查找与排序算法：复杂度、稳定性

查找解决关键字定位，排序解决记录重排。算法选择不能只看平均时间复杂度，还要考虑数据是否有序、是否要求稳定、是否允许额外空间以及是否必须保证最坏性能。

顺序查找与折半查找

顺序查找逐项扫描，最好为 O(1)，平均和最坏为 O(n)，额外空间为 O(1)。哨兵可以减少边界判断，但不改变渐进复杂度。

折半查找要求序列有序，每轮将区间缩小一半：

cpp 复制代码

int left = 0, right = n - 1;
while (left <= right) {
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (a[mid] == key) return mid;
    if (a[mid] < key) left = mid + 1;
    else right = mid - 1;
}
return -1;

时间复杂度为 O(log n)，空间复杂度为 O(1)。查找第一个或最后一个重复值时，命中后仍需继续收缩边界。

插入、折半插入与希尔排序

插入排序维护有序前缀，将当前元素插入正确位置。它稳定、原地，对近乎有序数据有效，平均和最坏为 O(n²)。

折半插入排序用二分查找减少比较次数，但数组移动仍为 O(n²)，因此总体复杂度不变。

希尔排序按间隔 gap 进行分组插入排序，再逐步缩小间隔到 1。复杂度取决于增量序列，通常不稳定，但比直接插入排序更适合中等规模数据。

冒泡排序

冒泡排序交换相邻逆序元素。加入交换标志后，已经有序时可以提前结束：

cpp 复制代码

for (int end = n - 1; end > 0 && swapped; --end) {
    swapped = false;
    for (int i = 0; i < end; ++i) {
        if (a[i] > a[i + 1]) {
            std::swap(a[i], a[i + 1]);
            swapped = true;
        }
    }
}

最好为 O(n)，平均和最坏为 O(n²)，稳定且原地，但通常只适合小规模或教学场景。

快速排序

快速排序通过枢轴划分区间：

text 复制代码

partition(l, r)
quick_sort(l, pivot - 1)
quick_sort(pivot + 1, r)

平均复杂度为 O(n log n)，最坏为 O(n²)，平均递归空间为 O(log n)。随机枢轴、三路划分和小区间插入排序可以减少退化和常数开销。快速排序通常不稳定。

选择排序

选择排序每轮寻找未排序区间的最小元素并交换到前端。比较次数始终为 O(n²)，交换次数较少，原地但不稳定。

堆排序

堆排序先建立大根堆，再将堆顶最大元素交换到末尾并恢复堆：

cpp 复制代码

for (int i = n / 2; i >= 1; --i) sift_down(i, n);
for (int end = n; end > 1; --end) {
    swap(a[1], a[end]);
    sift_down(1, end - 1);
}

建堆为 O(n)，排序为 O(n log n)，额外空间为 O(1)，最坏复杂度有保证，但不稳定。

复杂度比较

算法	平均时间	最坏时间	空间	稳定性
顺序查找	`O(n)`	`O(n)`	`O(1)`	-
折半查找	`O(log n)`	`O(log n)`	`O(1)`	-
插入排序	`O(n²)`	`O(n²)`	`O(1)`	稳定
希尔排序	依增量序列	依增量序列	`O(1)`	通常不稳定
冒泡排序	`O(n²)`	`O(n²)`	`O(1)`	稳定
快速排序	`O(n log n)`	`O(n²)`	`O(log n)` 平均	不稳定
选择排序	`O(n²)`	`O(n²)`	`O(1)`	不稳定
堆排序	`O(n log n)`	`O(n log n)`	`O(1)`	不稳定

近乎有序数据可优先考虑插入排序；要求最坏 O(n log n) 且内存严格受限时可考虑堆排序；平均性能和缓存行为重要时常用快速排序；需要保持相等元素相对顺序时必须选择稳定算法或增加稳定化处理。