复杂网络能控性鲁棒性研究进展

title: "复杂网络能控性鲁棒性研究进展"

aliases:

"Recent Progress in Controllability Robustness of Complex Networks"
"楼洋2022能控性鲁棒性综述"
authors:
楼洋
李均利
李升
邓浩
year: 2022
venue: "自动化学报 (Acta Automatica Sinica)"
volume: 48
issue: 10
pages: 2374-2391
doi: 10.16383/j.aas.c200916
paper_type: 综述 (Survey)
domain: papers/complex-networks
tags:
papers/complex-networks
能控性
鲁棒性
复杂网络
攻击策略
拓扑优化
date: 2026-10-14

复杂网络能控性鲁棒性研究进展

核心信息

项目	内容
标题	复杂网络能控性鲁棒性研究进展
英文标题	Recent Progress in Controllability Robustness of Complex Networks
作者	楼洋¹˒²、李均利¹、李升¹、邓浩¹
单位	1. 四川师范大学计算机科学学院（成都 610101）；2. 香港城市大学电机工程学系（香港 999077）
期刊	自动化学报，2022, 48(10): 2374--2391
DOI	10.16383/j.aas.c200916
收稿/录用	2020-11-04 / 2021-02-09
基金	国家自然科学基金(62002249)；浙江大学 CAD&CG 国家重点实验室开放课题(A2112)
责任编委	曹向辉
文献类型	综述（Survey），聚焦有向网络

摘要

中文摘要原文：研究复杂网络能控性鲁棒性对包括社会网络、生物和技术网络等在内的复杂系统的控制和应用具有重要价值。复杂网络的能控性是指：可通过若干控制节点和适当的输入，在有限时间内将系统状态驱动至任意目标状态。能控性鲁棒性则是指在受到攻击的情况下，复杂网络依然维持能控性的能力。设计具有优异能控性鲁棒性的复杂网络模型和优化实际网络的能控性鲁棒性一直是复杂网络领域的重要研究内容。本文首先比较了常用的能控性鲁棒性定义及度量，接着从攻击策略的角度分析了 3 类攻击的特点及效果，包括随机攻击、基于特征的蓄意攻击和启发式攻击。然后比较了常见模型网络的能控性鲁棒性。介绍了常用优化策略，包括模型设计和重新连边等。目前的研究在攻击策略和拓扑结构优化方面都取得了进展，也为进一步理论分析提供条件。最后总结全文并提出潜在研究方向。

关键词：复杂网络，能控性鲁棒性，攻击，优化

本文核心贡献

本文是一篇系统性综述，围绕三个关键问题组织全文：

如何定义和度量能控性鲁棒性------梳理了基于能控性曲线、基于节点控制中心性、基于排序三类度量，明确了不同度量的侧重点与适用场景。
常见攻击方式及其破坏效果------将攻击划分为随机攻击、基于特征的蓄意攻击、启发式攻击三大类，并系统比较了它们对能控性（而非连通性）的破坏能力。
如何提高能控性鲁棒性------总结了网络模型优化设计、重新连边、全齐网络、模体等优化路径，并给出了"极同质（EH）网络在给定 N、M 下经验最优"这一核心结论。

综述价值：

明确区分了"连通鲁棒性"与"能控性鲁棒性"------能控必须连通，但连通未必能控，二者不可混用。
提出了连边三分类（关键/亚关键/普通）与节点四分类（关键/亚关键/普通/冗余）的层级攻击框架。
给出了 9 种经典网络模型在 4 种攻击策略下的能控性曲线对比，是后续研究的基准。
指出深度学习（CNN）预测能控性曲线可将计算速度提升 102∼10310^2 \sim 10^3102∼103 倍，误差小于样本方差。

一句话总结

本文系统梳理了有向复杂网络在节点/连边攻击下维持能控性的度量、攻击与优化三条主线，核心结论是：极同质（全齐）网络在给定节点数与连边数下经验上具有最优的能控性鲁棒性，而攻击与优化是一对"矛与盾"的关系。

1. 预备知识与基本定义

1.1 无权有向网络与 LTI 系统

将复杂网络抽象为有向图 G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)，∣V∣=N|V|=N∣V∣=N，∣E∣=M|E|=M∣E∣=M，邻接矩阵 A∈{0,1}N×NA \in \{0,1\}^{N \times N}A∈{0,1}N×N。节点 iii 的出度 kiout=∑jAijk_i^{\text{out}} = \sum_j A_{ij}kiout=∑jAij，入度 kiin=∑jAjik_i^{\text{in}} = \sum_j A_{ji}kiin=∑jAji，介数 bi=∑s≠i≠tσst(i)/σstb_i = \sum_{s \neq i \neq t} \sigma_{st}(i)/\sigma_{st}bi=∑s=i=tσst(i)/σst。

线性时不变（LTI）网络动态系统为：

x˙=Ax+Bu\dot{x} = Ax + Bux˙=Ax+Bu

其中 x∈RNx \in \mathbb{R}^Nx∈RN 为状态向量，uuu 为控制输入，B∈RN×NDB \in \mathbb{R}^{N \times N_D}B∈RN×ND 为输入矩阵（NDN_DND 为控制节点数）。

1.2 卡尔曼准则与两类能控性

卡尔曼（Kalman, 1960）提出系统完全能控的充要条件是能控性矩阵行满秩：

C= $BABA2B\dotsAN-1B$ \mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{N-1}B \end{bmatrix}C= $BABA2B\dotsAN-1B$

状态能控性（State controllability）：基于具体参数矩阵的精确能控。
结构能控性（Structural controllability） ：若存在一组非零参数值使系统状态能控，则称结构能控。Liu 等（Nature, 2011）基于最大匹配给出最小驱动节点数：

ND=max⁡{1, N−∣E∗∣}N_D = \max\{1,\; N - |E^*|\}ND=max{1,N−∣E∗∣}

其中 ∣E∗∣|E^*|∣E∗∣ 为最大匹配连边数。NDN_DND 等于非匹配节点数；完全匹配时任选一个节点作驱动点。

精确能控性（Exact controllability）：Yuan 等（Nat. Commun., 2013）基于 PBH 秩条件给出：

ND=max⁡{1, N−rank(A)}N_D = \max\{1,\; N - \text{rank}(A)\}ND=max{1,N−rank(A)}

1.3 控制节点密度（能控性度量）

nD≡NDN,nD∈ $1/N, 1$ n_D \equiv \frac{N_D}{N}, \qquad n_D \in $1/N,\\; 1$ nD≡NND,nD∈ $1/N,1$

nD=1/Nn_D = 1/NnD=1/N 表示单节点即可控制全网（能控性最佳）；nD=1n_D = 1nD=1 表示每个节点都需单独控制器（能控性最差）。nDn_DnD 越小，能控性越好。

1.4 匹配与节点控制中心性

匹配（Matching）：任意两条连边不共享起点与终点的连边集合。最大匹配不唯一。
匹配节点 / 非匹配节点：匹配连边的终止节点为匹配节点。
节点控制中心性（Control centrality） ：Cc(G,i)≡rankg(C(i))C_c(G,i) \equiv \text{rank}_g(\mathcal{C}(i))Cc(G,i)≡rankg(C(i))，度量单节点 iii 作为驱动节点时能控子空间的维度。CcC_cCc 大的节点适合作为控制节点。

📌 图 1 要点：链式网络、星型网络、类仙人掌网络的最大匹配与节点 1 的能控子空间（阴影部分）对比。类仙人掌结构具有较好的能控性。

1.5 关键连边与关键节点分类

连边三分类（Lou 等, 2021）------按对结构能控性鲁棒性的贡献：

类别	删除后效果
关键连边（Critical）	控制节点数 NDN_DND 增加 1
亚关键连边（Subcritical）	NDN_DND 不变，但非匹配节点数 +1
普通连边（Ordinary）	NDN_DND 与非匹配节点数均不变（含 Liu 定义的"普通"与"冗余"）

节点四分类（Lou 等, 2021）：

类别	删除后效果
关键节点	NDN_DND +1
亚关键节点	NDN_DND 不变，非匹配节点 +1
普通节点	NDN_DND 与非匹配节点均不变
冗余节点	NDN_DND −1（能控性视角下的"孤立节点"）

⚠️ 关键连边/节点身份在攻击过程中会动态变化：一条原非关键连边可能在其他边被删除后变为关键边；原关键节点也可能变为非关键节点（见图 6）。

2. 能控性鲁棒性的定义与度量

2.1 基于能控性曲线的定义（本文采用的基准）

类比连通鲁棒性的 LCC（最大连通子图比例），定义攻击过程中控制节点密度的动态序列：

节点攻击下 （共攻击 iii 个节点，剩余 N−iN-iN−i 个节点）：

Dn(i)=ND(i)N−i,i=0,1,⋯ ,N−1D_n(i) = \frac{N_D(i)}{N-i}, \qquad i = 0, 1, \cdots, N-1Dn(i)=N−iND(i),i=0,1,⋯,N−1

连边攻击下 （共攻击 iii 条边，节点数不变）：

De(i)=ND(i)M,i=0,1,⋯ ,MD_e(i) = \frac{N_D(i)}{M}, \qquad i = 0, 1, \cdots, MDe(i)=MND(i),i=0,1,⋯,M

整体能控性鲁棒性取曲线平均值：

Rc(n)=1N−1∑i=0N−1Dn(i),Rc(e)=1M+1∑i=0MDe(i)R_c^{(n)} = \frac{1}{N-1}\sum_{i=0}^{N-1} D_n(i), \qquad R_c^{(e)} = \frac{1}{M+1}\sum_{i=0}^{M} D_e(i)Rc(n)=N−11i=0∑N−1Dn(i),Rc(e)=M+11i=0∑MDe(i)

RcR_cRc 越小，鲁棒性越好 。与连通鲁棒性 RLCCR_{\text{LCC}}RLCC 的区别：(1) D(⋅)D(\cdot)D(⋅) 与 Q(⋅)Q(\cdot)Q(⋅) 物理意义不同；(2) 须从 D(0)D(0)D(0) 开始累加（各网初始能控性不同），而连通网络初始 Q(0)=1Q(0)=1Q(0)=1。

2.2 基于节点控制中心性的定义（ERCC / GRCC）

Usman 等（2019）提出：

ERCC(i,n)=E $Cc(G'(n),i)$ \text{ERCC}(i, n) = \mathbb{E}\left $C_c(G'(n), i) \\right$ ERCC(i,n)=E $Cc(G'(n),i)$

即随机删除 nnn 个节点后，节点 iii 作为驱动点的预期控制中心性。其扩展 GRCC 不限定删除节点数。适用于选择鲁棒驱动节点，但计算量巨大，需均匀采样估计。

2.3 基于排序的度量（RkR_kRk）

Chen 等（2019）提出：在相同受攻击比例下，对不同网络的 nDn_DnD 排序，排序越靠前鲁棒性越好。

📌 图 4 要点 ：net1 初始能控性差但抗攻击衰减慢；net2 初始能控性好但衰减快。按曲线均值 RcR_cRc，net2 更优（0.69 < 0.72）；按排序 RkR_kRk，两者等价（均为 1.5）。RkR_kRk 弱化了初始能控性权重，更纯粹度量"鲁棒性"，但只能在给定集合内比较，无法推广到一般情形。

本文后续讨论以 2.1 节基于能控性曲线的 RcR_cRc 为基准。

2.4 能控性鲁棒性的预测

仿真法精确但昂贵：Hopcroft--Karp 算法求最大匹配复杂度 O(N2.37)O(N^{2.37})O(N2.37)；Coppersmith--Winograd 矩阵乘法求精确能控性也是 O(N2.37)O(N^{2.37})O(N2.37)。
Sun 等（2019）：给出随机/蓄意攻击下能控性曲线的近似解析预测。
Lou 等（IEEE TCYB, 2022） ：训练 CNN 直接预测能控性鲁棒性曲线，预测误差小于样本方差，计算速度提升 102∼10310^2 \sim 10^3102∼103 倍。
加入先验知识后（IEEE TNNLS, 2022），预测精度优于谱度量与异质性指标。

3. 攻击策略

3.1 总体分类

维度	类别
攻击对象	节点攻击（连坐删除关联边）/ 连边攻击（仅删边）
攻击方式	随机攻击 / 蓄意攻击 / 启发式攻击

📌 图 5 要点 ：星型网络中心点被删后，LCC 从 6 降到 1（−83%），但 NDN_DND 仅从 4 升到 5（+25%）。对连通性破坏大的攻击，对能控性未必破坏大------这正是必须单独研究"能控性鲁棒性"的根本原因。

3.2 随机攻击

均匀随机选节点/边删除。
Sun 等近似估计 ：若被攻击边数 Mr≤M_r \leMr≤ 关键边数 McM_cMc，则 ΔND≈Mr×(Mc/M)\Delta N_D \approx M_r \times (M_c/M)ΔND≈Mr×(Mc/M)（每条关键边被删概率为 Mc/MM_c/MMc/M）。
Liu 等随机上/下游攻击：随机选节点后攻击其上游或下游节点，比纯随机攻击更容易命中 Hub，破坏力更强。

3.3 基于特征的蓄意攻击

攻击者依据网络特征优先攻击"最重要"节点/边，每次攻击后重新计算特征（重算版优于初始版）。

3.3.1 基于度数与介数的攻击

i∗=arg⁡max⁡i∈Vkiout(或 kiin),i∗=arg⁡max⁡i∈Vbii^* = \arg\max_{i \in V} k_i^{\text{out}} \quad (\text{或 } k_i^{\text{in}}), \qquad i^* = \arg\max_{i \in V} b_ii∗=argi∈Vmaxkiout(或 kiin),i∗=argi∈Vmaxbi

度数攻击：局部策略，目标是快速减少总连边。
介数攻击：全局策略，目标是破坏最短路径。
混合攻击 ：pi=α⋅ki+β⋅bip_i = \alpha \cdot k_i + \beta \cdot b_ipi=α⋅ki+β⋅bi（Nie 等），或加入谐波接近度（Hao 等三参数）。
关键实证结论 ：
- 节点攻击破坏力 > 连边攻击；
- 异质网络（如无标度）能控性鲁棒性 < 同质网络；
- 对许多实际网络，介数攻击对能控性破坏力最强；
- 基于负载（介数）的连边攻击不仅破坏能控性，还会引发无标度网络的级联故障。

3.3.2 其他蓄意攻击

基于破坏力的攻击（Damage-based） ：选使 LCC（或 NDN_DND）下降最多的节点（Wang 等；Lou 等取度数/介数两者破坏力较大者）。
基于模块的攻击：优先删除社区间连边。
基于关键连边的攻击（Sun 等）：先把所有关键边入列表优先攻击，打完再随机。
层级攻击（Lou 等, 2021） ：依次删除关键→亚关键→普通边（节点同理加冗余节点），每次攻击后重算层级。复杂度高但破坏效果最好。

3.4 启发式攻击

将整个攻击序列视为优化问题，用计算智能算法搜索破坏效果最大的攻击序列。NNN 节点网络的攻击序列解空间为 N!N!N!（连边攻击为 M!M!M!）。

算法	代表工作	特点
遗传算法	Zhang 等	自然序号编码，去重复基因交叉算子
禁忌搜索	孙昱等；Deng 等；Qi 等	局部交换，禁忌表避免重复，成本高，适合小网
人工蜂群	Lozano 等	以最大介数为目标函数最小化
邻域增强随机	Li 等	用邻域信息增强关键节点搜索

启发式攻击需要较全面的网络信息 + 较大计算资源，但破坏效果提升最显著。

3.5 不同网络拓扑在攻击下的表现（图 7）

实验设置：N=1000N=1000N=1000，M=5000M=5000M=5000，每种攻击 20 次平均。比较 9 种模型：

缩写	网络模型	能控性鲁棒性表现
RG	随机图（Erdős--Rényi）	中等
SW	小世界网络	中等
SF	无标度网络（Barabási--Albert）	最差之一
OLN	洋葱型网络（Onion-like）	最差之一（与 SF 相似）
RTN	随机三角形网络（Henneberg 增长）	连边攻击下表现好
RRN	随机四边形网络	连边攻击下表现好
QSN	q-回路网络	度数连边攻击中后期表现好
QSNR	QSN + 随机反向连边	整体优于 QSN
EH	极同质网络（Extremely homogeneous）	绝大多数攻击下最佳（仅度数连边攻击下较差）

核心规律：

多链 + 多环结构（RTN/RRN/QSN/QSNR）普遍比纯无标度/洋葱型鲁棒；
EH 网络 （所有节点出/入度均为 ⌊M/N⌋\lfloor M/N \rfloor⌊M/N⌋ 或 ⌈M/N⌉\lceil M/N \rceil⌈M/N⌉）在介数边攻击、度数节点攻击、介数节点攻击下始终保持最低 nDn_DnD；
QSN 在度数连边攻击中后期表现最好，说明攻击类型与最优拓扑并非一一对应。

4. 能控性鲁棒性优化

4.1 优化问题形式化

G∗=arg⁡min⁡G∈ΩRcRc(G)G^* = \arg\min_{G \in \Omega_{R_c}} R_c(G)G∗=argG∈ΩRcminRc(G)

ΩRc\Omega_{R_c}ΩRc 为满足约束的网络解空间。该问题为 NP 难，常用进化算法/群智能求解。

4.2 网络模型优化设计

模型	生成机制	特点
MCN（同余网络）	i<ji < ji<j 且 j≡r(modi)j \equiv r \pmod ij≡r(modi) 时连边 AijA_{ij}Aij	每层为无标度（异质），但因主链（r=1r=1r=1 层）存在，能控性反而较好------否定了"异质网一定差"的共识
QSN（q-回路网络）	一条主链 + qqq 比例节点带回路（工业流水线启发）	度均匀分布，多链多环结构
QSNR	QSN + 非主链边随机反向	度分布服从泊松分布，增加 3-环/4-环/4-链模体，鲁棒性略优于 QSN（反向概率 0.5 时最佳）
RTN / RRN	基于 Henneberg 增长，由有向三角形/四边形构成	每个节点至少在一个环中，抗连边攻击能力强
EH（极同质网络）	所有节点出度、入度均在 {⌊M/N⌋,⌈M/N⌉}\{\lfloor M/N \rfloor, \lceil M/N \rceil\}{⌊M/N⌋,⌈M/N⌉} 内	给定 N、M 下经验最优；环是 N=MN=MN=M 时最简单的 EH

📌 表 1 要点：模型优化设计 vs 重新连边 vs 全齐网络 vs 模体四类策略的优缺点对比。模型设计简单易实现但受理论约束；重新连边灵活但随机且计算量大；全齐网络经验最优但不符合实际网络；模体方向理论尚待理清。

4.3 重新连边（Rewiring）三种形式

度保持重连 ：保持各节点出/入度不变，交换连边 (i,j)(i,j)(i,j)、(s,t)(s,t)(s,t) 为 (i,t)(i,t)(i,t)、(s,j)(s,j)(s,j)。最常用。
方向调整：保持节点与连边集合不变，只反转边方向（Hou 等；Lou 等改 QSN 非主链边方向得到 QSNR）。
任意重构 ：保持 NNN、MMM 不变，自由重连（如 RER 策略）。

连通鲁棒性重连经验 ：异质网经度保持重连后趋向洋葱型结构 （度数相近节点互连），可提升 kkk-壳连通性与抗度数攻击能力。但需注意：

谱度量（Spectral measure）能较好预测连通鲁棒性，但与能控性鲁棒性相关性不强；
多目标优化可同时对抗节点攻击与连边攻击（二者常常此消彼长）；
Wang 等以"合作者比例 + RcR_cRc"为双目标做多目标进化优化。

4.4 全齐网络与经验必要条件（ENC）

全齐网络（Totally homogeneous）：Shi 等提出，以团（Clique）为基本单位，在二元域向量空间上定义。具有最优同步性等多种最优指标。
经验必要条件 ENC（Lou 等, 2021）：通过小规模网络遍历搜索归纳，最优网络必须满足极同质条件（式 26）。
随机连边矫正 RER ：一种贪心重连策略，使任意网络逐步趋向 EH 结构；RER 使用次数与 RcR_cRc 提升成正比。

📌 图 8 要点：集合包含关系为------全体 N 节点 M 边网络 ⊃ ENC 网络 ⊃ 最优网络 ⊃ 全齐网络。即：全齐网一定是最优网，但最优网不一定是全齐网。

4.5 模体（Motif）

链式模体：一条链仅需一个控制器；攻击驱动点不会破坏链路能控性，但随机攻击易造成链断裂。
环式模体：反馈连接比前馈链具有更好的鲁棒性。
实证：MCN 含大量链；QSN 含链+环；RTN/RRN 分别以 3-环、4-环为基础单元。3-环与 4-环结构在各种连边攻击下保持能控性最好。
贾承丰等提出基于模体的攻击------对模体特征明显的网络破坏更大（又一对"矛与盾"）。

5. 研究框架与核心洞察

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度量
攻击策略
优化策略
基于能控性曲线 R_c
基于控制中心性 ERCC/GRCC
基于排序 R_k
CNN 快速预测
随机攻击
基于特征蓄意攻击
度数/介数
破坏力/模块/层级
启发式攻击
GA/TS/ABC
模型设计 MCN/QSN/QSNR/RTN/RRN/EH
重新连边
度保持
方向调整
任意重构 RER
全齐网络
模体链/环

三条核心洞察：

连通 ≠ 能控：强连通不保证好能控；好的连通鲁棒性也不保证好的能控性鲁棒性。二者须分别度量。
攻击信息层级递进：随机攻击（少信息）→ 特征攻击（中信息）→ 启发式攻击（全信息+大算力），破坏效果递增。
同质 + 多链多环 = 鲁棒 ：给定 NNN、MMM 下，极同质（EH）网络经验最优；环模体比链模体鲁棒；QSNR（链+环+反向边）是折中实用方案。

6. 局限性与未来方向

6.1 当前研究局限

大部分结论基于仿真而非严格理论证明；ENC 仍是"经验必要条件"，缺乏充分性证明。
节点攻击研究多、连边攻击研究少；有向网络研究多、无向/加权/多层网络研究少。
尚无可靠的拓扑指标能像谱度量预测连通鲁棒性那样，准确预测能控性鲁棒性。
能控性鲁棒性优化计算昂贵，仿真评估是主要瓶颈。
多数优化结论基于合成网络，对真实网络（生物、交通、电力）的迁移性尚待验证。

6.2 作者提出的未来方向

深度学习与计算智能更广泛用于能控性鲁棒性的预测、分析与优化（当前处于起步阶段）。
网络特征与能控性鲁棒性的相关性：拓扑特征、关键节点/连边的定义与搜索；难点在于网络规模、拓扑、攻击方式的多样性，以及加权网络的泛化性。
全齐网络与 ENC 的理论拓展：从简单结构推向一般情形，给出 ENC 的严格证明，并探索充分条件------从理论上实现能控性鲁棒性最优化。

7. 个人评注与可复用要点

适合谁读

进入复杂网络能控性方向的研究生：本文是 2022 年前中文世界最系统的综述，引用了 Liu 2011、Yuan 2013、Lou 2021 等关键工作。
做网络鲁棒性/脆弱性分析的研究者：必须区分"连通鲁棒性"与"能控性鲁棒性"两套指标，避免混用。
做网络拓扑优化的工程师：RER（随机连边矫正）是一个即插即用的 baseline。

复现关键参数

标准实验规模：N=1000N=1000N=1000，M=5000M=5000M=5000，每种攻击 20 次取平均。
能控性计算：结构能控性用 Hopcroft--Karp 最大匹配；精确能控性用矩阵秩。
基准攻击：介数节点攻击通常是破坏力最强的单一特征攻击；层级攻击（关键→亚关键→普通）效果最佳但最贵。

可迁移到其他方向的思路

"矛与盾"对偶：研究攻击策略本身就是在反向刻画网络脆弱性结构，攻击算法与优化算法共享同一套启发式优化框架。
CNN 预测替代仿真评估：可推广到任何"评估昂贵但数据可仿真"的网络属性优化问题。
模体视角：链 vs 环、3-环 vs 4-环的鲁棒性差异，对设计生物网络、芯片互连、通信网络拓扑有直接参考价值。

图表索引

图表	页码	内容
图 1	p.3	匹配与节点控制中心性示例（链式/星型/类仙人掌）
图 2	p.4	连边三分类（关键/亚关键/普通）示例
图 3	p.4	节点四分类（关键/亚关键/普通/冗余）示例
图 4	p.6	RcR_cRc（曲线均值）与 RkR_kRk（排序）度量方式对比
图 5	p.6	能控性鲁棒性 vs 连通鲁棒性差异（星型网中心点攻击）
图 6	p.7	攻击过程中关键边/关键节点身份动态变化
图 7	p.9	9 种网络模型在 4 种攻击下的能控性曲线
图 8	p.12	全体网络 ⊃ ENC ⊃ 最优网络 ⊃ 全齐网络的集合关系
表 1	p.10	常用能控性鲁棒性优化策略优缺点
表 2	p.11	各优化网络结构对比（是否需重连、是否全齐、链/环模体）

关键参考文献（精读推荐）

Liu Y Y, Slotine J J, Barabási A L. Controllability of complex networks . Nature, 2011, 473: 167--173. $结构能控性奠基$
Yuan Z, Zhao C, Di Z, et al. Exact controllability of complex networks . Nat. Commun., 2013, 4: 2447. $精确能控性$
Liu Y Y, Barabási A L. Control principles of complex systems . Rev. Mod. Phys., 2016, 88: 035006. $RMP 综述$
Lou Y, Wang L, Chen G R. A framework of hierarchical attacks to network controllability . Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2021, 98: 105780. $层级攻击框架$
Lou Y, He Y D, Wang L, et al. Predicting network controllability robustness: A CNN approach . IEEE TCYB, 2022, 52(5): 4052--4063. $CNN 预测$
Chen G R, Lou Y, Wang L. A comparative study on controllability robustness of complex networks . IEEE TCAS-II, 2019, 66(5): 828--832. $9 种网络基准对比$

笔记生成时间：2026-10-14 ｜基于本地 PDF 全文 18 页提取｜ DOI: 10.16383/j.aas.c200916