线性代数 [ 向量究竟是什么 ]

线性代数

向量究竟是什么？

前面我们在序言中提到，学习线性代数，需要把数值计算和几何直观联系起来。接下来，我们从最基础的组成部分开始，也就是向量。

大家可能已经接触过向量。学习物理时，我们用它描述速度、位移；编写程序时，我们会看到一组有顺序的数字；学习数学时，又会遇到向量空间这样的概念。

那么，向量到底是一根箭头，还是一组数字？这些看起来不同的说法，又是怎样联系在一起的？

这一篇我们重点讲清楚三个问题：怎样理解向量，怎样用坐标表示向量，以及怎样完成向量加法与数乘。 每一种运算，我们都会先观察几何过程，再看公式和 Python 代码。

三种看待向量的方式

从几何角度看，向量是空间中的箭头

我们先采用最直观的理解：把向量看成空间中的一根箭头。 对于一个非零向量，我们关心的是它的长度，以及它所指的方向。

比如一根箭头表示"向右移动 1 个单位，再向上移动 2 个单位"。只要这段位移没有变化，我们把箭头整体平移到其他位置，它仍然可以表示同一个向量。

图中三根箭头的起点不同，但它们都表示向右 、向上 的位移。我们可以选择其中任何一根，作为这个向量的几何表示。

这里讨论的是自由向量。在具体物理问题中，如果还需要考虑力的作用点等信息，就不能把那些额外信息一起忽略。当前我们先专注于向量本身的加法和数乘。

为了后面讲解方便，接下来我们通常把箭头的起点放在坐标原点。这样，比较两个向量时，我们就能直接观察它们的终点位置。

把起点画在原点，是一种便于观察的约定。 并不是说向量一旦离开原点，就不能再表示原来的位移。后面讲向量加法时，我们还会主动平移其中一根箭头。

从数据角度看，向量是一组有顺序的数字

接下来，我们换一个角度。

假设现在需要分析房屋信息，只关注两个特征：房屋面积 和房屋价格 。我们约定面积使用平方米，价格使用万元，那么一套面积为 平方米、价格为 万元的房屋，可以记录成：

$$
\mathbf h= \begin{bmatrix} 100\\300 \end{bmatrix}
$$
$$
\begin{aligned}
\text{第一项：面积，单位为平方米}\\
\text{第二项：价格，单位为万元}
\end{aligned}
$$


这里我公式插入不出来

这里的两个数字有固定的顺序，第一项记录面积，第二项记录价格。顺序一旦改变，数据含义就改变了。 在同一套约定下，[100, 300] 和 [300, 100] 不能混用。

这就是使用二维向量表示一条房屋记录：每条记录包含两个坐标分量。将来增加楼龄、房间数量等特征，就需要更多的分量。

大家需要区分两件事：房屋本身存在于三维物理空间，并不意味着描述房屋的数据向量只能有三个分量。数据向量的维数，取决于我们选取了多少个特征。

还有一个实际问题：面积和价格使用不同单位，因此不能把这个特征向量的长度直接解释成现实中的空间距离。改变价格单位，数字就会改变。这里先用这个例子说明"有序数字"的含义，暂时不讨论特征之间的距离度量。

从数学角度看，重点在于运算规则

前面两种理解，一种关注空间中的箭头，另一种关注计算机里的数字。数学会继续追问：能不能找出它们共同遵循的规则？

本章最重要的两种运算，就是向量与向量相加 ，以及一个数与向量相乘。空间中的箭头可以做这两种运算，有序的数值坐标也可以做这两种运算，而且两边的结果能够对应起来。

更一般的向量空间，还可以把满足相应运算规则的多项式、函数等对象当作向量。这里需要补充一点：并不是随便定义一个加号和乘号，就自动得到了向量空间；这些运算还需要满足结合律、分配律等规则。

这部分我们留到后面再展开。当前大家先把三种视角放在一起理解：

看待向量的方式	重点关注什么？	当前可以怎样理解？
几何视角	长度和方向	空间中的箭头
数据视角	分量的顺序和含义	按固定顺序排列的数值坐标
抽象数学视角	对象遵循的运算规则	满足向量空间规则的对象

接下来的主线，是先用箭头建立直观，再用数字描述它。有了坐标，我们就能把图上的变化，交给计算机准确地计算。

向量坐标：把箭头写成数字

二维向量怎样表示？

我们先回到二维平面，画出水平的 轴和竖直的 轴，把它们的交点作为原点 。

在这个固定的坐标系中，我们用一对数记录从原点到箭头终点的位移。第一个数对应水平方向，正数向右、负数向左；第二个数对应竖直方向，正数向上、负数向下。

比如下面这个向量：

它表示从原点出发，向右移动 个单位，再向上移动 个单位。另一个向量：

则表示向右移动 个单位，再向下移动 个单位。

图中的虚线把水平位移和竖直位移分别标记出来。这里"先水平、再竖直"是在说明坐标，走路的先后并不会改变最终位置。我们也可以先完成竖直位移，再完成水平位移。

固定坐标系以后，每一个坐标对，都对应一个唯一的向量；每一个向量，也对应一组唯一的坐标。 如果改变坐标系，同一个几何向量的坐标可能发生变化。这是后面学习基与基变换时需要继续讨论的问题。

大家还会看到两种相近的写法：点 ，以及向量 。前者强调一个位置，后者强调从起点到终点的位移。这里的上标 表示转置，用来把横着写的一行数字表达成列向量。

当起点选在原点时， 的分量正好等于点 的坐标。但如果箭头从 指向 ，它表示的向量就是：

这也解释了前面为什么可以平移箭头：起点和终点一起移动，二者的坐标差保持不变。关于点、箭头和坐标之间的联系，也可以参考佐治亚理工学院教材 Interactive Linear Algebra：Vectors。

三维向量怎样表示？

理解二维向量之后，我们再增加一根与 轴、 轴都垂直的 轴，就得到了常用的三维直角坐标系。

这时候，需要三个数记录位移：

它表示从原点出发，先沿 轴正方向移动 ，再沿平行于 轴的方向移动 ，最后沿平行于 轴的方向移动 。

图中蓝色箭头表示最终向量，分段路径表示三个坐标分量。三维图画在二维屏幕上，会产生透视效果，但三个分量的含义没有改变。

同样，四维、五维或者更高维的数值向量，也可以按顺序记录四个、五个或更多分量。我们未必能把它们直接画成空间中的箭头，但仍然可以按照明确的规则计算。

使用 Python 创建向量

接下来，我们把前面的向量写到程序里。

这里继续使用 NumPy，新建 Python 文件，命名为 vectors_demo.py。如果当前环境没有安装依赖，可以先执行：

python3 -m pip install numpy

第一步，导入 numpy，创建二维向量和三维向量：

import numpy as np

vector = np.array([1.0, 2.0])
other = np.array([3.0, -1.0])
vector_3d = np.array([2.0, 1.0, 3.0])

print("二维向量：", vector)
print("三维向量：", vector_3d)
print("二维向量的分量个数：", vector.size)
print("NumPy 数组的维数：", vector.ndim)
print("NumPy 数组的形状：", vector.shape)

运行代码，输出结果如下：

二维向量： [1. 2.]
三维向量： [2. 1. 3.]
二维向量的分量个数： 2
NumPy 数组的维数： 1
NumPy 数组的形状： (2,)

这里有一个初学时很容易混淆的地方：数学中的二维向量，可以使用 NumPy 的一维数组存储。

数学里的"二维"，说的是当前向量有两个坐标分量；vector.ndim 说的是数组有几根索引轴。现在只需要一个索引就能访问分量，例如 vector[0]、vector[1]，所以这个数组的 ndim 是 1。

这里两者都没有写错，只是在回答不同的问题。NumPy 对数组形状、索引轴和元素数量的说明，可以查阅官方入门文档。

向量加法：把两段位移连接起来

先观察几何过程

前面我们已经定义了两个向量：

接下来，我们计算 。

先不要急着套公式。我们把 整体平移，让它的起点落在 的终点。然后，从第一个向量的起点出发，向第二个向量平移后的终点画一根箭头，这根箭头就是两个向量的和。

图中左边是首尾相接的画法。我们先按照 移动，再按照 移动，最终到达的位置，与直接按照 移动完全相同。

大家可以把它和数轴上的加法对照一下：先向右走 步，再向右走 步，总效果就是向右走 步。向量加法只是把这种"连续位移"的理解，扩展到了更多方向。

图中右边把两种先后顺序都画了出来，就得到了平行四边形。对角线表示同一个和向量，因此：

这里平移的是箭头的位置，箭头本身表示的位移没有改变。首尾相接之后，第二根箭头的新终点坐标，不能误当成第二个向量自身的分量。 它的分量仍然需要用终点减去起点。

再看坐标怎样计算

按照前面的例子，我们先向右 、向上 ，接着向右 、向下 。把水平和竖直位移分别合在一起：

这样，图上最终到达的位置，与计算出的坐标就对应起来了。一般情况下，两个同维数的坐标向量相加，就是把对应分量分别相加：

这里不只要求分量个数一致，还需要使用相同的坐标约定。 如果两组数据的第一项分别表示面积和价格，即使都包含两个数，也不能不加区分地把对应位置相加。

编写向量加法代码

前面创建数组之后，我们继续添加：

result = vector + other

print("第一个向量：", vector)
print("第二个向量：", other)
print("两个向量的和：", result)

输出结果：

第一个向量： [1. 2.]
第二个向量： [ 3. -1.]
两个向量的和： [4. 1.]

我们可以看到，NumPy 把第一个位置的 1.0 与 3.0 相加，把第二个位置的 2.0 与 -1.0 相加，得到 [4. 1.]。

对于当前同形状的数组，vector + other 对应逐元素相加，也可以写成 np.add(vector, other)。这里的接口含义，可以查看 NumPy 官方 add 文档。

我们再用程序检查首尾相接时的终点：

start = np.array([0.0, 0.0])
first_end = start + vector
second_end = first_end + other

print("第一段位移的终点：", first_end)
print("第二段位移的终点：", second_end)
print("第二根箭头表示的向量：", second_end - first_end)

输出结果：

第一段位移的终点： [1. 2.]
第二段位移的终点： [4. 1.]
第二根箭头表示的向量： [ 3. -1.]

第二根箭头虽然从 画到了 ，它表示的依然是向右 、向下 。这就把向量、起点和终点之间的关系说明白了。

向量数乘：把同一段位移放大或缩小

向量加法讲清楚之后，我们继续学习第二种基本运算：向量数乘，也就是一个数与向量相乘。

这里参与运算的数，我们称为标量 。当前讨论实数向量，所以这里的标量就是一个实数。比如 、、，都可以作为缩放向量的系数。

我们仍然使用 ，分别观察下面几种情况。

乘以正数：方向相同，长度按比例变化

乘以 ，就是把向量伸长到原来的两倍：

乘以 ，就是把长度缩短到原来的三分之一：

这两个例子中，水平和竖直分量按照相同的比例变化，所以得到的非零向量仍然指向原来的方向。

乘以负数：方向反转，长度看绝对值

如果乘以 ：

这时候，箭头指向相反方向，长度变成原来的 倍。负号表示方向反转，并不表示向量的长度变成了负数。

图中各小图使用相同的坐标尺度，虚线表示原向量，实线表示数乘后的向量。大家可以同时对比长度和方向，不能只看箭头的终点处在第几个象限。

一般来说，如果 是非零向量， 是一个非零实数，那么 的长度是原长度的 倍。 时方向相同， 时方向相反。

乘以零：得到零向量

还有一种特殊情况：

这个结果称为零向量 。它的长度为 ，没有确定的方向，所以图中用原点处的圆点表示。

这里也需要区分：标量 是一个数，零向量 则是当前向量空间中的向量。它们在公式里承担的角色不同，不能因为都写成零，就忽略它们的类型。

把前面的规律写成坐标公式，就是：

向量数乘，需要把每一个分量都乘以同一个标量。 如果只改变某一个分量，一般就不会得到原向量的等比例缩放。

编写向量数乘代码

接下来，我们继续在前面的程序后面添加：

print("伸长到两倍：", 2 * vector)
print("缩短到三分之一：", np.round((1 / 3) * vector, 6))
print("反向并伸长：", -1.8 * vector)
print("乘以零：", 0 * vector)

输出结果：

伸长到两倍： [2. 4.]
缩短到三分之一： [0.333333 0.666667]
反向并伸长： [-1.8 -3.6]
乘以零： [0. 0.]

这里 np.round(..., 6) 只是把三分之一和三分之二的显示结果保留到小数点后六位。数学中的精确值仍然是 和 ，不是有限位小数。

在这段代码里，2 * vector 也可以写成 np.multiply(2, vector)。multiply 执行逐元素乘法，标量 2 会作用到向量的每一个分量，具体可以查看 NumPy 官方文档。

这里讲的是标量与向量相乘 。两个向量的点积、叉积，以及两个数组使用 * 的含义，需要分别讨论，不能把它们直接当成同一种运算。

编写代码时，再注意两个问题

Python 列表相加，不是向量相加

前面我们把坐标向量理解成"有序的数字列表"，但这个数学描述，不代表 Python 的 list 类型会自动执行向量运算。

我们先看下面的代码：

list_vector = [1, 2]
list_other = [3, -1]

print("Python 列表相加：", list_vector + list_other)
print("Python 列表乘以二：", 2 * list_vector)

输出结果：

Python 列表相加： [1, 2, 3, -1]
Python 列表乘以二： [1, 2, 1, 2]

可以看到，列表相加执行的是拼接，列表乘以整数执行的是重复。它们没有按照前面的坐标公式进行计算。

这就是我们在示例中使用 np.array() 的原因：明确使用数值数组，再利用它提供的逐元素运算，表达当前需要的向量加法与数乘。

同样的加号和乘号，对不同类型的对象，可能有不同的含义。 代码没有报错，不一定代表完成了我们想要的数学运算。运行之后，还需要检查输出的分量和形状。

对应分量相加，先检查形状与含义

前面的两个二维向量，都使用形状为 (1, 2) 的数组存储，所以对应分量能够直接相加。

如果一个数组使用 (1, 2)，另一个却使用 (2, 1)，NumPy 可能按照广播规则得到一个 (2, 2) 的数组。这个结果虽然符合程序库的运算规则，却不是我们当前想求的两个向量之和。

因此，当前练习统一使用前面的一维数组写法。做加法之前，先确认两者的分量个数、数组形状以及每一项的含义；二维位移与三维位移，也不能直接按本章的规则相加。

先明确数学对象，再选择代码表示。 这样，数值计算才能和我们脑海里的箭头保持一致。

为什么要从这两种运算开始？

到这里，向量加法和数乘都已经讲解完成。大家可能会觉得，这两种运算并不复杂，为什么需要花时间从图像和代码两个角度讲一遍？

因为后面很多操作，都需要把它们组合起来。

比如我们先把 放大到原来的两倍，再加上 ：

从几何上看，就是先按照 移动，再按照 移动；从数值上看，就是先对每个分量乘以 ，再完成对应分量相加。

我们在程序中继续添加：

combined = 2 * vector + other
print("先数乘，再相加：", combined)

输出结果：

先数乘，再相加： [5. 3.]

像这样，把向量分别乘以标量，再把结果相加，就是后面要学习的线性组合。这一篇先认识这个形式，下一篇再继续讨论：改变这些标量，最终能够到达哪些位置？

大家现在可以回头看，向量的两种具体理解已经联系起来了：箭头帮助我们判断一次运算在做什么，坐标帮助我们把运算准确写出来，程序则按照相应规则完成计算。

对于数据分析，我们能够通过向量运算理解一组数字怎样变化；对于图形程序，我们能够把希望发生的空间变化，转成计算机可以处理的数值。后面学习时，我们会不断在这两种视角之间切换。

先自己算一遍，再运行代码

正式进入下一篇之前，我们先做三个很小的练习。仍然使用 和 ：

1. 不运行程序，先画出 ，再换一个先后顺序画出 ，看看最终位置是否相同。
2. 画出 ，解释为什么它与 相加后会得到零向量。
3. 先手算 ，再把程序里的表达式改成 vector + 2 * other，检查输出。

第三题的计算结果是 ，对应向右移动 个单位，竖直方向的位移正好抵消。这里向量的长度并不为零，只是其中一个分量为零，需要和零向量区分开。

安装 NumPy 后，在本文所在目录执行：

python3 examples/vectors_demo.py

看输出时，可以逐项对照前面的图和公式。我们需要能够说明：这个结果表示哪一段位移，为什么对应这些数字，以及换一个起点之后，哪些内容会改变、哪些内容仍然相同。

到这里，向量的基本含义、坐标表示、向量加法和向量数乘就讲解完成了。下一篇，我们继续学习：线性组合、张成的空间与基。

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参考资料与配套内容

• 上一篇：线性代数 序言 。
• 教材补充：Interactive Linear Algebra：Vectors。
• 代码接口：NumPy 数组入门、逐元素加法、逐元素乘法。