《飞控数学与控制 · 新手入门连载》第 15 期｜状态观测器：Luenberger 观测器与状态重构------看不见的状态也能估计
摘要 / 导读
上一期我们用极点配置与 LQR 让系统"按意愿行动"，但 LQR 的前提是全状态反馈 ：控制器需要知道 x 的每一个分量。现实中很多状态根本测不到（无人机机体的角加速度、陀螺仪的常值漂移、电机内阻压降......）。本期解决这个问题：状态观测器------用一个"影子系统"（Luenberger 观测器）在线重构无法直接测量的状态，并证明它与真实状态的误差可以按我们指定的速度衰减到零。最后结合飞控场景说明"分离原理"如何让 LQR + 观测器协同工作。
一、为什么需要观测器
第 14 期的状态反馈 u = −Kx 中，K 由 Riccati 方程求出，但x 必须已知。现实矛盾：
- 无人机角速度环：期望跟踪角速度，但角加速度 ẋ 无法用传感器直接测得；
- IMU 陀螺仪有常值零漂 b：b 是状态却测不到，只能"估"；
- 某些量测噪声太大：直接微分 y 会放大噪声（第 12 期微分滤波的教训），不如用模型重构。
能观性（第 13 期）告诉我们：只要 (A, C) 能观，系统的全部状态就蕴含在输入输出序列 (u, y) 里。观测器就是把"蕴含"变成"显式估计"。
二、开环观测器：先复制一个"影子系统"
考虑线性系统：
\\dot{x} = Ax + Bu, \\qquad y = Cx \\tag{1}
一个朴素想法：用同样的 A、B 复制一套：
\\dot{\\hat{x}} = A\\hat{x} + Bu \\tag{2}
定义估计误差 e = x - \\hat{x}。两式相减：
\\dot{e} = \\dot{x} - \\dot{\\hat{x}} = (Ax + Bu) - (A\\hat{x} + Bu) = A e \\tag{3}
误差动力学 \\dot{e} = Ae 完全不受输入影响------这是关键发现：误差的演化只由 A 决定。若 A 稳定，e 最终衰减到零；若 A 不稳定（或衰减太慢），估计永远追不上。
开环观测器的问题 ：① 衰减速度由系统自身极点决定，不可控；② 对初始误差、建模误差、扰动毫无抵抗。所以必须用测量 y 反馈校正。
三、Luenberger 观测器：注入量测修正
既然真实输出 y = Cx 可测，就把"预测输出 ŷ = Cx̂"和真实输出的差乘上增益 L，反馈进影子系统：
\\dot{\\hat{x}} = A\\hat{x} + Bu + L\\,(y - C\\hat{x}) \\tag{4}
这就是 Luenberger 观测器。再看误差动力学：
\\dot{e} = \\dot{x} - \\dot{\\hat{x}} = Ax + Bu - \\big\[A\\hat{x} + Bu + L(y - C\\hat{x})\\big\]
代入 y = Cx，逐项展开（技巧：把 Bu 抵消掉）：
\\dot{e} = A x - A\\hat{x} - L(Cx - C\\hat{x}) = (A - LC)\\, e \\tag{5}
核心结论 ：误差动力学变成 \\dot{e} = (A - LC)e。只要我们选择 L 使矩阵 (A − LC) 的特征值（观测器极点）落在期望位置，误差就以对应速度指数衰减。我们彻底掌控了估计的收敛速度。
直观理解：L 就是"相信测量 y 多少、相信模型 x̂ 多少"的权衡旋钮。L 越大，量测修正越强，收敛越快；但噪声也越容易被放大。
图 15-1 Luenberger 观测器结构框图（示意）：真实系统与观测器共用输入 u，观测器以量测修正项 L(y − ŷ) 闭环，误差注入点使 ė = (A − LC)e。
四、如何设计 L：对偶原理（本期推导技巧）
第 14 期我们学过极点配置：找 K 使 (A − BK) 极点任意配置。现在要找 L 使 (A − LC) 极点任意配置。两者惊人地对称：
对 (5) 两边取转置（技巧：转置不改变特征值）：
(A - LC)\^T = A\^T - C\^T L\^T \\tag{6}
记 \\bar{A} = A\^T,\\ \\bar{B} = C\^T,\\ \\bar{K} = L\^T，则 (6) 变成：
(A - LC)\^T = \\bar{A} - \\bar{B}\\bar{K} \\tag{7}
这正是第 14 期的状态反馈极点配置问题！(A − LC) 的特征值 = (Ā − B̄K̄) 的特征值。于是：
设计步骤（对偶法）： 1. 对 (Aᵀ, Cᵀ) 执行 Ackermann/place 极点配置，得到 K̄； 2. 取 L = K̄ᵀ； 3. 验证 (A, C) 能观 ⟺ (Aᵀ, Cᵀ) 能控------这就是"能观性"与"能控性"的对偶（呼应第 13 期）。
能观性保证：只要 det C; CA; ...; CAⁿ⁻¹ ≠ 0，上述设计必定有解。工程上常把观测器极点取为闭环系统极点的 2~5 倍快（带宽分离），既保证收敛又不过度放大噪声。
图 15-2 观测器误差衰减对比（RK4 仿真，dt=0.001s）：同一系统 A=0 1; −4 −5, C=1 0，观测器极点取 −2 与 −10 的误差收敛对比------极点越远收敛越快。
五、分离原理：LQR 与观测器各管各的
现在有两条设计线：反馈 K（控制）和观测器 L（估计）。分离原理（Separation Principle）说：当控制器用估计值 \\hat{x} 做状态反馈 u = −Kx̂ 时，闭环系统的特征值 = (A − BK) 的特征值 ∪ (A − LC) 的特征值。
推导概要：闭环系统写成增广形式：
\\begin{bmatrix} \\dot{x} \\ \\dot{e} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} A - BK \& BK \\ 0 \& A - LC \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x \\ e \\end{bmatrix} \\tag{8}
上三角矩阵的特征值就是对角块特征值之和（技巧：上三角阵特征值 = 主对角块特征值）------所以 K 和 L 可以分开设计，互不干扰。这就是飞控工程中"先设计控制器，再设计观测器"的理论依据。
六、飞控实例：估计角加速度与陀螺仪零漂
PX4 / ArduPilot 的姿态环常把陀螺仪零漂 b 增广成状态：
\\begin{bmatrix} \\dot{\\phi} \\ \\dot{b} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \& -1 \\ 0 \& 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\phi \\ b \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\end{bmatrix} \\omega_m, \\qquad y = \\phi \\tag{9}
- 状态 x₁ = φ 为真实角位置，x₂ = b 为零漂；
- 输入 ω_m 是陀螺仪测量（含漂移），输出 y 来自加速度计/磁力计融合的参考角；
- 设计 L 使 (A − LC) 极点为期望收敛速度：L 的两个分量分别决定"角度修正强度"和"零漂跟踪速度"。
观测器在线输出 b̂，姿态解算时直接减去：\\omega_{true} = \\omega_m - \\hat{b}。这就是互补滤波（第 35 期每日知识）在状态空间下的严格形式------Mahony 滤波器本质是一个特殊设计的非线性 Luenberger 观测器。
七、小结
- 观测器 = 影子系统 + 量测反馈：\\dot{\\hat{x}} = A\\hat{x} + Bu + L(y - C\\hat{x})；
- 误差动力学 \\dot{e} = (A-LC)e，极点由 L 任意配置；
- 设计靠对偶原理：转置成 (Aᵀ, Cᵀ) 的极点配置问题，复用第 14 期工具；
- 分离原理保证 K、L 可独立设计，飞控工程直接受益。
思考题
- 若 (A, C) 不可观，观测器还能收敛吗？为什么？（提示：回看第 13 期能观矩阵）
- L 取太大（观测器极点在很远处）会带来什么副作用？（提示：噪声通道）
- 用 (9) 的模型写出 (A − LC) 的具体形式，并设计 L 使其特征值为 λ₁ = λ₂ = −10。
下期预告
第 16 期「卡尔曼滤波：最优状态估计」------Luenberger 观测器是最优固定增益，卡尔曼滤波则让增益 L 随噪声统计自动变化，是观测器家族的最优解，也是 IMU+GPS 融合的标准答案。
参考资源
- K. Ogata, Modern Control Engineering, 5th ed., Prentice Hall（第 7 章：状态观测器与分离原理）
- 胡寿松,《自动控制原理》(第 6 版), 科学出版社（状态空间部分）
- PX4 Dev Guide: Attitude Estimation（互补滤波/观测器实现）
- R. Mahony et al., "Nonlinear Complementary Filters on the Special Orthogonal Group," IEEE TAC, 2008（飞控版 Luenberger 观测器）