一、函数极限定义
- x趋近于x₀ 时函数极限
lim(x→x₀) f(x)=A
定义：对于任意ε>0，存在δ>0，当 0<|x-x₀|<δ 时，恒有 |f(x)-A|<ε
ε：任意正数，描述f(x)和A的接近程度
δ：和选定的ε有关，描述x靠近x₀的范围
关键点：极限和f(x)在x₀处有没有定义、函数值大小无关
0<|x-x₀|：x不取x₀这个点，只讨论附近局部区域
- 单侧极限
左极限：lim(x→x₀⁻) f(x)，从左边趋近x₀
右极限：lim(x→x₀⁺) f(x)，从右边趋近x₀
充要条件：
lim(x→x₀) f(x)=A 等价于 左极限 = 右极限 = A
左右极限相等，整体极限才存在；左右不等，则极限不存在。
- x→∞ 的极限
lim(x→∞) f(x)=A ，也写成 f(x)→A (x→∞)
数列极限对照：
任意ε>0，存在 N=1/ε+1
二、函数极限的性质（全部是局部性质！）
-
唯一性：如果lim(x→x₀)f(x)=A存在，则极限值唯一。
-
局部有界性：
若lim(x→x₀)f(x)=A，则存在M>0，δ>0，当0<|x-x₀|<δ，就有|f(x)|≤M。
含义：只在x₀附近一小段区间内有界；大范围不一定有界。
-
局部保号性：
若lim(x→x₀)f(x)=A>0，则在x₀的某去心邻域内，f(x)>0。
理解：极限的正负号，只能传递到靠近x₀的局部，离远了不保证。
三、无穷小与无穷大
✅ 无穷小
定义：如果lim f(x)=0，则f(x)是该极限过程下的无穷小。
- 无穷小是变量的变化趋势，不是很小的常数；只有数字0，可以当作无穷小。
- 无穷小是局部概念：要看是 x→x₀ 还是 x→∞。
例子：x→∞时，1/x是无穷小；x→2时，1/x不是无穷小。
无穷小运算规则
- 有限个无穷小相加 = 无穷小；无限个无穷小相加不一定是无穷小
- 有界函数 × 无穷小 = 无穷小
- 常数 × 无穷小 = 无穷小
- 有限个无穷小相乘 = 无穷小
✅ 无穷大
定义：在极限变化过程中，|f(x)|无限增大，叫做无穷大量。
记作：
lim(x→x₀)f(x)=∞
lim(x→x₀)f(x)=+∞
lim(x→x₀)f(x)=-∞
⚠重点：无穷大不是一个很大的数字，是变量变化趋势
无穷大和无穷小关系（同一极限过程）
1/无穷大 = 无穷小
1/无穷小 = 无穷大
前提：分母不为0。
极限看局部，和该点函数值无关；
左右极限相等，极限才存在；
无穷小是趋于0的变量，0是唯一常数无穷小；
有限个无穷小四则保持无穷小，无限个不行；
无穷大倒数是无穷小，无穷小倒数是无穷大。