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前言
本文旨在系统性地介绍电路中一阶电路的时域分析。
一、动态电路的方程及其初始条件
1.1、动态电路
定义：含有动态元件（电容和电感）的电路。
换路：电路结构、状态发生变化，包括支路接入或断开、电路参数变化等。
特点：当动态电路状态发生改变时（换路），需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个变化过程称为电路的过渡过程。
过渡过程产生的原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
反证说明：功率 p = Δ w Δ t p = \frac{\Delta w}{\Delta t} p=ΔtΔw，如果能量瞬间突变（ Δ t → 0 \Delta t \to 0 Δt→0），则功率 p → ∞ p \to \infty p→∞。但实际电路中电源功率是有限的，不可能输出无穷大功率，所以能量不能瞬间突变。因此，换路后必须经历一个过渡过程，能量才能逐渐重新分配。
注意：工程实际中在切断电容或电感电路时，会出现过电压和过电流现象。
切断电容电路：电容电压不能突变（ u C ( 0 + ) = u C ( 0 − ) u_C(0_+) = u_C(0_-) uC(0+)=uC(0−)）。如果强行短路或改变， d u d t \frac{du}{dt} dtdu 极大，充电电流 i = C d u d t i = C \frac{du}{dt} i=Cdtdu 极大 → 过电流。
切断电感电路：电感电流不能突变（ i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) i_L(0_+) = i_L(0_-) iL(0+)=iL(0−)）。如果强行断开， d i d t \frac{di}{dt} dtdi 极大，感应电压 u = L d i d t u = L \frac{di}{dt} u=Ldtdi 极大 → 过电压。
1.2、动态电路的方程
RC电路
由 KVL 和电容的 VCR 得 R i + u c = u s ( t ) Ri + u_c = u_s(t) Ri+uc=us(t)， i = C d u c d t i = C \frac{du_c}{dt} i=Cdtduc，所以 R C d u c d t + u c = u s ( t ) RC \frac{du_c}{dt} + u_c = u_s(t) RCdtduc+uc=us(t)
若以电流为变量：由 R i + 1 C ∫ i d t = u s ( t ) Ri + \frac{1}{C} \int i dt = u_s(t) Ri+C1∫idt=us(t)，两边求导得 R d i d t + i C = d u s ( t ) d t R \frac{di}{dt} + \frac{i}{C} = \frac{du_s(t)}{dt} Rdtdi+Ci=dtdus(t)
RL电路
由 KVL 和电感的 VCR 得 R i + u L = u s ( t ) Ri + u_L = u_s(t) Ri+uL=us(t)， u L = L d i d t u_L = L \frac{di}{dt} uL=Ldtdi，所以 R i + L d i d t = u s ( t ) Ri + L \frac{di}{dt} = u_s(t) Ri+Ldtdi=us(t)
若以电感电压为变量：由 R L ∫ u L d t + u L = u s ( t ) \frac{R}{L} \int u_L dt + u_L = u_s(t) LR∫uLdt+uL=us(t)，两边求导得 R L u L + d u L d t = d u s ( t ) d t \frac{R}{L} u_L + \frac{du_L}{dt} = \frac{du_s(t)}{dt} LRuL+dtduL=dtdus(t)
RLC电路
由 KVL 和元件的 VCR 得 R i + u L + u C = u s ( t ) Ri + u_L + u_C = u_s(t) Ri+uL+uC=us(t)， i = C d u C d t i = C \frac{du_C}{dt} i=CdtduC， u L = L d i d t = L C d 2 u C d t 2 u_L = L \frac{di}{dt} = LC \frac{d^2 u_C}{dt^2} uL=Ldtdi=LCdt2d2uC，所以 L C d 2 u C d t 2 + R C d u C d t + u C = u s ( t ) LC \frac{d^2 u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = u_s(t) LCdt2d2uC+RCdtduC+uC=us(t)
结论：
①描述动态电路的电路方程为微分方程。
②动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。
一阶电路：只有一个动态元件，描述电路的方程是一阶线性微分方程： a 1 d x d t + a 0 x = e ( t ) a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = e(t) a1dtdx+a0x=e(t)， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0。
二阶电路：有二个动态元件，描述电路的方程是二阶线性微分方程： a 2 d 2 x d t 2 + a 1 d x d t + a 0 x = e ( t ) a_2 \frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = e(t) a2dt2d2x+a1dtdx+a0x=e(t)， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0。
高阶电路：有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程： a n d n x d t n + a n − 1 d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a 1 d x d t + a 0 x = e ( t ) a_n \frac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = e(t) andtndnx+an−1dtn−1dn−1x+⋯+a1dtdx+a0x=e(t)， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0。
动态电路的分析方法：
①根据 KVL、KCL 和 VCR 建立微分方程。
②求解微分方程。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
稳态分析和动态分析的区别：
稳态：恒定或周期性激励，换路发生很长时间后状态，微分方程的特解。
动态：任意激励，换路发生后的整个过程，微分方程的通解。
直流时的一阶微分方程为 a 1 d x d t + a 0 x = U s a_1 \frac{dx}{dt} + a_0 x = U_s a1dtdx+a0x=Us。当 t → ∞ t \to \infty t→∞ 时，电路达到稳态， x x x 不再随时间变化，因此导数项 d x d t = 0 \frac{dx}{dt} = 0 dtdx=0，方程退化为代数方程 a 0 x = U s a_0 x = U_s a0x=Us，直接解得稳态解。
1.3、电路的初始条件
t = 0 + t=0_+ t=0+ 与 t = 0 − t=0_- t=0− 的概念（认为换路在 t=0 时刻进行）：
0 − 0_- 0−：换路前一瞬间， f ( 0 − ) = lim t → 0 − f ( t ) f(0_-) = \lim_{t \to 0^-} f(t) f(0−)=limt→0−f(t)
0 + 0_+ 0+：换路后一瞬间， f ( 0 + ) = lim t → 0 + f ( t ) f(0_+) = \lim_{t \to 0^+} f(t) f(0+)=limt→0+f(t)
注意：初始条件为 t = 0 + t=0_+ t=0+ 时 u u u、 i i i 及其各阶导数的值。
电容的初始条件：
u C ( t ) = 1 C ∫ − ∞ t i ( ξ ) d ξ = 1 C ∫ − ∞ 0 i ( ξ ) d ξ + 1 C ∫ 0 t i ( ξ ) d ξ = u C ( 0 − ) + 1 C ∫ 0 − t i ( ξ ) d ξ u_C(t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} i(\xi) d\xi = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{0} i(\xi) d\xi + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i(\xi) d\xi = u_C(0_-) + \frac{1}{C} \int_{0_-}^{t} i(\xi) d\xi uC(t)=C1∫−∞ti(ξ)dξ=C1∫−∞0i(ξ)dξ+C1∫0ti(ξ)dξ=uC(0−)+C1∫0−ti(ξ)dξ
当 i ( ξ ) i(\xi) i(ξ) 为有限值时， u C ( 0 + ) = u C ( 0 − ) u_C(0_+) = u_C(0_-) uC(0+)=uC(0−)， q ( 0 + ) = q ( 0 − ) q(0_+) = q(0_-) q(0+)=q(0−)（电荷守恒）。
结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
电感的初始条件：
i L ( t ) = 1 L ∫ − ∞ t u ( ξ ) d ξ = 1 L ∫ − ∞ 0 u ( ξ ) d ξ + 1 L ∫ 0 t u ( ξ ) d ξ = i L ( 0 − ) + 1 L ∫ 0 − t u ( ξ ) d ξ i_L(t) = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t} u(\xi) d\xi = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{0} u(\xi) d\xi + \frac{1}{L} \int_{0}^{t} u(\xi) d\xi = i_L(0_-) + \frac{1}{L} \int_{0_-}^{t} u(\xi) d\xi iL(t)=L1∫−∞tu(ξ)dξ=L1∫−∞0u(ξ)dξ+L1∫0tu(ξ)dξ=iL(0−)+L1∫0−tu(ξ)dξ
当 u u u 为有限值时， i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) i_L(0_+) = i_L(0_-) iL(0+)=iL(0−)， ψ L ( 0 + ) = ψ L ( 0 − ) \psi_L(0_+) = \psi_L(0_-) ψL(0+)=ψL(0−)（磁链守恒）。
结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路定律：
q c ( 0 + ) = q c ( 0 − ) q_c(0_+) = q_c(0_-) qc(0+)=qc(0−)， u c ( 0 + ) = u c ( 0 − ) u_c(0_+) = u_c(0_-) uc(0+)=uc(0−)：电容电压（电荷）换路前后保持不变。
ψ L ( 0 + ) = ψ L ( 0 − ) \psi_L(0_+) = \psi_L(0_-) ψL(0+)=ψL(0−)， i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) i_L(0_+) = i_L(0_-) iL(0+)=iL(0−)：电感电流（磁链）换路前后保持不变。
注意：
①电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
②换路定律反映了能量不能跃变。
1.4、求初始值的步骤
①由换路前电路（稳定状态）求 u C ( 0 − ) u_C(0_-) uC(0−) 和 i L ( 0 − ) i_L(0_-) iL(0−)。
②由换路定律得 u C ( 0 + ) u_C(0_+) uC(0+) 和 i L ( 0 + ) i_L(0_+) iL(0+)。
③画 0 + 0_+ 0+ 等效电路：换路后的电路。电容（电感）用电压源（电流源）替代（取 0 + 0_+ 0+ 时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。
④由 0 + 0_+ 0+ 电路求所需各变量的 0 + 0_+ 0+ 值。
二、一阶电路的零输入响应
零输入响应：换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的响应。
2.1、RC电路
2.1.1、RC电路的零输入响应
已知 u C ( 0 − ) = U 0 u_C(0_-) = U_0 uC(0−)=U0，由 KVL 得 − u R + u C = 0 -u_R + u_C = 0 −uR+uC=0，且 i = − C d u C d t i = -C \frac{du_C}{dt} i=−CdtduC， u R = R i u_R = Ri uR=Ri，所以： R C d u C d t + u C = 0 RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0 RCdtduC+uC=0
初始条件： u C ( 0 + ) = U 0 u_C(0_+) = U_0 uC(0+)=U0
特征方程： R C p + 1 = 0 RCp + 1 = 0 RCp+1=0，特征根： p = − 1 R C p = -\frac{1}{RC} p=−RC1
通解： u C = A e p t = A e − 1 R C t u_C = Ae^{pt} = Ae^{-\frac{1}{RC}t} uC=Aept=Ae−RC1t
代入初始值 u C ( 0 + ) = u C ( 0 − ) = U 0 u_C(0_+) = u_C(0_-) = U_0 uC(0+)=uC(0−)=U0，得 A = U 0 A = U_0 A=U0
所以： u C = U 0 e − t R C u_C = U_0 e^{-\frac{t}{RC}} uC=U0e−RCt， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0
i = u C R = U 0 R e − t R C = I 0 e − t R C i = \frac{u_C}{R} = \frac{U_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}} = I_0 e^{-\frac{t}{RC}} i=RuC=RU0e−RCt=I0e−RCt， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0或 i = − C d u C d t = − C U 0 e − t R C ( − 1 R C ) = U 0 R e − t R C i = -C \frac{du_C}{dt} = -CU_0 e^{-\frac{t}{RC}} \left(-\frac{1}{RC}\right) = \frac{U_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}} i=−CdtduC=−CU0e−RCt(−RC1)=RU0e−RCt
表明：
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。 u C u_C uC 是连续函数， i i i 在换路瞬间发生跃变。
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC 有关。
2.1.2、时间常数
令 τ = R C \tau = RC τ=RC，称 τ \tau τ 为一阶电路的时间常数。
τ \] = \[ R C \] = \[ 欧 \] \[ 法 \] = \[ 欧 \] \[ 库 伏 \] = \[ 欧 \] \[ 安 ⋅ 秒 伏 \] = \[ 欧 ⋅ 安 ⋅ 秒 / 伏 \] = \[ 伏 ⋅ 秒 / 伏 \] = \[ 秒 \] \[\\tau\] = \[RC\] = \[欧\]\[法\] = \[欧\] \\left\[ \\frac{库}{伏} \\right\] = \[欧\] \\left\[ \\frac{安 \\cdot 秒}{伏} \\right\] = \[欧 \\cdot 安 \\cdot 秒 / 伏\] = \[伏 \\cdot 秒 / 伏\] = \[秒\] \[τ\]=\[RC\]=\[欧\]\[法\]=\[欧\]\[伏库\]=\[欧\]\[伏安⋅秒\]=\[欧⋅安⋅秒/伏\]=\[伏⋅秒/伏\]=\[秒
p = − 1 R C = − 1 τ p = -\frac{1}{RC} = -\frac{1}{\tau} p=−RC1=−τ1
时间常数 τ \tau τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短： τ \tau τ 大 → 过渡过程时间长； τ \tau τ 小 → 过渡过程时间短。
物理含义（电压初值一定）：
C 大（R 一定）： W = 1 2 C u 2 W = \frac{1}{2}Cu^2 W=21Cu2，储能大，放电时间长。
R 大（C 一定）： i = u R i = \frac{u}{R} i=Ru，放电电流小，放电时间长。
注意：
① τ \tau τ：电容电压衰减到原来电压 36.8% 所需的时间。工程上认为，经过 3 τ ∼ 5 τ 3\tau \sim 5\tau 3τ∼5τ，过渡过程结束。
②时间常数 τ \tau τ 的几何意义：在 u C u_C uC 曲线上任一点 t 1 t_1 t1 作切线，切线与横轴的交点为 t 2 t_2 t2，则 τ = t 2 − t 1 \tau = t_2 - t_1 τ=t2−t1，称为次切距的长度。且 u C ( t 2 ) = 0.368 u C ( t 1 ) u_C(t_2) = 0.368u_C(t_1) uC(t2)=0.368uC(t1)。
能量关系：电容不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗完毕。
电容放出能量： 1 2 C U 0 2 \frac{1}{2}CU_0^2 21CU02
电阻吸收（消耗）能量： W R = ∫ 0 ∞ i 2 R d t = ∫ 0 ∞ ( U 0 R e − t R C ) 2 R d t = 1 2 C U 0 2 W_R = \int_0^\infty i^2 R dt = \int_0^\infty \left( \frac{U_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \right)^2 R dt = \frac{1}{2}CU_0^2 WR=∫0∞i2Rdt=∫0∞(RU0e−RCt)2Rdt=21CU02
2.2、RL电路
2.2.1、RL电路的零输入响应
已知 i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) = U S R 1 + R = I 0 i_L(0_+) = i_L(0_-) = \frac{U_S}{R_1 + R} = I_0 iL(0+)=iL(0−)=R1+RUS=I0
L d i L d t + R i L = 0 L \frac{di_L}{dt} + Ri_L = 0 LdtdiL+RiL=0， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0
特征方程： L p + R = 0 Lp + R = 0 Lp+R=0，特征根： p = − R L p = -\frac{R}{L} p=−LR
通解： i L ( t ) = A e p t i_L(t) = Ae^{pt} iL(t)=Aept
代入初始值 A = i L ( 0 + ) = I 0 A = i_L(0_+) = I_0 A=iL(0+)=I0
所以： i L ( t ) = I 0 e p t = I 0 e − R L t = I 0 e − t L / R i_L(t) = I_0 e^{pt} = I_0 e^{-\frac{R}{L}t} = I_0 e^{-\frac{t}{L/R}} iL(t)=I0ept=I0e−LRt=I0e−L/Rt， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0
u L ( t ) = L d i L d t = − R I 0 e − t L / R u_L(t) = L \frac{di_L}{dt} = -RI_0 e^{-\frac{t}{L/R}} uL(t)=LdtdiL=−RI0e−L/Rt
表明：
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数。 i L i_L iL 是连续函数， u L u_L uL 在换路瞬间发生跃变。
②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L / R L/R L/R 有关。
2.2.2、时间常数
令 τ = L / R \tau = L/R τ=L/R，称为一阶 RL 电路的时间常数。
τ \] = \[ L / R \] = \[ 亨 欧 \] = \[ 韦 安 ⋅ 欧 \] = \[ 伏 ⋅ 秒 安 ⋅ 欧 \] = \[ 伏 ⋅ 秒 伏 \] = \[ 秒 \] \[\\tau\] = \[L/R\] = \[\\frac{亨}{欧}\] = \[\\frac{韦}{安 \\cdot 欧}\] = \[\\frac{伏 \\cdot 秒}{安 \\cdot 欧}\] = \[\\frac{伏 \\cdot 秒}{伏}\] = \[秒\] \[τ\]=\[L/R\]=\[欧亨\]=\[安⋅欧韦\]=\[安⋅欧伏⋅秒\]=\[伏伏⋅秒\]=\[秒
时间常数 τ \tau τ 的大小反映了电路过渡过程时间的长短： τ \tau τ 大 → 过渡过程时间长； τ \tau τ 小 → 过渡过程时间短。
物理含义（电流初值 i L ( 0 ) i_L(0) iL(0) 一定）：
①L 大： W = 1 2 L i L 2 W = \frac{1}{2}Li_L^2 W=21LiL2，起始能量大，放电慢， τ \tau τ 大。
②R 小： P = R i 2 P = Ri^2 P=Ri2，放电过程消耗能量小，放电慢， τ \tau τ 大。
能量关系：电感不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗完毕。
电感放出能量： 1 2 L I 0 2 \frac{1}{2}LI_0^2 21LI02
电阻吸收（消耗）能量： W R = ∫ 0 ∞ i 2 R d t = ∫ 0 ∞ ( I 0 e − t L / R ) 2 R d t = 1 2 L I 0 2 W_R = \int_0^\infty i^2 R dt = \int_0^\infty (I_0 e^{-\frac{t}{L/R}})^2 R dt = \frac{1}{2}LI_0^2 WR=∫0∞i2Rdt=∫0∞(I0e−L/Rt)2Rdt=21LI02
2.4、小结
①一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应，都是由初始值衰减为零的指数衰减函数： y ( t ) = y ( 0 + ) e − t τ y(t) = y(0_+)e^{-\frac{t}{\tau}} y(t)=y(0+)e−τt
RC 电路： u C ( 0 + ) = u C ( 0 − ) u_C(0_+) = u_C(0_-) uC(0+)=uC(0−)
RL 电路： i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) i_L(0_+) = i_L(0_-) iL(0+)=iL(0−)
②衰减快慢取决于时间常数 τ \tau τ：
RC 电路： τ = R C \tau = RC τ=RC
RL 电路： τ = L / R \tau = L/R τ=L/R
R R R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
③同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
④一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
三、一阶电路的零状态响应
零状态响应：动态元件初始能量为零，由 (t > 0) 电路中外加激励作用所产生的响应。
3.1、RC电路的零状态响应
非齐次线性常微分方程： R C d u C d t + u C = U s RC \frac{du_C}{dt} + u_C = U_s RCdtduC+uC=Us
解答形式为： u C = u C ′ + u C ′ ′ u_C = u_C' + u_C'' uC=uC′+uC′′
u C ′ u_C' uC′：非齐次特解（强制分量），与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。
R C d u C d t + u C = U s RC \frac{du_C}{dt} + u_C = U_s RCdtduC+uC=Us 的特解 → u C ′ = U s \rightarrow u_C' = U_s →uC′=Us
u C ′ ′ u_C'' uC′′：齐次方程通解（自由分量，暂态分量），变化规律由电路参数和结构决定。
R C d u C d t + u C = 0 RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0 RCdtduC+uC=0 的通解 → u C ′ ′ = A e − t R C \rightarrow u_C'' = Ae^{-\frac{t}{RC}} →uC′′=Ae−RCt
全解： u C ( t ) = u C ′ + u C ′ ′ = U s + A e − t R C u_C(t) = u_C' + u_C'' = U_s + Ae^{-\frac{t}{RC}} uC(t)=uC′+uC′′=Us+Ae−RCt
由初始条件 u C ( 0 + ) = 0 u_C(0_+) = 0 uC(0+)=0 确定积分常数 A A A： u C ( 0 + ) = A + U s = 0 → A = − U s u_C(0_+) = A + U_s = 0 \rightarrow A = -U_s uC(0+)=A+Us=0→A=−Us
所以： u C = U s − U s e − t R C = U s ( 1 − e − t R C ) u_C = U_s - U_s e^{-\frac{t}{RC}} = U_s(1 - e^{-\frac{t}{RC}}) uC=Us−Use−RCt=Us(1−e−RCt)， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0
i = C d u C d t = U s R e − t R C i = C \frac{du_C}{dt} = \frac{U_s}{R} e^{-\frac{t}{RC}} i=CdtduC=RUse−RCt
表明：
①电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数。电容电压由两部分构成：稳态分量（强制分量）+ 暂态分量（自由分量）。 u C u_C uC 是连续函数， i i i 在换路瞬间发生跃变。
②响应变化的快慢由时间常数 τ = R C \tau = RC τ=RC 决定； τ \tau τ 大充电慢， τ \tau τ 小充电快。
③响应与外加激励成线性关系。
④能量关系：
电源提供能量： ∫ 0 ∞ U s i d t = U s q = C U s 2 \int_0^\infty U_s i dt = U_s q = CU_s^2 ∫0∞Usidt=Usq=CUs2
电阻消耗能量： ∫ 0 ∞ i 2 R d t = 1 2 C U s 2 \int_0^\infty i^2 R dt = \frac{1}{2}CU_s^2 ∫0∞i2Rdt=21CUs2
电容储存能量： 1 2 C U s 2 \frac{1}{2}CU_s^2 21CUs2
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中，充电效率为 50%。
3.2、RL电路的零状态响应
已知 i L ( 0 − ) = 0 i_L(0_-) = 0 iL(0−)=0，电路方程为： L d i L d t + R i L = U s L \frac{di_L}{dt} + Ri_L = U_s LdtdiL+RiL=Us
i L = i L ′ + i L ′ ′ = U s R + A e − R L t i_L = i_L' + i_L'' = \frac{U_s}{R} + Ae^{-\frac{R}{L}t} iL=iL′+iL′′=RUs+Ae−LRt
由 i L ( 0 + ) = 0 → A = − U s R i_L(0_+) = 0 \rightarrow A = -\frac{U_s}{R} iL(0+)=0→A=−RUs
所以：
i L = U s R ( 1 − e − R L t ) i_L = \frac{U_s}{R} (1 - e^{-\frac{R}{L}t}) iL=RUs(1−e−LRt)， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0
u L = L d i L d t = U s e − R L t u_L = L \frac{di_L}{dt} = U_s e^{-\frac{R}{L}t} uL=LdtdiL=Use−LRt
四、一阶电路的全响应
全响应：电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时，电路产生的响应。
4.1、全响应的求解（以RC电路为例）
电路微分方程： R C d u C d t + u C = U s RC \frac{du_C}{dt} + u_C = U_s RCdtduC+uC=Us
其解为： u C ( t ) = u C ′ + u C ′ ′ u_C(t) = u_C' + u_C'' uC(t)=uC′+uC′′
特解： u C ′ = U s u_C' = U_s uC′=Us（强制分量，稳态解）
通解： u C ′ ′ = A e − t τ u_C'' = Ae^{-\frac{t}{\tau}} uC′′=Ae−τt（自由分量，暂态解）
由初始值 u C ( 0 − ) = U 0 u_C(0_-) = U_0 uC(0−)=U0 定 A A A：
u C ( 0 + ) = A + U s = U 0 u_C(0_+) = A + U_s = U_0 uC(0+)=A+Us=U0，所以 A = U 0 − U s A = U_0 - U_s A=U0−Us
u C = U s + ( U 0 − U s ) e − t τ u_C = U_s + (U_0 - U_s)e^{-\frac{t}{\tau}} uC=Us+(U0−Us)e−τt， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0
4.2、全响应的两种分解方式
①着眼于电路的两种工作状态（物理概念清晰）
全响应 = 强制分量（稳态解） + 自由分量（暂态解）
u C = U s + ( U 0 − U s ) e − t τ u_C = U_s + (U_0 - U_s)e^{-\frac{t}{\tau}} uC=Us+(U0−Us)e−τt
②着眼于因果关系（便于叠加计算）
u C = U s ( 1 − e − t τ ) + U 0 e − t τ u_C = U_s (1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) + U_0 e^{-\frac{t}{\tau}} uC=Us(1−e−τt)+U0e−τt， t ≥ 0 t \ge 0 t≥0
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
4.3、三要素法分析一阶电路
一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： a d f d t + b f = c a \frac{df}{dt} + bf = c adtdf+bf=c
其解的一般形式为： f ( t ) = f ′ ( t ) + A e − t τ f(t) = f'(t) + Ae^{-\frac{t}{\tau}} f(t)=f′(t)+Ae−τt
这是"特解 + 齐次方程通解"的组合。其中 f ′ ( t ) f'(t) f′(t) 是特解（强制分量、稳态分量）， A e − t τ Ae^{-\frac{t}{\tau}} Ae−τt 是齐次方程的通解（自由分量、暂态分量）。
令 t = 0 + t = 0_+ t=0+， f ( 0 + ) = f ′ ( 0 + ) + A f(0_+) = f'(0_+) + A f(0+)=f′(0+)+A，得 A = f ( 0 + ) − f ′ ( 0 + ) A = f(0_+) - f'(0_+) A=f(0+)−f′(0+)
所以： f ( t ) = f ′ ( t ) + f ( 0 + ) − f ′ ( 0 + ) e − t τ f(t) = f'(t) + f(0_+) - f'(0_+)e^{-\frac{t}{\tau}} f(t)=f′(t)+f(0+)−f′(0+)e−τt
直流激励时： f ′ ( t ) = f ′ ( 0 + ) = f ( ∞ ) f'(t) = f'(0_+) = f(\infty) f′(t)=f′(0+)=f(∞)
f ( t ) = f ( ∞ ) + f ( 0 + ) − f ( ∞ ) e − t τ f(t) = f(\infty) + f(0_+) - f(\\infty)e^{-\frac{t}{\tau}} f(t)=f(∞)+f(0+)−f(∞)e−τt
三要素：
f ( ∞ ) f(\infty) f(∞)：稳态解。用 t → ∞ t \to \infty t→∞ 的稳态电路求解。
f ( 0 + ) f(0_+) f(0+)：初始值。用 0 + 0_+ 0+ 等效电路求解。
τ \tau τ：时间常数。
注意：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。
三要素法求解电路是本章重点，三要素法也可以得到零状态响应和零输入响应。