图论及其应用_课堂笔记整理_CSDN博客

《图论及其应用》课堂笔记：从"握手"讲到"同构"，一次把图论入门讲透

下午这门《图论及其应用》，老师上来没急着讲算法，先抛了个特别接地气的问题：一群陌生人互相握手，握过奇数次手的人，会是奇数个吗？

答案是：永远不可能。这就是图论里最有名的"握手定理"。

我上课习惯随手记，一下午记了好几页，回来一看字迹自己都快认不出。索性整理成一篇博客，一来复习，二来分享给同样在啃图论的同学。尽量说人话，有理解偏的地方，欢迎评论区指正。

一、图，到底是个什么东西

先说清楚最基础的：图（Graph）不是什么坐标轴上的曲线，它由两部分组成------顶点（Vertex）和边（Edge）。

你可以把顶点想成"人"，边想成"两个人认识"。一个顶点、一条边，这就是全部家当。几个常用说法：

• 简单图：两点之间最多一条边，并且没有自己连自己的环
• 多重图：允许两点之间有好几条边（平行边），也允许自环
• 子图：从原图里挑一部分顶点和边出来，本身还能构成一个图
• n 阶图：数一数有几个顶点，几个顶点就几阶

判断一个图是不是"简单图"，就记住两条：不许有平行边，不许有自环。就这么简单。

二、度：一个顶点的"社交圈"有多大

一个顶点连着几条边，这个数就叫它的度（degree），记作 deg(v)。说白了就是"这个人认识多少人"。

有向图稍微复杂一点，边有了方向，于是度被拆成两半：

• 出度：从这个点出去的边数
• 入度：进到这个点的边数
• 三者关系：deg(v) = 出度 + 入度

注意一个小细节------自环（自己连自己的那条边）在数度的时候要算两次，因为它有两个端点都落在同一个顶点上。

握手定理：图论里的"基本法"

终于说到开头那个问题。握手定理说：

任意无向图中，所有顶点的度数之和，等于边数的两倍。即 Σdeg(v) = 2m。

道理其实特别朴素：每一条边都有两个端点，数度数的时候它给两边的顶点各贡献 1，所以每条边会"贡献 2 度"，m 条边就是 2m。

由它立刻推出一个漂亮结论：奇度顶点的个数一定是偶数。因为总度数 2m 是偶数，偶度点的度数和也是偶数，那剩下的奇度点度数和也只能是偶数------而只有偶数个奇数相加才是偶数。

回到握手问题：每个人握手几次就是他的度，总握手次数是偶数，所以"握了奇数次手的人"必然是偶数个。图论和生活的距离，有时候就这么近。

三、度序列：一串数字，能画成一个图吗

把图里所有顶点的度按从大到小排好，就得到一个度序列（degree sequence）。比如某个图的度序列是 (3,3,2,2,2,2)。

有意思的问题来了：随便给你一串非负整数，比如 (3,3,2,2,2,2)，它能不能对应一个真实的简单图？这叫可图化问题。

先过两道最基础的门槛：

1. 度数之和必须是偶数（握手定理直接管的）
2. 最大度数不能超过 n−1（n 个点，一个点最多只能连到其他 n−1 个点）

这两条不满足，直接出局。比如 (3,3,1) 和为 7，是奇数，免谈。

但光满足这两条还不够。真正好用的判定工具叫 Havel-Hakimi 定理，思路特别"暴力"：

把序列降序排好，拿出最大的那个数 d，把排在它后面的 d 个数各减 1，然后重新排序、重复操作。中途只要出现负数，就说明不可图化；如果最后全变成 0，说明可图化。

拿笔记里那个 (3,3,2,2,2,2) 走一遍：

• 取 3，后面 3 个数 3,2,2 各减 1 → 得到 (2,2,2,1,1)
• 取 2，后面 2 个数各减 1 → (1,1,1,1)
• 取 1 → (1,1,0)；再取 1 → (0,0)
• 全是 0，判定：可图化，而且度数总和 14，所以图里有 7 条边

换一个反例 (3,3,3,1)：

• 取 3，后面 3 个数 3,3,1 各减 1 → (2,2,0)
• 取 2，后面 2 个数 2,0 各减 1 → (1,−1) ← 出现负数
• 判定：不可图化

写成代码更直观，十几行就能跑：

def havel_hakimi(seq):
    seq = sorted(seq, reverse=True)
    while True:
        seq = [d for d in seq if d > 0]      # 去掉孤立点（度数为 0）
        if not seq:
            return True                       # 全消耗完 → 可图化
        d = seq.pop(0)                        # 取出当前最大度
        if d > len(seq):                      # 想连的人比剩下的人还多
            return False
        for i in range(d):
            seq[i] -= 1
            if seq[i] < 0:                    # 出现负数 → 不可图化
                return False
        seq.sort(reverse=True)                # 重新排序，继续下一轮

print(havel_hakimi([3, 3, 2, 2, 2, 2]))   # True，7 条边
print(havel_hakimi([3, 3, 3, 1]))         # False

顺便记一句：度序列相同，不代表两个图同构。它是图的不变量（必要线索），但不是身份证。

四、图的运算：删、缩、并、交、乘

这节课花了不小篇幅讲图的运算，我做个小归纳：

• 删除顶点 G − v：把这个点以及它身上的边一起去掉
• 删除边 G − e：只去掉一条边，顶点都留着
• 边的收缩 G·e：把一条边的两个端点合并成一个点，边"缩"进点里
• 并 G ∪ H：两张图合在一起
• 交 G ∩ H：取公共的顶点和边
• 笛卡尔积 G □ H：顶点集是两图顶点集的笛卡尔积，比较"抽象"，但例子很直观

笛卡尔积值得单说。笔记里记了这么一句：Q3 = Q2 × K2。

• Q2 就是一个正方形（4 个点、4 条边）
• K2 就是一条线段（2 个点、1 条边）
• 把正方形和线段"乘"一下，就得到 Q3------立方体图，8 个点、12 条边，每个顶点度数都是 3

这个"低维图乘一条边得到高一维图"的规律很漂亮，往下推，Q4、Q5 也就顺理成章了。

五、通路与回路：怎么从 A 走到 B

一个顶点接着一条边地往下走，就走出了通路（walk）。其中起点和终点是特别标注的，比如 v₀ 是起点，vₙ 是终点。

如果走得"讲究"一点，就有了更严格的说法：

• 简单通路：走过的边不重复
• 简单回路（圈）：起点和终点是同一个点，且边不重复的闭合通路

判断连通性也靠这个：两点之间有通路，就叫连通；整张图里任意两点都连通，叫连通图。

六、常见图族：几张"明星图"混个脸熟

图论里有些图出场率极高，值得记住长相和参数。

• 完全图 Kₙ：任意两点都相连。n 个点的完全图，边数是 n(n−1)/2（每个点度都是 n−1，套一下握手定理就能推出来）
• 二部图 ：顶点能分成两拨，同一拨内部互不相连。如果两拨之间"全连上"，就是完全二部图 Kₘ,ₙ
• k-正则图：每个顶点的度都等于 k。比如 Q3 是 3-正则
• 轮图：一个中心点，外加一圈外环，形似车轮
• 彼得森图（Petersen graph）：图论界的"反例之王"，必须单独说两句

彼得森图有 10 个点、15 条边，每个点的度都是 3（3-正则）。它最出名的地方在于------

• 它不是平面图，你没法把它画在纸上让所有边都不相交
• 它没有哈密顿回路（走遍所有点再回到起点的那种圈），但又确实有 240 条不同的哈密顿路径
• 它的围长是 5，直径是 2
• 它是很多图论猜想的"最小反例"

所以图论定理里一旦出现"是否存在反例"，十有八九会请彼得森图出场。记住它，等于记住了一把万能反例钥匙。

七、图同构：换了马甲，我也认得你

两幅图画得完全不一样，就一定不是同一个图吗？不一定。

如果两个图之间存在一个一一对应（双射）的顶点映射 f，使得在原图里两点相连，当且仅当 在另一个图里对应的两个点也相连，那这两个图就是同构的。

说人话：形状可以随便画，只要"谁跟谁连着"这个关系一致，它们就是同一个图。就好比同一个人换了件衣服、换了个姿势拍照，你还是认得出他。

判定同构，先比这几个图不变量（同构必然相同，不同就不用比了）：

• 顶点数
• 边数
• 度序列
• 更细一点：各个度的顶点数量、最长 / 最短圈等

不过要注意，这些条件都只是"必要条件"------都相同也可能不同构 ，最终往往还得真的去找那个对应关系。另外有个很省事的定理：G 与 H 同构，当且仅当它们的补图也同构。

八、子图、补图、导出子图

最后补齐几个容易混的概念：

• 子图：顶点集和边集都是原图的子集
• 导出子图：选一部分顶点，把这些顶点之间原图里所有的边都带上，就叫点导出子图
• 补图（complement）：在同样的顶点上，把原本没连的边全连上、原本连的边全去掉，得到的图就是原图的补图

补图有个很优雅的例子：C₅（五边形）的补图，还是 C₅ 自己------这叫自补图。而彼得森图的补图是个 6-正则图，也挺漂亮。

九、图论能干嘛：别以为是纯数学

一节课听下来，图论基础概念确实有点"抽象"，但它的应用场景其实非常实在：

• 社交网络：谁和谁认识、信息怎么传播，就是一张巨大的图
• 路径规划：地图导航、网络路由，本质是在图里找最短通路
• 任务调度：用二部图做人员与任务的匹配
• 网络鲁棒性：删掉哪些顶点 / 边会让网络断掉，看的就是连通性
• 化学分子、电路网络：分子结构、元器件连接，天然就是图

所以别小看"顶点"和"边"这两个词，它们撑起了后面一大半的算法课程。

十、小结：一张表带走今天的重点

概念	一句话理解	要记的关键点
度	顶点连了几条边	自环算 2 度；有向图 = 出度 + 入度
握手定理	度数之和 = 2×边数	奇度顶点个数必为偶数
度序列	度数排好的一串数	和为偶数、最大度 ≤ n−1 是前提
可图化	这串数能不能画成简单图	Havel-Hakimi：最大的数配后面的数，出现负数即失败
图的运算	删点、删边、收缩、并交、笛卡尔积	Q3 = Q2 × K2
通路/回路	一路走下来	简单通路：边不重复
常见图族	Kₙ、Kₘ,ₙ、正则图、轮图	彼得森图：10 点 15 边，3-正则，非平面非哈密顿
图同构	换马甲还是同一个人	比顶点数、边数、度序列，G≅H ⟺ 补图同构
补图/导出子图	反着连 / 全带着	C₅ 是自补图

一句话收尾：图论研究的不是"图画得好不好看"，而是"连接关系是什么"。顶点可以叫 v₁、v₂，也可以叫张三、李四，名字无所谓；真正重要的是谁连着谁。把这个想通了，后面的算法和网络分析，就有了落脚的地方。

说明：笔记有几处字写得很飞，个别地方我按上下文做了补全，若有出入欢迎指正。整理不易，觉得有用的话点个赞，我们下篇见。