前置符号说明
∈ ：属于，代表变量在某个区间里面
例：x∈1,2 意思：x在1到2之间，包含1和2
a , b ：闭区间，包含两端数字 a ≤ x ≤ b
( a , b )：开区间，不包含两端数字 a < x < b
∀：任意，所有
∃：存在
⇒：推出，可以得到结论
max{ }：在大括号里面挑选最大值
f⁻¹(x)：反函数标记！不是1/f(x)
高数第一章 函数（纯文本版，蓝本：你的手写笔记）
一、核心概念（背诵用）
1. 函数的有界性
前提：有界性必须指定区间讨论，区间一变，有界性结论会改变。(依赖性)
定义：设 y=f(x)，如果存在常数K₁、K₂，对区间内任意x，满足
K₁ ≤ f(x) ≤ K₂
就称函数在这个区间上有界。
- 上界：大于或等于函数所有取值；上确界：最小的那个上界（min）
- 下界：小于或等于函数所有取值；下确界：最大的那个下界(max)
等价写法：取 M = max{|K₁|,|K₂|}，写成 -M ≤ f(x) ≤ M（取绝对值最大那个）
✅正例：y=sinx，对全体实数x，-1 ≤ sinx ≤ 1，在全体实数上有界
❌反例：y=lnx，x>0的时候，函数无界；但限定x∈1,2，在这个区间上有界。
⚠️易错坑：函数有界，不代表一定能取到上界、下界。
例子：y=x，x在开区间(0,1)，函数有界，但是没有最大值、最小值。
2. 奇偶性
判定两个必要条件：
- 定义域必须关于原点对称（先决条件！不满足直接非奇非偶）
- 代入检验：
- 偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称
- 奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称
✅正例：f(x)=x² 是偶函数；f(x)=x³ 是奇函数
❌反例：f(x)=x+1，定义域是全体实数（对称），但是f(-x)不等于f(x)，也不等于-f(x)，属于非奇非偶。
⚠️易错坑：不要跳过定义域，直接代入式子判断奇偶。
3. 周期性
定义：存在正数常数T，对定义域里任意x，满足x+T也在定义域内，并且
f(x+T)=f(x)
T叫做函数的一个周期；最小的正数T，叫最小正周期
三角函数 y=A sin(ωx+φ)，最小正周期 T=2π/|ω|
✅正例：sinx，周期是2π
❌反例：y=x，找不到任何正数T满足f(x+T)=f(x)，不是周期函数。
⚠️易错坑：周期函数定义域不能是有限区间；加绝对值会改变周期。
4. 反函数
y=f(x) 和 x=f⁻¹(y) 互为反函数。
- 习惯写法：写成 y=f⁻¹(x)，先化成x=...的形式，然后把x和y相互转化
- 核心规则：原函数的值域 = 反函数定义域；原函数定义域 = 反函数值域
✅正例：y=2x+1 的反函数 y=(x-1)/2
注意定义域的变化
⚠️易错坑：不是所有函数都有反函数；单调函数才有反函数。
f⁻¹(x) 只是反函数记号，不是1/f(x)！
5. 复合函数
y=fg(x)：把内层g(x)整体当成一个变量，代入外层函数f(方框)。
复合之后，新定义域要同时满足：内层式子有意义，并且内层函数的值，落在外层函数定义域里面。
✅正例：f(u)=lnu，u=g(x)=x−1，复合得到 y=ln(x−1)
❌反例：f(u)=lnu，u=−x²，u永远≤0，不在lnu的定义域，无法复合。
⚠️易错坑：复合函数自变量永远是x，不是中间变量u。
二、题型（刷题用｜步骤+例题+坑点）
题型1：求函数定义域（⭐高频基础）
基础规则：
- 分式：分母不能等于0
- 二次根号√u：u ≥ 0
- 对数lnu：u > 0
- arcsinu、arccosu：u 在-1,1之间
拓展子题型：已知f(x)定义域，求f(x²)、f(x²−1)定义域
解题思路：
已知 f(x) 的定义域：x∈D，求f(方框)，要求方框整体∈D，解x的范围。
例题：f(x)定义域x∈0,2，求f(x²)定义域
解：0 ≤ x² ≤ 2，推出 -√2 ≤ x ≤ √2
⚠️易错坑：是方框整体放进D，不是x直接代入D。（整体思想）
题型2：求反函数
步骤：
- 原式 y=f(x)，变形，用y表达x
- x,y互换，写出反函数
- 标注反函数定义域（就是原函数的值域）
例题：求 y=3x−1 的反函数
解：
y+1=3x ⇒ x=(y+1)/3
互换x,y：y=(x+1)/3，定义域：全体实数
它难在把对数，指数那些混在一起，主要是化简问题
题型3：复合函数（⭐⭐⭐难点，三类考点）
核心：方框替换，整体代入
注意分段函数，坑在分段函数的定义域
考点①：复合函数拆分（选择题）
目标：拆成基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角），由外向内拆。
例题：y=e^( sin(1/x) )
四层拆分：
y=e^u
u=sinv
v=1/x
这4个都是，y ,u,v这些都算复合函数
考点②：已知f(x)，求fg(x)【代入计算】
步骤：
- 外层f(方框)，把所有x替换成内层g(x)
- 化简表达式
- 求复合后的定义域
例题：已知f(x)=x²+2，求f(2x−1)
解：
f(方框)=方框²+2
f(2x−1)=(2x−1)²+2=4x²−4x+3
考点③：已知复合fg(x)，反求f(x)（期末大题）
方法：换元法
- 令 u=g(x)，用u反过来求到x的表达式
- 用u改写原式，得到f(u)
- 字母u换成x
例题：已知f(2x+1)=4x²+4x+3，求f(x)
解：
令 u=2x+1，推出 x=(u−1)/2
f(u)=4*(u-1)/2^2 + 4*(u-1)/2 +3
化简：
f(u)=(u-1)² +2(u-1)+3 = u²+2
f(x)=x²+2
知分段函数
f(t) = { t , t≥0
{ -t , t<0
求复合函数 f(x−1)
说明：f(t) 就是绝对值函数 f(t)=|t|（这里是关键）
解题核心：分段函数复合必须分类讨论，判断内层整体落在外层哪一段，不是直接看x。
解：
外层函数按 t 的范围分段，这里 t = x−1
1、当 x−1 ≥ 0，也就是 x ≥ 1
f(x−1) = x−1
2、当 x−1 ＜ 0，也就是 x ＜ 1
f(x−1) = -(x−1) = -x+1
最终：
f(x−1) = { x−1 , x≥1
{ -x+1 , x＜1
⚠️易错坑
错误做法：直接拿x判断正负
正确做法：判断内层整体（x−1）落在外层函数的区间，分段计算。
⚠️易错坑：分段函数复合，必须分段讨论，是考试高频难题。
题型4：判断函数奇偶性
步骤：
- 第一步：检查定义域是否关于原点对称，不对称直接非奇非偶
- 写出f(-x)
- 和f(x)对比：
f(-x)=f(x) →偶函数；f(-x)=-f(x) →奇函数
辅助手段：画图观察图像对称性。
题型5：周期函数、带绝对值函数
- 三角函数：先用三角恒等式化简，再求周期
半角公式：
sinx = 2·sin(x/2)·cos(x/2)
cosx = 2cos²(x/2)−1 = 1−2sin²(x/2) = cos²(x/2)−sin²(x/2) - 带绝对值函数：优先画图，分段去掉绝对值再分析性质
题型6：判断函数有界性
核心：看区间！
- 闭区间上连续函数一定有界；开区间、无穷区间容易无界
例题：y=1/x，区间(0,1)无界；区间0.1,1有界。
📒 本章高频易错汇总（考前快速翻看）
- 奇偶性判断，定义域对称是前提，不能直接算f(-x)
- 有界性不能脱离区间单独讨论函数
- 复合函数求定义域，自变量是x，不是中间变量u
- 单调是存在反函数的必要条件
- 周期函数加绝对值，周期可能减半（例 |sinx| 周期是π）
✨复习标记
⭐基础：定义域、有界性
⭐⭐常考：奇偶性、周期性、反函数
⭐⭐⭐难点：复合函数（反求f(x)、分段复合）