一、接收机要从回波里取出什么
雷达方程算的是能量。前面几讲把发射功率、天线增益、传播损耗、目标散射、接收面积串成一条链，最后落到一个接收功率，与接收机灵敏度比一比，判断目标在不在。这条链走到头，回答的只是有无。
可雷达的名字里有个 range。检测之外，还得知道目标在哪。
从回波里能取出的信息可以分成几层。第一层是有没有，也就是检测。第二层是运动参数：距离、方位、俯仰、速度，还有速度的方向。一枚弹道目标升空，只报出发射这件事，落点与飞行方向不明，这条情报的用处很有限。第三层是特征：回波强度、几何尺寸、一维或二维的像、多普勒调制，这些特征往上支撑分类与识别。第四层是属性：类别、型号，乃至意图。
意图这一层最能说明问题。一架轻型飞机偏离航线进了城市上空，光凭航迹判断不出它是迷航还是有别的用意，而这两种判断对应的处置完全不同。雷达要回答这类问题，靠的不只是能量够不够。
同样一份能量，换一种发射信号，能取出来的东西就不一样。两个目标能不能分开、测距能准到什么程度、对运动目标敏不敏感，都由波形决定。能量决定这条链路能不能走通，波形决定走通之后拿到多少信息。前面几讲把能量这一头讲完了，下面说波形这一头。
二、解调与匹配滤波
接收处理里的算法有很多，常见的是三个环节：解调、匹配滤波、目标检测。
X 波段的信号在 8～12 GHz。数字系统很难在这个频率上直接采样、直接处理，通常先把频谱搬到基带，把接收信号乘一个复指数：
b(t)=r(t)e−j2πfctb(t)=r(t)e^{-j2\pi f_ct}b(t)=r(t)e−j2πfct
频域上这是一次平移。搬到基带之后带宽不变，中心频率挪到零附近，采样率的要求跟着下来，信号也变成复的，实部虚部一起保留了相位信息。基带信号摆在那里，用眼睛看它大还是小，判断不出多少东西。下一步是滤波。
匹配滤波不是所有雷达的必选项。有的雷达不做，有的做了未必合适，它不是一个自然而然要发生的事。但如果把准则定成最大化输出信噪比，最优的滤波器只有一个，这件事在五六十年代就算清楚了。七十年代国内翻译过一本接收理论的书，把这一套叫最佳接收，说的就是对信号做匹配滤波，输出的信噪比达到所有线性滤波器中的上界。
雷达为什么这么看重信噪比。前面反复算过，回波功率按距离四次方衰减，有的场合还要按八次方。雷达一直处在能量不够用的状态。能量既然欠，在接收处理这一端把输出信噪比做到最大，是还能抓住的东西。通信的课里已经讲过匹配滤波，雷达这边把它当成了接收处理的默认动作。
三、匹配滤波为什么最优
先把要最大化的量写清楚。输出信噪比是峰值信号功率与平均噪声功率之比。峰值出现在某一时刻 t0t_0t0，信号是确定性的，噪声是随机过程：
ρ(t0)=∣ys(t0)∣2Eyn2(t0)\rho(t_0)=\dfrac{|y_s(t_0)|^2}{E\lefty_n\^2(t_0)\\right}ρ(t0)=Eyn2(t0)∣ys(t0)∣2
设滤波器频率响应为 H(f)H(f)H(f)，输入信号频谱为 S(f)S(f)S(f)，输入噪声功率谱为 N(f)N(f)N(f)。峰值时刻的信号分量是一次逆傅里叶变换：
ys(t0)=∫−∞∞H(f)S(f)ej2πft0dfy_s(t_0)=\int_{-\infty}^{\infty}H(f)S(f)e^{j2\pi ft_0}dfys(t0)=∫−∞∞H(f)S(f)ej2πft0df
噪声经过线性时不变系统，输出功率谱等于输入功率谱乘频率响应的模平方，平均功率再对它积分，这一步用的是帕塞瓦尔定理：
ρ(t0)=∣∫H(f)S(f)ej2πft0df∣2∫∣H(f)∣2N(f)df\rho(t_0)=\dfrac{|\int H(f)S(f)e^{j2\pi ft_0}df|^2}{\int|H(f)|^2N(f)df}ρ(t0)=∫∣H(f)∣2N(f)df∣∫H(f)S(f)ej2πft0df∣2
到这里变成一个求极值的问题。手法是把分子里的被积函数凑成两个函数的乘积，一个取 H(f)N(f)H(f)\sqrt{N(f)}H(f)N(f) ，另一个取 S(f)/N(f)S(f)/\sqrt{N(f)}S(f)/N(f) ，然后套柯西不等式。两个函数乘积的积分的模平方，不超过各自模平方积分之积：
ρ(t0)≤∫∣H(f)∣2N(f)df⋅∫∣S(f)∣2N(f)df∫∣H(f)∣2N(f)df\rho(t_0)\le\dfrac{\int|H(f)|^2N(f)df\cdot\int\dfrac{|S(f)|^2}{N(f)}df}{\int|H(f)|^2N(f)df}ρ(t0)≤∫∣H(f)∣2N(f)df∫∣H(f)∣2N(f)df⋅∫N(f)∣S(f)∣2df
分子分母上那个相同的积分约掉：
ρ(t0)≤∫−∞∞∣S(f)∣2N(f)df\rho(t_0)\le\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{|S(f)|^2}{N(f)}dfρ(t0)≤∫−∞∞N(f)∣S(f)∣2df
右端与滤波器无关，只由信号和噪声决定。这就是上界。
等号什么时候取到。柯西不等式取等，要求两个函数互为共轭，相差一个常数因子。常数取一，得到
H(f)N(f)=S∗(f)N(f)H(f)\sqrt{N(f)}=\dfrac{S^{\ast}(f)}{\sqrt{N(f)}}H(f)N(f) =N(f) S∗(f)
两边同乘 N(f)\sqrt{N(f)}N(f) ，就得到最优形式
H(f)=S∗(f)N(f)H(f)=\dfrac{S^{\ast}(f)}{N(f)}H(f)=N(f)S∗(f)
白噪声时 N(f)N(f)N(f) 是常数，滤波器频率响应直接就是信号频谱的共轭。彩色噪声下先除以噪声功率谱，这一步叫白化，做完白化再取共轭。白噪声下这个上界退化成总能量除以噪声谱密度，信噪比只与能量有关，与波形形状无关。
频域的共轭对应时域的翻转共轭。冲激响应写成
h(t)=s∗(−t)h(t)=s^{\ast}(-t)h(t)=s∗(−t)
滤波器就是发射波形的时间反转加共轭。这个结果不用背，想一遍就通了。回波是发射信号的一个延时副本，匹配滤波器是发射波形的反转共轭副本，两者卷积时，滤波器里存的那份副本一路滑动，滑到与回波对齐的位置，各点相位正好相消，全部同相叠加，尖峰出在这里。滑到别处，相位对不齐，叠加出来就小。卷积在这里等价于相关，匹配滤波与相关接收是同一种运算的两种说法。
四、匹配滤波之后剩下什么
设发射信号为 s(t)s(t)s(t)，接收信号是 r(t)=As(t−τ)+n(t)r(t)=As(t-\tau)+n(t)r(t)=As(t−τ)+n(t)，系数 AAA 收进了天线增益、传播衰减等因素。做完匹配滤波：
rF(t)=Ab(t−τ)+n(t)r_F(t)=Ab(t-\tau)+n(t)rF(t)=Ab(t−τ)+n(t)
其中 b(t)b(t)b(t) 是发射波形的自相关：
b(t)=s(t)∗s∗(−t)b(t)=s(t)\ast s^{\ast}(-t)b(t)=s(t)∗s∗(−t)
对应的频域形式更清楚：
B(f)=∣S(f)∣2e−j2πfτB(f)=|S(f)|^2e^{-j2\pi f\tau}B(f)=∣S(f)∣2e−j2πfτ
输出只剩幅度谱的平方和一个线性相位。原来信号里那些弯弯绕绕的相位结构，被匹配滤波抹平了。
这一步的后果要单独说。信号与系统里有一句话，频域越宽，时域越窄。这句话有前提，前提是幅度谱是方的或者平的。如果幅度谱很宽，但相位谱中间带着调制结构，反变换回时域，波形照样可以很长。匹配滤波做的正是把相位结构抹掉，输出端只剩 ∣S(f)∣2|S(f)|^2∣S(f)∣2，这是非负实数，相位恒为零。到了这个份上，频域宽就一定对应时域窄。频域宽时域窄这个结论，说的是匹配滤波之后的输出，不是发射信号本身。
还有一个容易混的地方。信噪比只取决于信号的总能量，也就是 ∣S(f)∣2|S(f)|^2∣S(f)∣2 在整个频带上的积分，与峰值幅度无关。
发射机的峰值功率有上限。嗓门吼到最大也就那么大。想让能量继续变大，只能把时间拉长。拉长之后匹配滤波把这一段时间里的能量全部加起来，这就是积累增益的来历。能量按功率乘时间算，功率封顶之后，时间成了唯一的余地。
五、分辨与分辨单元
有了一个尖，才谈得上分开两个目标。
分辨的说法是：两个目标的参数不相同时，它们的回波能够以某种方式正交；能做到，就说这两个目标处在不同的分辨单元。参数是一个向量，包含时延、多普勒频率、方位角、俯仰角。这些参数张成一个坐标空间，空间被切成一格一格的，每一格就是一个分辨单元。
图 1：时延维上的分辨与分辨单元
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.6
正交可以来自不同的维度。两个人坐在不相邻的座位上，位置不重叠，两个回波相乘积分就是零，在空间上正交。位置重叠但一个说话频率高、一个低，频谱不重叠，在频率上正交，也算处在不同的分辨单元。天线波束扫过去，波束照到谁、照不到谁，这是角度上的分辨单元。同一对目标算不算处在不同的分辨单元，还要看手上有什么观测手段：只能看空间上有没有交叠的时候，频率不同这件事用不上；一旦能观测频率，频率上的差异就能把两个回波分开。
时延维上，分辨单元有多大，结论只与带宽有关：
Ar=∫−∞∞∣ρ(τ)∣2dτ∣ρ(0)∣2=1BA_r=\dfrac{\int_{-\infty}^{\infty}|\rho(\tau)|^2d\tau}{|\rho(0)|^2}=\dfrac{1}{B}Ar=∣ρ(0)∣2∫−∞∞∣ρ(τ)∣2dτ=B1
带宽越宽，这个宽度越窄。有的写法把宽度定义成半功率点宽度，有的定义成能量等效宽度，两种定义下的数值略有差别，都正比于带宽的倒数。想让两个目标在时间轴上稍微错开一点就分开，就得把带宽做大。
通信里有一件对应的事，叫扩频。要把 0 和 1 传得快，码片间隔就得窄。直接把码片压窄，发射机受不了。换一种做法：拿一个带宽很大、时宽也很大的信号去和码片序列卷积，把能量摊开，接收端再拿同一个信号的共轭反转去卷一次，叫解扩，卷完就冒出一个个小尖，尖的位置就是码片的极性。雷达里这套动作叫匹配滤波，通信里叫解扩，一回事。
带宽不是白来的。带宽一大，采样与处理的速率跟着涨，运算量也跟着涨。还有一个更麻烦的量：带宽除以工作频点的比值 B/fcB/f_cB/fc，也就是系统的 QQQ 值。QQQ 值越大，系统越难做。一部雷达要从 1 MHz 做到 1 GHz 都保持好特性，等于频率变了一千倍，方案要整个重来；从 9.5 GHz 做到 10.5 GHz，相对变化只有一成，难度完全不同。
这就解释了一个常见的搭配。要看得远，频率得低，衰减小。频率低了，在 QQQ 值一定的条件下带宽上不去，分辨率就低。这类雷达只能回答这是一架飞机还是两架，回答不了机头在哪、机身在哪、翅膀在哪、尾巴在哪。要把飞机看成一串点而不是一个亮点，带宽就得大，QQQ 值又不想放大，只能把载频抬上去。
分辨率高不是所有雷达的追求。做高分辨要付出采样与器件上的代价，超出任务需要的那部分，全是白花的。看远的时候用一个带宽小、频率低的雷达知道有几架就够了；要分辨细节，才需要把带宽撑起来。
六、模糊：三种形状，三种麻烦
把波形做完匹配滤波，输出并不是理想的 δ 函数，也不是理想的 sinc，而是各种奇形怪状。这些形状在雷达理论里统一叫模糊。
中文的模糊是个形容词，英文的 ambiguity 是名词。这一层差别容易卡住。它说的是：波形不像 δ 那样干净，主峰周围那一坨，就叫这个波形的模糊。波形设计做不出 δ，只能做出各种形状的凹凸，把凹凸摆在哪儿，就是设计的内容。
图 2：三种典型的模糊形状
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.8
第一种，只有一个主峰，但主峰很胖，两侧慢慢拖下去。两个靠得近的目标，各自拖出一个胖峰，两个峰叠在一起就分不开了。这类模糊影响的是距离分辨力，源头是带宽不够。
第二种，主峰很窄，但在较远的间隔上还有一串高度不低的峰，叫栅瓣。麻烦在于无法判断到底有几个目标。中间一个强峰，边上几个次峰，可以是一个强目标带出的一串模糊，也可以是几个真目标。有噪声的时候更不敢断言。
第三种，主峰很窄，近旁有一些又宽又低的旁瓣。单看一个目标，这种模糊似乎无害。换个场景就不一样了。一座大楼的回波比一架小型无人机强出几个数量级，大楼匹配滤波后的旁瓣抬起来，正好把无人机的回波盖住。此时旁瓣里有没有目标，说不清。这类模糊影响的是强背景下的检测。
三种形状，对应分辨、目标个数、弱目标检测三件事。理想情形是 δ 函数：参数稍有差别，两个回波就不相关，峰值无穷高，旁瓣处处为零。能做到这一点的波形不存在。体积一定，能把模糊搬来搬去，搬不掉。
七、模糊函数
为了把这件事量化，雷达理论给了一个工具，叫模糊函数。发射波形 u(t)u(t)u(t) 的模糊函数定义为
∣χ(τ,fd)∣2=∣∫−∞∞u∗(t)u(t−τ)ej2πfdtdt∣2|\chi(\tau,f_d)|^2=|\int_{-\infty}^{\infty}u^{\ast}(t)u(t-\tau)e^{j2\pi f_dt}dt|^2∣χ(τ,fd)∣2=∣∫−∞∞u∗(t)u(t−τ)ej2πfdtdt∣2
读法是：把 u(t)u(t)u(t) 的共轭，与平移了 τ\tauτ、又乘了多普勒因子 ej2πfdte^{j2\pi f_dt}ej2πfdt 的本身，在全时间轴上相乘再积分，取模平方。
它算的是两个回波有多像。时延差为 τ\tauτ、多普勒差为 fdf_dfd 的两个目标，回波之间的相关有多大。也可以理解成：一个位于零距离、零速度的目标回波，与一个位于延时 τ\tauτ、多普勒 fdf_dfd 的目标回波，像到什么程度。理想的情形是只要这两个量有一个不为零，相关就是零。这一点做不到。
τ\tauτ 与距离一一对应，fdf_dfd 与径向速度一一对应，模糊函数因此是时延-多普勒平面上的一个二维曲面。一个波形对应一个曲面，换一个波形就换一个曲面。
取 fd=0f_d=0fd=0 切一刀，得到的是沿时延轴的剖面，它等于发射波形与其自身的匹配滤波输出，也就是静止目标的距离响应。这一刀是后面所有距离性能讨论的依据。
这个曲面有三条性质。
第一条性质，最大值在原点。
maxτ,fd∣χ(τ,fd)∣2=(2E)2\max_{\tau,f_d}|\chi(\tau,f_d)|^2=(2E)^2τ,fdmax∣χ(τ,fd)∣2=(2E)2
两个副本完全重合时相关最大，积分值等于信号能量。这里取解析信号，能量记作 2E2E2E，平方就是 (2E)2(2E)^2(2E)2。
第二条性质，体积固定。
∬∣χ(τ,fd)∣2dτdfd=(2E)2\iint|\chi(\tau,f_d)|^2d\tau df_d=(2E)^2∬∣χ(τ,fd)∣2dτdfd=(2E)2
这条最有意思。不管波形怎么设计，曲面下面的体积是个常数，恰好等于峰值。想让主峰又高又窄、旁瓣处处为零，做不到。压下去的那部分一定在别处冒出来，或者摊成一条连续的裙边，或者堆成几个等间隔的次峰。设计波形，本质上是在搬体积，不是把体积变小。
第三条性质，旋转对称。
∣χ(−τ,−fd)∣=∣χ(τ,fd)∣|\chi(-\tau,-f_d)|=|\chi(\tau,f_d)|∣χ(−τ,−fd)∣=∣χ(τ,fd)∣
两个参数同时取反，模值不变。这一条把定义式里的两个变换各做一次就能看出来，正负号在取模时抵掉了。
图 3：单脉冲模糊函数的等高线
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.9
单个脉冲的模糊函数在时延-多普勒平面上是一个长条。不加调制时它沿时延轴躺平，加上线性调频就斜过来，斜率由调频斜率决定，图上画的正是调制之后的情形。横着量，半功率宽度是 1/B1/B1/B；竖着量，半功率宽度是 1/T1/T1/T。时延方向的旁瓣最远延伸到 ±T\pm T±T 之外就断了，因为两个脉冲错开超过一个脉宽，根本不重叠。多普勒方向，当频偏超过信号带宽 BBB，两者在频率上不再重叠，相关值降下来，但不严格为零，有限长、频率不同的两个信号，积分不会干净地归零。
斜脊意味着，沿着那条脊的方向移动，回波仍然高度相关。两个在距离与速度上都不同的目标，回波看起来可以一样。这条脊在讲多普勒容限与耦合时还要用到。
知道了 TTT 与 BBB，就知道了这个波形在时延与多普勒两个方向上的分辨能力，也知道了旁瓣大致长在哪里。这就是模糊函数的用处。
八、脉冲串的栅瓣
单个脉冲之外，雷达更常发射一串脉冲。
把这串脉冲当成一个整体波形，时延方向的分辨力仍是 1/B1/B1/B，每个脉冲的带宽没变。多普勒方向变了。
时域上把单个脉冲周期延拓，间隔 TrT_rTr。时域的周期延拓对应频域的采样，采样间隔是 1/Tr1/T_r1/Tr。所以多普勒维上的模糊图从一个点变成一串等间隔的点，间隔正好是脉冲重复频率。
延拓不是无限长的，只截了 NNN 个脉冲，相当于乘了一个宽 NTrNT_rNTr 的矩形窗。矩形窗在频域是 sinc 函数，宽度为 1/(NTr)1/(NT_r)1/(NTr)，每个采样点被这个 sinc 抹开。
图 4：脉冲串的时域延拓与多普勒栅瓣
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.9
结论有两条。多普勒是模糊的：回波的多普勒频率相差整数倍脉冲重复频率，看起来完全一样。多普勒的分辨力不取决于单个脉冲有多宽，而取决于整个脉冲串有多长，1/(NTr)1/(NT_r)1/(NTr)。
这两条结论在后文讲动目标处理、讲机载多普勒雷达时会反复出现。多普勒模糊决定了测速的不模糊范围，脉冲串越长，测速越精细，但落在别的重复周期里的目标也越容易被认错。距离与速度这两把尺子，一个的分辨力由带宽的倒数给出，一个由脉冲串长度的倒数给出，两个维度是一对对称的关系。
九、精度不是分辨率
分辨和精度是两件事。分辨是多个目标要分开，精度是一个目标要测准。
手机上的 GPS 定位精度可以做到亚米级。GPS 信号的带宽只有 2 MHz 量级。2 MHz 对应的时延分辨力是 0.5 μs，单程换算成距离是 150 m，双程体制下这个数是 75 m。150 m 宽的脉冲，怎么做到亚米级的定位精度。
因为两者量的不是一回事。分辨力管的是两个相邻目标能不能分开，精度管的是那个尖峰落在哪里。没有噪声时，波形胖一点瘦一点都能找到最大值的位置，找最值这件事总能做对。有噪声就不行了。
把这件事想成一堆土。要找土包的位置，先要求土堆高出周围的草。草很厚，土包的顶部就找不到，这对应信噪比。草薄了之后，还要求土包别太宽：如果是个平顶的土包，风一吹，最高的位置就飘；如果像堵墙，同样一点的噪声偏不了多少。带宽管的就是土包顶部有多尖。
图 5：精度与分辨力量的不是同一件事
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.10
时延估计的方差有下界，就是克拉美-罗界：
var(τ^)≥σ2∫0T∣ds(t)dt∣2dt\mathrm{var}(\hat{\tau})\ge\dfrac{\sigma^2}{\int_0^T|\dfrac{ds(t)}{dt}|^2dt}var(τ^)≥∫0T∣dtds(t)∣2dtσ2
分母里是信号导数模平方的积分，信号的频率成分越高、导数越陡，这个积分越大，方差的下界越低。换成工程语言：带宽越大、信噪比越高，时延估计越准。
分辨力不够的时候还有一条路。只要能把问题写成估计问题，靠提高信噪比也能把尖找得很准，定位能力因此可以超过分辨力的限制。这两件事在雷达里经常被混为一谈，量纲一样，含义不一样。GPS 就是一个现成的例子：脉冲宽得能盖住一栋楼，位置却能量到亚米。
十、脉冲压缩
前面几节把两个量拆开了：能量由时宽决定，分辨力由带宽决定。矛盾就在这里。
峰值功率受限，想看得远就要加大能量，能量等于功率乘时间，只能把脉冲做宽。可是脉冲一宽，距离分辨力就按 1/T1/T1/T 掉下去，前后两个目标更容易叠在一起。看得远和看得清互相拉扯，在没有匹配滤波的年代，这是一条绕不过去的死结。
匹配滤波把这个前提改了。做完匹配滤波，输出宽度取决于带宽的倒数，与发射时宽无关。于是有一个两全的办法：发射一个时间很长的信号保证能量，在信号内部对相位或频率做调制，把带宽撑到远大于 1/T1/T1/T，接收时做匹配滤波，把脉宽 TTT 压到 1/B1/B1/B 量级。
这套做法叫脉冲压缩。IEEE Std 686-1997 给的定义是：A method for obtaining the resolution of a short pulse with the energy of a long pulse of width T by internally modulating the phase or frequency of a long pulse so as to increase its bandwidth B >> 1/T, and using a matched filter on reception to compress the pulse of width T to a width of approximately 1/B.
译过来：通过在一段宽为 TTT 的长脉冲内部调制相位或频率，把带宽增大到远大于 1/T1/T1/T，使这段长脉冲具备短脉冲的分辨能力；接收时用匹配滤波器把宽为 TTT 的脉冲压到约 1/B1/B1/B，在峰值功率受限的场合获得高距离分辨力。
它包含两个环节，缺一不可。发射端发一个宽带、低功率、长时宽的信号，接收端做匹配滤波，数字或模拟都行。只做前半段，得到的是一个又长又宽的脉冲，什么也没解决。雷达因此从一味提高峰值功率，转到了用较低的峰值功率换更长的照射时间这条路上来。
压缩比是 TTT 与 1/B1/B1/B 之比，也就是时间带宽积 BTBTBT。同一个数还有第二重含义。把匹配滤波写到数字域，滤波器阶数就是有效采样点数 N=BTN=BTN=BT。回波与滤波器对齐时，信号分量同相相加，幅度变成 NNN 倍，功率 N2N^2N2 倍；噪声各点独立，功率只涨 NNN 倍。两者一除：
SNRout=N⋅SNRin=BT⋅SNRin\mathrm{SNR_{out}}=N\cdot\mathrm{SNR_{in}}=BT\cdot\mathrm{SNR_{in}}SNRout=N⋅SNRin=BT⋅SNRin
压缩了多少倍，信噪比就涨多少倍。雷达方程里那个 BτB\tauBτ 因子的来历就是它。这也是脉冲压缩被称为系统设计上一次革命的原因：它把作用距离与分辨力从互相牵扯变成了可以同时提高，代价只是信号处理的复杂度。
压缩比的代价落在复杂度上。滤波器阶数就是 BTBTBT，BTBTBT 越大，要乘的系数、要存的数据跟着涨，增益与复杂度始终绑在一起。
早年的脉冲压缩器不是数字的，是声表滤波器。在一块压电陶瓷片上刻出沟道，不同的沟道给出不同的延时、不同的系数，合起来就是一条需要的色散延时线，也就是一个具体的匹配滤波器。数字方式普及之前，压缩比做得大的雷达基本都走这条路，后来才改成把信号采下来、在数字域里滤。
图 6：声表滤波器的叉指电极结构
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.11
现在多数是把信号采下来，在数字域做匹配滤波。模拟器件那套做法，手里没有几个压缩比大的波形可用，换了波形就得换器件。
十一、线性调频与距离-多普勒耦合
最常见的调制是线性调频。信号写成
s(t)=expjπ(−Bt+BTt2),0≤t≤Ts(t)=\exp\leftj\\pi\\left(-Bt+\\dfrac{B}{T}t\^2\\right)\\right,\quad 0\le t\le Ts(t)=expjπ(−Bt+TBt2),0≤t≤T
相位是时间的二次函数。频率是相位的导数除以 2π2\pi2π：
f(t)=12πdφdt=−B2+BTtf(t)=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{d\varphi}{dt}=-\dfrac{B}{2}+\dfrac{B}{T}tf(t)=2π1dtdφ=−2B+TBt
从 −B/2-B/2−B/2 线性涨到 +B/2+B/2+B/2，扫过的带宽正好是 BBB，做完匹配滤波的主瓣宽度 1/B1/B1/B。时域波形上看，振荡的疏密由稀变密或由密变稀，越往后越挤，挤的程度就是调频斜率。想做大 BBB 乘 TTT，只要把时宽和调频斜率一起放大，实现起来方便，这是它流行的主要原因。中远程雷达那些要拿微弱回波去顶信噪比的场合，线性调频几乎是默认选择。这种信号用模拟电路能产生，用数字方式也能产生，压缩比要做大，两条路都走得通。
它的模糊函数是斜着的一道刀背，不是一个点。刀背意味着多普勒容限大：目标速度估得不准，补偿不到位，沿着这道脊在别的地方找，峰值仍然在。检测高速目标时这一点很有用。
多普勒容限指的是使匹配滤波峰值下降不超过 3 dB 的多普勒失配范围。3 dB 是半个能量，一个习惯的工程口径。这个概念有历史背景。早年处理能力有限，不可能对每个可能的多普勒挨个补，只能靠波形本身宽厚一些。
算力便宜之后，这事要重新看。速度范围大致知道，战斗机最多两倍音速，多普勒落在有限区间里，把 fdf_dfd 挨个试，一个一个做匹配滤波，总有一个出峰。这么做还附带一个好处：找到峰的那个 fdf_dfd 就是目标的速度。
容限太大反而测不出速度。fdf_dfd 等于零出一个峰，100 Hz 也出峰，1000 Hz 还是出峰，谁也不知道真实速度是多少。容限大对检测是好事，对测速是坏事，同一个性质的两面。
刀背的代价在另一头。目标的多普勒没补准时，峰值出现的位置在时延轴上偏了一截。这一截就是距离误差。
把回波写出来。延时 τ\tauτ，多普勒 fdf_dfd：
r(t)=Aexpjπ(−B(t−τ)+BT(t−τ)2)ej2πfdtr(t)=A\exp\leftj\\pi\\left(-B(t-\\tau)+\\dfrac{B}{T}(t-\\tau)\^2\\right)\\righte^{j2\pi f_dt}r(t)=Aexpjπ(−B(t−τ)+TB(t−τ)2)ej2πfdt
展开相位，按 ttt 的幂次归并：
Φ(t)=πBTt2+2π(fd−BTτ)t+π(BTτ2+Bτ)\Phi(t)=\pi\dfrac{B}{T}t^2+2\pi\left(f_d-\dfrac{B}{T}\tau\right)t+\pi\left(\dfrac{B}{T}\tau^2+B\tau\right)Φ(t)=πTBt2+2π(fd−TBτ)t+π(TBτ2+Bτ)
二次项只与调频斜率有关，与 τ\tauτ、fdf_dfd 无关。常数项与复反射系数混在一起，分不开，因为回波的复幅度未知，无法判断这个常数相位来自延时还是来自目标反射。真正带信息的是一次项，系数里 fdf_dfd 与 τ\tauτ 各占一份。
匹配滤波在频域找峰，测到的是 ατ\alpha\tauατ 与 fdf_dfd 之差，α=B/T\alpha=B/Tα=B/T 是调频斜率：
f^=fd−ατ\hat{f}=f_d-\alpha\tauf^=fd−ατ
一个方程，两个未知数。这就是距离-多普勒耦合。目标在动，测出来的距离就不对：
Δτ=fdα=fdTB\Delta\tau=\dfrac{f_d}{\alpha}=\dfrac{f_dT}{B}Δτ=αfd=BfdT
代入两组典型参数，量级差别很明显。
| 带宽 | 时宽 | 多普勒 | 时延偏移 | 距离偏移 |
|---|---|---|---|---|
| 1.5 MHz | 1 ms | 50 kHz | 33.3 μs | 5.0 km |
| 100 MHz | 20 μs | 0.5 kHz | 0.1 ns | 1.5 cm |
窄带长脉冲的雷达，一个高速目标能让距离读数偏出几公里。宽带短脉冲的雷达，同样量级的多普勒几乎不引起偏移。耦合的严重程度由 fdT/Bf_dT/BfdT/B 决定，也就是由调频斜率决定。斜率越陡，同样的速度引起的偏移越小。
要解耦，再发一个脉冲，换一个调频斜率。两个方程两个未知数，解出来就是真实的延时与多普勒。也有发一个线性调频、再发一个不调频的做法，同样能把这两个数分开。
耦合不是设计缺陷，它是刀背的另一面。多普勒容限大，意味着模糊函数在时延方向上被拉长；容限小，脊就直，耦合就轻。体积一定，一头宽一头窄，没有白拿的好处。
十二、去斜
线性调频还有一种别的波形做不了的处理方式，叫去斜，英文 DeChirp。
常规匹配滤波要把整个带宽 BBB 接收下来，采样率得按 BBB 设计。带宽做到几个 GHz，采样就成了大问题。去斜换个思路。
时频图上，发射信号是一条斜率为 α\alphaα 的直线。回波是它的平移副本。在回波大致位置附近取一个延时 τ0\tau_0τ0，把发射信号平移 τ0\tau_0τ0 得到参考信号，让回波与参考信号共轭相乘：
图 7：去斜的时频关系
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.14
r(t)ref∗(t)=expj2πα(τ0−τ)t+jϕ0r(t)\mathrm{ref}^{\ast}(t)=\exp\leftj2\\pi\\alpha(\\tau_0-\\tau)t+j\\phi_0\\rightr(t)ref∗(t)=expj2πα(τ0−τ)t+jϕ0
两条斜率相同的直线相减，差是常数。相乘之后的信号是一个单频信号，频率
fb=α(τ0−τ)f_b=\alpha(\tau_0-\tau)fb=α(τ0−τ)
差频与延时差成正比。回波比参考信号早到，差频为正；晚到，差频为负；差得越远，频率越高。测一个频率，等于测一个距离。
这样一来，不必按 BBB 采样，只要把差频所在的窄带采下来，做一次 FFT，峰在哪个频率，回波就离参考点多远。距离门开得窄，差频就小，需要采的带宽也小。几 GHz 的瞬时带宽配上几 MHz 的采样率，中间的差值就是去斜省下来的。
毫米波雷达动辄 4 GHz、6 GHz 的带宽，靠的就是这条路。这么大的带宽，没有哪块 AD 能直接按奈奎斯特采下来，差拍把它换成几兆之后才采得动。
前提是线性调频。时频曲线要是弯的，两条曲线的差随时间变，差拍出来不是单频，后面的 FFT 就废了。这一条把去斜锁死在 chirp 这一类波形上。
去斜的毛病有两条。第一是运动目标的距离走动，也就是上一节那个耦合；第二是旁瓣高。
十三、非线性调频与合成带宽
线性调频的两个短板，一个是对抗性差，一个是旁瓣高。
对抗性差是因为波形太单一。测到时宽与带宽，调频斜率就定了，信号形式完全确定，对方照着做一个干扰信号并不难。
旁瓣高，大概在 -13 dB 到 -16 dB 这个量级，遇到强目标就会从旁瓣里漏出来。
非线性调频改的是时频曲线的形状。让频率在两端变化得快，在中间变化得慢，等价于把高频段的时间分得少一些，把低频段的时间分得多一些。频谱因此变成中间高、两端低的形状，不再是方的，旁瓣跟着降下来。
图 8：三种典型的非线性调频时频曲线
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.15
主瓣附近的谱是低频分量，抖动得快的是高频分量。要让高频分量低，就少给它时间。这个直觉对任何曲线的形状都成立，折线也好，S 形也好，分段也好。
代价在主瓣与多普勒容限上。主瓣会比 1/B 略宽一点，量级还是 1/B；多普勒容限跟着降低。容限是那道斜脊带来的，脊的形状变了，容限也跟着变。这一条与上一节说过的耦合是同一个代价。
除了在单个脉冲内部把带宽撑开，还有一条路：把一个大的带宽分到若干个脉冲里去。第一个脉冲只有 5 MHz，第二个还是 5 MHz，一共发 64 个，每个脉冲的中心频率不一样。把这 64 个脉冲看成一个整体，带宽就是 64 个 5 MHz 铺开的那一段，比单个脉冲宽了几十倍，分辨率的分母跟着换成了它。这种做法叫合成宽带，或者叫合成带宽。
图 9：步进频与捷变频的载频分配
图源：04_第四讲雷达波形.pdf p.16
中心频率随时间怎么变，有两种走法：线性地变，或者随机地变。图上两种走法各画了一张，线性变化的那种叫步进频，随机跳变的那种叫捷变频。
效果随脉冲数变化。只有一个 5 MHz 脉冲的时候，目标看过去就是模模糊糊的一团；脉冲一个个在频率轴上排开、堆叠起来，分辨率跟着涨，先是能分出机尾、机身、机头，再往后能看出它到底有几个翅膀，或者更小一点的结构。单个脉冲给不出的带宽，由一串脉冲在频率轴上排开来凑，带宽是从时间上换来的。