线性代数 [ 序言 ]

线性代数

为什么要重新认识线性代数？

从这篇开始，我们一起学习线性代数。这一篇先把学习方向讲清楚：我们需要掌握哪些计算，这些计算又对应什么样的几何含义。后面遇到向量、矩阵、行列式时，我们会把公式和图像放在一起理解。

学习计算机、工程、统计学或者经济学，大家经常会接触到线性代数。比如计算机图形学中的旋转和缩放、统计学中的线性模型，以及我们前面接触过的向量嵌入与相似度计算，都离不开向量、矩阵这些基础工具。

但是，接触过这些工具，不一定代表我们已经理解了它们。

大家可以回想一下，第一次学习线性代数的时候，我们通常会做什么？计算矩阵乘法，展开行列式，求解线性方程组，再根据公式计算特征值、特征向量。题目做得多了，计算步骤也越来越熟练。

这时候，如果把问题换一下：矩阵乘法为什么要这样计算？行列式算出来的那个数，到底表示什么？特征向量又有什么特殊的地方？ 我们就不一定能说明白了。

这里有一个非常关键的区别：能够按照规则完成计算，和能够解释这次计算的含义，是两件需要分别训练的事情。

数值计算与几何直观

我们先把理解线性代数的两个角度区分清楚：数值计算 和几何直观。

数值计算，重点关注的是具体怎么做。比如给定一个矩阵和一个向量，我们按照乘法规则，计算出新的向量；给定一个方阵，我们按照对应方法，计算出它的行列式。

几何直观，重点关注的是这个过程发生了什么。向量原来指向哪里，变换后又指向哪里？一个正方形经过变换后，面积扩大了还是缩小了？哪些向量在变换前后，仍然落在自己原来所在的直线上？

我们可以把它们放在一起对比：

理解角度	重点关注的问题	以矩阵作用于向量为例
数值计算	按什么规则运算，结果是多少？	计算向量变换后的坐标
几何直观	这个运算做了什么，结果意味着什么？	观察向量如何移动，平面如何变化

这里需要大家重点注意：这两个角度需要配合使用。 只有图像，我们可能知道大致发生了什么，却无法准确求出结果；只有计算，我们可能得到一组正确的数字，却不知道应该如何解释它。

比如后面遇到一个变换，我们从图上看到它把整个平面压到了一条直线上。即使还没有开始计算，也能先作出一个判断：不同的点可能会落到同一个位置，原来的信息无法全部恢复。

接下来再用矩阵、行列式和方程，把这个判断准确表达出来。这样，我们就把"看见的变化"和"算出的结果"联系起来了。

实际学习中，有时我们觉得老师或者同事特别厉害，好像一眼就知道应该使用什么方法。这里面有一个很重要的原因：他们能够从公式中识别出熟悉的结构，先判断这个问题大致在做什么，再选择对应的计算工具。

我们接下来要建立的，就是这样的联系。

先用正弦函数理解这件事

前面的说法可能还有一些抽象，我们先来看一下大家可能都知晓的正弦函数。

假设我们第一次接触正弦函数，学到的就是下面这个公式：

这里的使用弧度。为了计算近似值，我们把一个数代进去，保留前面若干项，再完成加减运算。

比如取，只保留前三项：

这样当然能够得到一个很接近正确答案的数值。但是，如果我们只知道这套计算过程，却不知道正弦函数和角度、三角形、圆有什么关系，后面学习物理中的振动和波动时，依然可能不知道为什么要使用它。

接下来，我们换一个角度看。

在单位圆上，从正轴转过角度，对应点的坐标可以写成：

也就是说，这个点的纵坐标，就是。 当时，这个高度是；当时，点到达圆的最上方，高度就是。

图中左边给出了计算近似值的方法，右边给出了这个值对应的几何含义。对于同一个，我们既能计算出它接近，也能在图上看到这个对应的高度。

有了这样的联系，后面遇到周期变化，我们就更容易想到沿着圆运动的点，以及它不断变化的高度。至于具体数值需要精确到多少位，再交给计算过程完成。

线性代数也有这样的几何直观。 接下来，我们用一个很小的矩阵例子，先感受一下这种学习方式。

从一个矩阵开始，把计算和图像对上

下面的内容只是提前看一眼，大家暂时不需要掌握完整的矩阵理论。我们先观察一个问题：同样一次矩阵运算，能不能同时从数字和图像两个角度把它解释清楚？

先看数值计算

我们定义一个矩阵，再定义一个二维向量：

按照矩阵与向量相乘的规则，用矩阵的每一行，与向量的对应分量相乘后相加：

到这里，我们已经把结果计算出来了：输入向量是，输出向量是。

但是，我们还可以继续问一句：为什么这个矩阵会把送到？它对其他向量又会做什么？

再看几何含义

我们把输入向量写成一般形式：

现在就能看清楚了：这个变换让纵坐标保持不变，把横坐标改成。我们把平面中的每个点，都按照这个规则移动到对应的位置，就得到了下面的图像。

图中蓝色箭头表示我们关注的向量：左边是变换前的，右边是变换后的。绿色和黄色箭头表示两个标准基向量及其落点，填色区域表示单位正方形及其变换后的形状。左右两图使用相同的坐标尺度。

大家可以先关注这两个标准基向量：

它们经过变换后，分别落在：

这两个结果，正好就是矩阵的第一列和第二列。

原来的向量可以写成。线性变换保留向量的加法和数乘关系，所以它变换后的结果，也可以按照同样的系数组合：

这样，前面那套乘法规则就有了具体的解释：矩阵的各列记录标准基向量的落点，再根据输入向量的坐标，把这些落点组合起来。

这里展示的是矩阵与向量相乘。后面学习矩阵之间的乘法时，我们还会继续观察：连续进行两次变换，为什么能够对应到两个矩阵的乘积。

编写代码，验证向量的落点

了解完前面的图像和公式，我们接下来编写代码，把这个计算过程实际运行一遍。

这里使用 NumPy。它是 Python 中常用的数值计算库，能够帮助我们完成数组和矩阵相关的运算。如果当前环境没有安装，可以先在项目终端执行：

bash 复制代码

python3 -m pip install numpy

我们新建 Python 文件，命名为 preface_demo.py。第一步，导入 numpy，并使用 np.array() 创建矩阵和向量：

python 复制代码

import numpy as np

# 二维线性变换：x' = 2x + y，y' = y
matrix = np.array([
    [2.0, 1.0],
    [0.0, 1.0],
])

# 输入向量：横坐标为 1，纵坐标为 2
vector = np.array([1.0, 2.0])

这里的 matrix 是一个两行两列的数组，形状为 (2, 2)。vector 是一个包含两个元素的一维数组，形状为 (2, 1)。在当前的 matrix @ vector 运算中，它表示右侧输入的向量。

注意：数学公式里，我们把向量写成列向量；这里的一维数组本身没有行、列方向。 当前用法不需要额外改成 (2, 1)，NumPy 能够直接完成这次矩阵与向量的乘法。

第二步，使用 @ 运算符计算结果：

python 复制代码

transformed = matrix @ vector

print("原始向量：", vector)
print("变换后的向量：", transformed)

运行代码，输出结果如下：

python 复制代码

原始向量： [1. 2.]
变换后的向量： [4. 2.]

我们可以看到，程序计算出的结果，与前面的手动计算完全对应。这里输出的 1.、2. 表示浮点数，不影响我们对坐标的理解。

接下来，再验证两个标准基向量的落点：

python 复制代码

e1 = np.array([1.0, 0.0])
e2 = np.array([0.0, 1.0])

print("第一个基向量的落点：", matrix @ e1)
print("第二个基向量的落点：", matrix @ e2)

输出结果：

python 复制代码

第一个基向量的落点： [2. 0.]
第二个基向量的落点： [1. 1.]

这就把矩阵里的数字、公式中的计算，以及图里的箭头位置对应起来了。

这里有一个需要提前说明的代码细节：对于 NumPy 数组，矩阵乘法使用 @，对应元素相乘使用 *。 matrix * vector 会按照广播规则进行逐元素乘法，得到的不是前面需要的那个向量。关于 @ 与 np.matmul() 的关系，可以查阅 NumPy 官方文档。

行列式，先理解它在描述什么

接下来，我们继续观察同一个矩阵。

前面图中的单位正方形，变换后成为一个平行四边形。它的底边长度是，高度是，所以面积从变成了。

再计算这个矩阵的行列式：

这两个数值正好对应起来：对于二维线性变换，行列式的绝对值，表示面积的缩放倍数。 当前行列式为，所以面积扩大到原来的倍。

图中左边是我们一直使用的矩阵；中间换成关于轴的镜像变换；右边则把所有点的纵坐标都变成。这三个例子放在一起，可以帮助我们区分行列式的大小、正负与零值。

这里不能把行列式直接理解成面积本身。比如图中间的镜像变换，行列式为，面积仍然保持原来的大小，负号记录的是平面定向发生了翻转；图右边把正方形压到一条线上，面积变成，行列式也为。

我们继续在前面的代码后面添加：

python 复制代码

determinant = np.linalg.det(matrix)
print(f"行列式：{determinant:.1f}")

输出结果：

复制代码

行列式：2.0

np.linalg.det() 用于计算方阵的行列式，具体接口可以查看 NumPy 官方说明。这里保留一位小数，是为了让显示结果更清楚，不能把格式化显示理解成提高了计算精度。

到这里，我们再看这个 2.0，就能解释它在当前例子中表示什么：变换后的面积，是原来面积的两倍。

特征向量，先观察特殊的方向

特征值到底代表什么？我们仍然用前面的矩阵，先看两个具体例子。

第一个向量，取水平方向的：

我们可以看到，这个向量变成了原来的两倍，但仍然沿着原来的水平方向。

第二个向量，取：

这个向量经过变换，位置和长度都没有改变。

像这样，一个非零向量经过矩阵作用后，结果仍然是它自身的某个倍数，就满足：

其中，称为这个矩阵的特征向量 ，称为对应的特征值 。在当前例子中，对应的特征值为，对应的特征值为。

这个几何解释针对实数情形：当特征值为负数时，向量还会反向；当特征值为时，向量会被压到原点。因此，直接说"特征向量的方向永远不变"并不准确。这里需要抓住的是结果仍然等于原向量乘上一个数。

我们也可以继续用代码检查刚才的两个等式：

python 复制代码

u = np.array([1.0, 0.0])
w = np.array([-1.0, 1.0])

print("A @ u：", matrix @ u)
print("2 * u：", 2 * u)

print("A @ w：", matrix @ w)
print("1 * w：", 1 * w)

输出结果：

python 复制代码

A @ u： [2. 0.]
2 * u： [2. 0.]
A @ w： [-1.  1.]
1 * w： [-1.  1.]

这里我们只是验证两个已经给出的向量，暂时没有讲如何求解特征值。后面需要自动计算时，可以使用 np.linalg.eig()，再把计算结果与几何图像对应起来。

还需要注意：并非每个实矩阵，在实数范围内都存在特征向量。 比如二维平面上绕原点旋转的变换，就不会让任何非零实向量变成自身的实数倍。这部分我们留到对应章节再展开。

接下来，我们会学习哪些内容？

前面的矩阵例子，只是为了提前建立一个印象：线性代数里的数字，能够对应到具体的几何变化。正式学习时，我们仍然会从向量开始，把需要的基础逐步补齐。

结合这个系列的内容，我们可以先了解下面这些问题：

后续内容	我们重点理解的问题
向量	一个向量可以怎样理解，坐标又在记录什么？
线性组合、张成空间与基	给定几个向量，能够通过组合到达哪些位置？
矩阵与线性变换	一个矩阵如何描述向量和空间的变化？
矩阵乘法	连续进行两次变换，如何用一个矩阵表示？
行列式	面积、体积怎样变化，定向是否发生翻转？
逆矩阵、列空间、秩与零空间	哪些输出能够到达，哪些信息会在变换中丢失？
点积、叉积与基变换	如何理解投影、垂直关系，以及坐标描述的变化？
特征向量、特征值与抽象向量空间	哪些向量满足特殊的变换关系，这些运算还能推广到哪里？

大家暂时不需要记住所有名词。比如现在还不理解"零空间"或者"基变换"，完全可以先放下。后面学到相应内容时，我们会先说明它要解决什么问题，再给出定义、公式和对应例子。

这里的学习顺序也有它的原因：理解向量和线性组合，才能更自然地解释矩阵的列；理解矩阵表示的变换，才能继续解释行列式、逆矩阵和特征向量。

前面的几何理解，会成为后面理解公式的基础。 所以遇到不熟悉的地方，我们可以回到前面的图像，检查自己是否理解了正在发生的变化。

这个系列应该怎样学习？

最后，我们再说明一下学习方法。

这个系列的重点，是帮助大家建立几何直观。完整的定义、证明和习题训练，仍然需要结合教材与课程继续学习。特别是高维空间和抽象向量空间，无法把每个对象都直接画出来，我们需要把二维、三维中形成的理解，逐步转化为准确的数学表达。

第一，看到关键图像时，可以先暂停，自己预测一下结果。

比如回到前面的矩阵，不运行程序，先想一想：向量会落在哪里？向量呢？我们可以先根据图像判断，再手动计算，最后用代码验证。

第二，运行代码之后，要能解释输出。

看到 [4. 2.]，需要知道它是哪个输入向量的落点；看到行列式 2.0，需要知道它与面积变化的关系。如果只是把代码运行成功，却无法解释输出，那么这部分内容还需要回头再看。

第三，不要把"跟得上讲解"直接当成"已经掌握"。

看视频时，图像和结论都已经摆在面前，我们很容易觉得每一步都能理解。可以把视频或者文章暂时关掉，自己画出变换前后的两个基向量，再说明矩阵的两列为什么对应它们的落点。能够独立完成这个过程，才更容易在新的题目中使用这部分知识。

我们可以先做一个很小的练习：把代码中的 vector 改成 np.array([2.0, 1.0])。运行之前，先写下自己预测的结果；运行之后，再对照公式、解释为什么得到。

这个练习不复杂，但它把预测、计算和解释连在了一起。后面学习新的内容时，我们也会继续采用这种方式。

学习前，再说明几个常见问题

没有学过线性代数，能直接开始吗？

可以从向量开始学习这组直观讲解，先熟悉平面坐标和基础代数运算。本文提前出现的行列式、特征向量，只用于展示后面会怎样理解它们，暂时不要求大家会求解。

已经有计算机了，还需要自己练习计算吗？

需要。规模较大的数值运算可以交给计算机，但我们仍然要理解基本规则，能够用小例子检查输入、运算顺序和输出。比如分清 @ 与 *，就需要知道自己实际想计算什么。

看懂这些图，就算学会线性代数了吗？

还需要继续练习。图像能够帮助我们建立理解，定义和证明帮助我们判断结论什么时候成立，习题则帮助我们把这些知识用到新的问题里。后续学习时，这几个部分需要一起推进。

到这里，序言部分就讲解完成了。下一篇，我们从最基础的问题开始：向量究竟是什么？

参考资料与配套内容

代码接口：NumPy 矩阵乘法、行列式、特征值与特征向量。