内验证。

第二步：选择一个已知的 NP 完备问题 A A A。

第三步：构造多项式时间归约。

A ≤ p B A\leq_p B A≤pB

证明：

x ∈ A    ⟺    f ( x ) ∈ B x\in A\iff f(x)\in B x∈A⟺f(x)∈B

其中 f f f 可以在多项式时间内计算。

这样就证明了 B B B 是 NP-Hard。

结合第一步，即可得到：

B 是 NP-Complete \boxed{B\text{ 是 NP-Complete}} B 是 NP-Complete

特别注意归约方向：要证明 B B B 是 NP 完备的，应当从一个已知 NP 完备问题 A A A 归约到 B B B，而不是反过来。

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总结

六大类 NP 完备问题分别是：

1. Packing（打包）：选择互不冲突的对象。
2. Covering（覆盖）：用有限对象覆盖全部目标。
3. Constraint Satisfaction（约束满足）：寻找满足全部约束的变量赋值。
4. Sequencing（排序与路径）：寻找满足条件的访问顺序。
5. Partitioning（划分）：对对象进行合理分组或分配。
6. Numerical（数值）：选择数字或物品满足数值要求。

复习时应重点理解每个问题的：

• 输入是什么？
• 需要判断什么？
• 满足条件的解具有什么性质？