C++算法学习篇5--二分查找法

C++算法刷题--二分查找法

摘要

这篇刷题日记整理二分查找法在 8 道 LeetCode 题目中的实际应用，涵盖从最基础的有序数组找值，到可重复数组找端点、旋转数组找最小值、山脉数组找峰值、缺失数定位等进阶场景。核心难度不在写二分本身，而在于为每道题建立正确的查找边界------即循环不变量与 mid 取值方向如何配合。每题附了解题思路，重点解释指针移动策略、特判条件及其原因。

二分查找法简介

二分查找的核心前提：序列具有有序性（或可证明的单调性）。每次根据中点值与目标的比较，将搜索区间折半，时间复杂度稳定在 O(log n)，空间 O(1)。

三个基本要素：

循环不变量 ：保证答案始终在 [left, right] 区间内，这是每次指针移动的依据
mid 的取值方向 ：
- 偏左：mid = left + (right - left) / 2（向下取整）
- 偏右：mid = left + (right - left + 1) / 2（向上取整）
- 两者在区间长度为 2 时行为不同，必须与指针移动方式配套使用，否则死循环
收敛条件 ：while(left < right) 收敛到单点 left == right；while(left <= right) 收敛到空区间 left > right

两类典型边界模板：

边界类型	含义	指针移动规则	mid 取值
最左边界	第一个 `>= target` 的位置	`nums[mid] >= target → right = mid`，否则 `left = mid + 1`	偏左
最右边界	最后一个 `<= target` 的位置	`nums[mid] > target → right = mid - 1`，否则 `left = mid`	偏右

关键易错点：

没有精确匹配元素时（LC35、LC69），找的是"插入位置"，循环终止后 [left, right] 的实际含义需结合具体不变量判断
山脉数组（LC852）：搜索区间取 [1, n-2] 是为了避免与 arr[0] 或 arr[n-1] 比较时越界，且两端不可能为峰顶
旋转数组（LC153）：以 nums[right] 为参照值，将"找旋转分界点"转化为普通的最左边界查找

力扣704.二分查找

题解：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) 
    {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]==target)
            return mid;
            else if(nums[mid]<target)
            left=mid+1;
            else right=mid-1;
        }
        if(nums[left]==target)
        return left;
        else return -1;
    }
}

题目解析及解题思路：

题目本质：在有序无重复数组中找 target 的下标。二分查找利用的就是有序性：中点值小于 target，说明 target 只可能在右半边；大于 target 则只可能在左半边，每次把区间砍一半，最终收敛。本题解的查找边界是"找值"型：mid 取偏左，找到就立即 return mid；找不到时用 left=mid+1 / right=mid-1 把中点排除掉；循环结束 left==right 收敛后，还需要补一次判断 nums $left$ ==target，成立返回 left，否则返回 -1------这个"收敛后再校验"的步骤是必要的，防止 target 恰好落在收敛点上被漏掉。时间复杂度 O(log n)，空间 O(1)。

力扣34在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题解：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) 
    {
        if(nums.size()==0)
        return {-1,-1};
        int begin=0;
        int end=0;
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right)//找左端点
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target)
            left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        if(nums[left]==target)
        begin=left;
        else return {-1,-1};
        right=nums.size()-1;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]>target)
            right=mid-1;
            else left=mid;
        }
        if(nums[right]==target)
        end=right;
        return {begin,end};
    }
};

题目解析及解题思路：

题目要求有序可重复数组中 target 的左右端点。核心思路是两次二分，各找一个查找边界。第一次找"第一个值不小于 target 的位置"（最左边界）：nums $mid$ <target 时 left=mid+1，nums $mid$ >=target 时 right=mid，区间收敛到左端点；收敛后若不相等于 target，说明数组里没有 target，直接返回 {-1,-1}。第二次从刚才的左端点出发，找"最后一个值不大于 target 的位置"（最右边界）：此时 mid 要取偏右（(right-left+1)/2），nums $mid$ >target 时 right=mid-1，否则 left=mid。易错点：左右边界要套两个不同的模板，找左端点时若把 mid 取偏右，区间长度为 2 时左右指针会互跳导致死循环。

力扣35搜索插入位置

题解：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) 
    {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]<=target)
            left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        if(nums[left]>=target)
        return left;
        else return left+1;
        
    }
};

题目解析及解题思路：

题目本质是"找数组中第一个值不小于 target 的位置"：该位置的值等于 target 就直接插在那，比 target 大就插在它左边一位。查找边界是"最左边界"：nums $mid$ <=target 时 left=mid（mid 本身可能就是边界，要保留在区间里），否则 right=mid-1，mid 需取偏右防止死循环。循环结束后 left 就是候选位置：若 nums $left$ >=target，说明是相等情况，返回 left；否则左边都比 target 小，返回 left+1。这个模式和 C++ STL 的 lower_bound 完全一致，凡是"看似二分、实际可能没有精确相等元素"的题都可以套这个边界。

力扣69.x的平方根

题解：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) 
    {
        
        if(x==0)
        return 0;

        if(x==1)
        return 1;
        int left=1,right=x;
        long long mid=0;
        while(left<right)
        {
            mid=left+(right-left+1)/2;
            if(mid*mid<=x)
            left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        if(mid*mid<=x)
        return mid;
        else return mid-1;
    }
};

题目解析及解题思路：

题目要求找"平方不超过 x 的最大整数"，即 midmid<=x 能成立的最大 mid，是典型的"满足条件的位置最右端点"型查找边界。mid 取偏右，满足条件时 left=mid，不满足时 right=mid-1，循环结束后 left 就是最大的满足条件候选。两个坑点：一是 x==0 和 x==1 要直接返回，尤其 x==1 时若不特判，区间为 $1,1$ ，循环体一次都不执行，mid 还是初始值 0，最后校验 midmid<=x 会错误地返回 0；二是 x 较大时 mid*mid 可能超出 int 范围，mid 要声明成 long long 防溢出。

力扣852山脉数组的峰顶索引

题解：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) 
    {
        int left=1,right=arr.size()-2;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(arr[mid]>arr[mid-1])
            left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return left;
    }
};

题目解析及解题思路：

山脉数组"先严格递增再严格递减"，峰顶就是递增到递减的分界点。二分找分界：取 mid 看斜率，arr $mid$ >arr $mid-1$ 说明 mid 还在上坡，峰顶在 mid 处或右侧，left=mid；否则 mid 已到达或越过转折，峰顶在 mid 处或左侧，right=mid-1。搜索区间取 $1, n-2$ ：一方面要和 arr $mid-1$ 比较，防止 mid=0 越界，另一方面两端保证不是峰顶，可以直接排除。区间收敛后 left 就是峰顶下标。这个"往上走就向右、往下走就向左"的思想也是 LC162 的基础。

力扣162寻找峰值

题解：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) 
    {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        if(right==0)
        return right;
        if(nums[left]>nums[left+1])
        return left;
        if(nums[right]>nums[right-1])
        return right;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]>nums[mid-1])
            left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return left;
    }
};

题目解析及解题思路：

与 LC852 思路相同，但数组不保证是山脉数组------只保证"存在峰值且相邻元素不相等"------而且两端也可能是峰值（题目假设越界处为负无穷）。所以先排除三种特殊情况：只有一个元素直接返回；首元素大于次元素，峰值在 0；末元素大于次末元素，峰值在末尾。剩下在中间区间二分，思想一致：nums $mid$ >nums $mid-1$ 说明还在上坡，峰值必在 mid 或其右侧，left=mid；否则 right=mid-1。区间收敛后 left 就是一个峰值。注意题目只要求找到"一个"峰值而非"最高"的，二分收敛到任意上坡点即可。

力扣153寻找旋转排序数组中的最小值

题解：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) 
    {
        int left=0,right=nums.size()-1,x=nums[right];
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>x)
            left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        return nums[left];
    }
};

题目解析及解题思路：

旋转排序数组（无重复）本质上是两个单调区间拼接： $某处...最大, 最小...某处$ 。关键是找到一个可靠的参照值，把"找分界"转化为普通的边界查找：本解取 x=nums $right$ （旋转时它是最小值，未旋转时它是最大值），问题变成找"第一个值不大于 x 的位置"。nums $mid$ >x 说明 mid 在左半段，最小值在它右边，left=mid+1；否则 mid 在右半段，最小值在 mid 处或左边，right=mid。区间收敛后 nums $left$ 就是最小值。用"中点值与右端值比较"这个技巧，无论数组旋转还是没旋转都能正确定位分界点。

力扣LCR 173点名

题解：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) 
    {
        int left=0,right=records.size()-1;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(records[mid]>mid)
            right=mid;
            else left=mid+1;
        }
        if(records[left]==left)
        return left+1;
        else return left;
        
    }
};

题目解析及解题思路：

records 是 0,1,2,... 自然数序列缺了一个数，数组长度恰好比总个数少一。关键不变量：设缺失的数为 k，则 k 之前的位置都有 records $i$ ==i，k 及之后的位置都有 records $i$ =i+1>i，问题就转化为找"第一个 records $i$ >i 的位置"。查找边界：records $mid$ >mid 说明缺失数在 mid 或更左，right=mid；否则缺失数在右边，left=mid+1。循环收敛到 left 后：若 records $left$ ==left，说明缺失的是末尾那个数，返回 left+1；否则缺失的就是 left。这个思路和"找值不小于下标的第一个位置"是同一类边界查找。

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