377.组合总和 Ⅳ(背包)

INGNIGHT2026-10-25 9:22

链接：377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

题解：

组合总和 IV

dp $i$ 目标位i的组合组数是多少

dp $i$ = dp $i-A0$ + dp $i-A\[1$ ] .. dp $1-A\[n-1$ ]，枚举所有最后一个数字的可能

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        int len = nums.size();
        if (len <= 0) {
            return 0;
        }
        vector<unsigned long long> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; ++i) {
            for (int j = 0; j < nums.size(); ++ij) {
                if (i - nums[j] >= 0) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

外层循环决定"转移时被复用的 dp 值是完整的，还是只含部分物品的"。

本题 dp[j] 的语义是"和为 j 的排列数"，转移是：

cpp

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dp[j] = Σ_{num ∈ nums, num ≤ j} dp[j - num]

要让这个式子成立，右边每个 dp[j - num] 必须是完整的排列数（所有物品都能参与）。而它什么时候完整，取决于循环顺序。

1. 从"最后一步"看

一个和为 j 的排列，最后一步 可以是任意 num，前面部分是任意和为 j - num 的排列。

所以：

text

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dp[j] = dp[j-1] + dp[j-2] + dp[j-3] + ...
        ↑ 最后一步是 1、2、3……

这里 dp[j-num] 必须是"任何物品都能用"的完整排列。

外层容量 j：

cpp

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for (int j = 1; j <= target; ++j)
    for (int num : nums)
        dp[j] += dp[j - num];

当你在第 j 层累加时，dp[j-num] 已经在之前的轮次里把所有物品都累加完了，它是完整的。✓

外层物品 num：

cpp

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for (int num : nums)
    for (int j = num; j <= target; ++j)
        dp[j] += dp[j - num];

当你在处理物品 num 时，dp[j-num] 只吸收了当前及之前处理过的物品，还没轮到后面的物品。它是"半成品"。用半成品去转移，就等于强制"前面的物品编号 ≤ 当前物品编号"