混凝土岩石材料
混凝土材料在Radioss中可以用LAW10、LAW21、LAW102、LAW24和LAW81来描述。这些材料模型使用Drücker--Prager屈服准则1，它是一种使用压力来判断材料失效还是材料进入塑性的模型。
LAW10和LAW21
这两种材料卡片非常类似，他们的区别在于压力vs体积应变关系在LAW10中是参数输入，而LAW21中是曲线输入。
LAW102和LAW10
这两类卡片也非常类似，他们之间的区别是LAW10使用Drücker--Prager屈服准则，而LAW102是通过Mohr-Coulomb参数描述Drücker--Prager屈服准则。
此外，LAW10还可以结合/EOS/COMPATION来描述混凝土的状态方程（比如在爆炸中）。
LAW24
LAW24材料模型是从Ottosen三轴破坏面推导出的屈服面，并且建立了正交各向异性损伤模型，可以考虑高压应力下的Cap模型。这个模型可以通过附加参数或者附加的beam单元描述钢筋混凝土材料。
LAW81
LAW81材料模型是基于Drücker-Prager屈服准则和Cap模型的。它有一个基于Foster原理的应变硬化Cap模型，且在塑性阶段可以考虑各向同性硬化。
Radioss中的这些混凝土材料模型都可以用于ALE模拟（爆炸），LAW24和LAW81也常用于拉格朗日模拟。
Drücker-Prager屈服准则
01 LAW10和LAW21中使用的Drücker-Prager屈服准则
在LAW10和LAW21中材料进入屈服的判断如下：
这里J2是应力第二不变量（也就是Von-Mises应力）。
P是静水压力：
I1是应力第一不变量（用于描述体积变形）
这里使用压力的多项式
来描述Drücker-Prager 屈服准则的材料的屈服面。
这里多项式系数A0,A1,A2由拟合实验数据得到。
所以对于Drücker-Prager 屈服准则为：
如果F<0，那么：
则材料处于屈服面下的弹性阶段。
如果F=0， 那么 ：
则材料处于临界的屈服面上。
如果F＞0， 那么：
则材料超出屈服面，那么应力将不再变大，而且始终映射回应力面。
02 LAW81的Drücker-Prager cap模型
在LAW81中使用Drücker-Prager Cap模型，它的屈服准则是:
这里 q是von Mises 应力
而 p 是压力
上图是LAW81 带有cap模型的屈服。这个屈服分为两部分描述：
上图中 ① (P≤Pa) 部分
即von Mises 与压力是线性关系:q=tanΦ+c
这里 c 是内摩擦力，与剪切强度屈服包络有关。如果c=0那么材料没有拉伸强度。混凝土的拉伸强度一般要远小于压缩强度。Φ是混凝土材料内摩擦角，也就是屈服包络线的斜率。
c和Φ也是可以用于定义Mohr--Coulomb 屈服面的。Drücker--Prager 屈服只是Mohr--Coulomb 屈服的光滑形式。
上图中 ② (Pa＜P＜Pb)部分就是描述屈服面中的Cap部分。通常混凝土的屈服会随着压力的增大而提升，但是不能无限制提升，在压力足够的的时候会出现压溃而导致屈服面下降。
那么这个下降的过程就可以使用Cap模型描述。在LAW81中Cap模型如下描述：
那么von-Mises应力即为:
参数Pb可以在LAW81中的fct_IDPb 定义。Pa 由Radioss通过输入的参数α自动计算。
Pa=α·Pb；0＜α＜1
P0是屈服面上最高点，即：
当混凝土内压力P=Pb, 那么rc(pb)=0也就是 q=0·(p·tanΦ+c)，即混凝土压溃了。
在LAW81材料卡片中输入的参数Φ，c，pb，α用于确定 Drücker--Prager 屈服面。因此至少需要4个试验数据点来拟合这些参数。
最简单的比如单轴拉伸，单轴压缩试验数据可以确定线性部分参数Φ和c。至于参数pb和α可以通过一些双轴压缩试验得到。
下面的示例通过经典的Kupfer2试验来讲解如何拟合LAW81参数。
不同载荷下的数据点描述LAW81 屈服面
对于大多数材料，如金属，塑性应变增量可以认为是垂直于屈服面。但是如果使用这种方法的塑性应变增量用于岩石或混凝土材料，则会高估塑性体积膨胀。因此，在这些材料中通常使用非关联塑性流动规则。
在LAW81中，塑性流动函数G定义如下：
当压力超过p0时, 描述混凝土屈服的F函数和描述塑性流动的G 函数是相同的并且满足下面的条件：
当压力在p0时用屈服描述为：
而用塑性流动G描述为：
这样参数ψ就可以求得。
LAW81混凝土材料的屈服和塑性流动。
03 LAW24的Drücker-Prager Cap模型
Radioss中的LAW24（CONC）是专门用于混凝土的材料模型。这里讨论一下如何理解这个材料模型卡片中的参数，以及如何通过简单的实验来拟合实际材料的性能。
由于LAW24是从Ottosen三轴破坏面推导出的屈服面。所以下面我们分别通过混凝土的拉伸压缩失效来讲解LAW24混凝土的屈服。
混凝土拉伸失效
在LAW24卡片中参数Ht，Dsup，εmax用于描述混凝土材料在拉伸时出现失效。
在最初的非常小的弹性阶段中使用的弹性模量为Ec。
当拉伸应力达到拉伸强度 ft 后混凝土开始软化，使用软化切线模量Ht。
最大损伤系数Dsup也是非常有用的。因为它能够模拟裂纹期间和之后的残余刚度。
残余刚度计算为:
当裂纹闭合时，混凝土再次变得弹性，并且损伤系数（每个方向）被保存。混凝土在拉伸中的承载能力比压缩低得多。所以通常拉伸被认为是弹性的。
为了尽量减少损伤结束前的当前刚度，从而避免拉伸中的残余应力，建议选择Dsup值接近 1 (默认值为 0.99999)。因为很高的残余应力会导致在拉伸时出现非常大的单元变形，尤其在使混凝土拉伸失效的力任然存在时会发生。
可以调整Dsup(以及Ht) 以模拟混凝土使用钢筋等加劲加固时的力学行为。混凝土材料一旦达到总失效应变εmax就会失效。
混凝土压缩时的屈服面
对于混凝土，屈服面是失效表面是塑性硬化带的开始，这个塑性硬化带是指在失效面 rf 和屈服面之间的区域。
在拉伸阶段是假设屈服面和失效面是同一个的，而在压缩阶段屈服面与失效面之间成系数k(σm，k0)关系，此时的屈服如下计算：
对于 Icap=0 或者 1（没有Cap） 屈服面如下:
对于 Icap=2 (有Cap) 屈服面如下:
👉 当r＜ k(σm，k0)·rf (上图中的Elastic标注的区域), 即材料处于弹性阶段；
👉 当r ≥ rf 上图中的Failure标注的区域), 材料失效；
👉 当 k(σm，k0)·rf＜ r＜rf (上图中Plastic标注的区域), 表示材料处于屈服面以上，但是低于失效表面，即处于塑性硬化阶段。
参数ρt是单轴拉伸时的静水压力失效值，ρc是单轴压缩时的静水压力失效值。
👉 当σm ≥ ρt(即处于拉伸阶段), 系数k(σm，k0)=1。即这个阶段屈服面和失效面是一样的，即r=rf。
👉 当ρt＞σm＞ρc（即在拉压区域），则系数为：
👉 剩下的区域就是σm ＜ρc，即需要Icap选择Cap模型，此时的系数如下计算：
如果 Icap=0 或者1且σm ＜ρc(即在受压区), 那么k(σm，k0)=ky
如果Icap=2且在ρc＜σm ＜fk (受压区域) ，那么k(σm，k0)=ky
如果Icap=2且在fk＜σm ＜f0(Cap区域)，那么：
ky是材料参数，且有 0≤ky≤1。 当ky很高时会导致很高的屈服面。
比如，当使用 Icap=2 (考虑Cap模型)，ky=0.8和ky=0.6的屈服面的如下图显示。在LAW24卡片中的默认值是 0.5。
压缩中的混凝土塑性流动规则
LAW24中使用非关联的塑性流动规则，塑性流动如下计算:
I1 是应力第一不变量（即静水压力）。
试验表明参数α是k0的线性函数：
参数 αy 和 αf 适用于描述混凝土材料超过屈服而没有达到失效阶段。推荐分别使用 -0.2和 -0.1 。如果将αy，αf设置为非常小的值那么就不会有Cap区域。
混凝土的压溃失效
混凝土压缩的失效曲线rf可以由下面的混凝土强度决定：
3D失效包络图确定的最佳方法是获取所有这些值（fc，ft，fb，f2，S0）的实验数据，试验如下图所示。
那么这些混凝土强度值fc，ft，fb 在平面 r-σm 中可以如下表示：
I1，J2 是应力第一第二不变量。材料超过失效面rf就失效了。
也可以在平面应力面上绘制破坏包络特征点：
或者以巴西试验为例，单元都在失效包络线处失效。
而仅是变化压缩强度 fc，那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：
当混凝土的其他强度值fc，ft，fb，f2，S0不变，而仅是压缩强度变化，那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：
混凝土的其他强度值不变，而在LAW24中变化拉压强度比值
那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：
混凝土的其他强度值不变，而在LAW24中变化双轴和单轴压缩强度比值
那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：
混凝土的其他强度值不变，而在LAW24中变化约束和不约束压缩强度比值
那么不同混凝土材料的包络图如下图所示：
钢筋混凝土
在Radioss中，有两种不同的方法来模拟混凝土中的钢筋。
一种方法是使用梁或杆单元，并将梁或者杆单元的节点和实体混凝土的节点形成共节点来处理。
另一种方法是使用LAW24 中的钢筋的参数和使用各向异性的单元属性 /PROP/TYPE6 来定义钢筋的方向。
α1，α2，α3在LAW24 中定义1、2、3 方向上的钢筋横截面面积与整个混凝土截面面积的比例。
使用钢筋截面面积比例的方法，也就是假定每个方向上的钢筋和混凝土均质化，使用这种方法设置的钢筋主要用于大型结构和粗网格。否则，建议用上面第一种方法，通过杆、梁建模。
这里σy是钢筋的屈服应力，Et是钢筋的塑性阶段的切线模量。
Kupfer试验拟合LAW24和LAW81材料参数
在这个示例中结合Kupfer试验，使用Radioss的LAW24和 LAW81的材料模型，用于在压缩和拉伸载荷下对混凝土失效进行建模。
使用与实验测试相同的约束条件的一个实体单元对 10X10mm2混凝土立方体进行建模。（Radioss模型见帮助文档）
模型采用mm, ms, g, MPa 单位制，LAW24材料参数根据文献1设置如下：
其他参数可以在 LAW24 中留为默认值，因为默认值代表通用混凝土材料。
相应的采用LAW81模拟混凝土的模型中，混凝土参数设置如下：
根据文献中的试验数据使用Altair Compose拟合了LAW81的下面这些参数：
注意
在此示例中，除了单轴压缩强度fc，其他强度的输入都是用单轴压缩强度fc归一化，也就是相对于单轴压缩强度fc的比例输入的。另外混凝土常用的承载是受压，所以习惯将应力为正的认为是压应力，负的就是拉应力。
下面再来看一下Kupfer2试验的数据：
上面的应力三轴度是静水压力和Von Mises应力的比例：
可以将Kupfer试验的数据在Von Mises和压力的图上如下表示出来，基于这个图我们可以用于材料数据的拟合和试验对标。
LAW24使用Ottosen三轴破坏面推导出的屈服面，它的失效的理论值可以通过下面的公式计算得到：
那么相应的LAW24的失效的理论值如下图所示：
LAW81使用Drücker-Prager Cap模型根据上面的介绍我们可以得到LAW81的理论值：
p≤pa，Von Mises应力和压力有线性关系ptanΦ+c，所以在这个示例中失效时的Von Mises应力为σmtan(68.35°)+5.4508.
pa＜p ≤ pb(Cap部分)，描述失效的Cap曲线是：
因此在这个示例中Cap部分的失效时的Von Mises应力:
【这两部分失效曲线如上图所示】
现在通过Radioss建立相应的模型，根据Kupfer试验中的各个载荷进行有限元仿真。两个材料模型的仿真结果都与试验结果吻合。
LAW24仿真结果：
LAW81的仿真结果：
上面两个图示中的直线是加载路线
那么除了失效曲线我们也可以具体比对每一个试验中的应力应变曲线。以单轴拉伸试验T000为例。在LAW24中使用Ht，Dsup，εmax来描述拉伸行为。
最大值出现在应力比为0.1处，这与LAW24中设置的相吻合。下图是单轴拉伸试验T000中的应力应变曲线。
小结
在复杂载荷下，对比实验结果显示，使用两个Radioss中的混凝土材料模型 LAW24 和 LAW81 都可以比较好的仿真混凝土力学失效行为。对于 LAW24，如果没有可用的实验数据，使用默认值是不错的选择。对于 LAW81，需要设置参数Φ，c，α，pb，这样需要至少四个实验测试来拟合这些材料参数。