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前言
本文旨在系统性地介绍电路中电阻电路的一般分析。
一、电路的图
电路的图是表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
注意：
①画图时"抛开元件性质"，只保留连接关系；
②支路的划分方式不唯一：可以把"一个元件"作为一条支路，也可以把"元件的串并联组合"作为一条支路。
1.1、图的定义（Graph）
G = { 支路 , 结点 } G = \{支路, 结点\} G={支路,结点}
注意：
①图中的结点和支路各自是一个整体；
②移去支路，与它联接的结点依然存在，允许有孤立结点；
③移去结点，则应把与它联接的全部支路同时移去。
1.2、路径
从图 G 的一个结点出发，沿着一些支路连续移动到达另一结点，所经过的支路构成路径。
1.3、有向图
标定了支路方向的图称为有向图。
1.4、连通图
图G的任意两结点间至少有一条路径，称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。
1.5、子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。
1.6、树（Tree）
T是连通图的一个子图，满足：①连通；②包含所有结点；③不含闭合路径
树支：构成树的支路。
连支：属于G而不属于T的支路。
注意：
①对应一个图有很多的树；
②树支的数目是一定的： b t = n − 1 b_t = n - 1 bt=n−1；
③连支数： b l = b − b t = b − ( n − 1 ) b_l = b - b_t = b - (n - 1) bl=b−bt=b−(n−1)。
1.7、回路（Loop）
L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，满足：①连通；②每个结点关联2条支路。
注意：
①对应一个图有很多的回路；
②基本回路的数目是一定的，为连支数；
③对于平面电路，网孔数等于基本回路数。
基本回路（单连支回路）：具有独占的一条连支。
基本回路数： l = b l = b − ( n − 1 ) l = b_l = b - (n - 1) l=bl=b−(n−1)
1.8、结点、支路和基本回路关系
支路数 = 树支数 + 连支数 = 结点数 - 1 + 基本回路数
即： b = n − 1 + l b = n - 1 + l b=n−1+l
二、KCL和KVL的独立方程数
2.1、KCL的独立方程数
对图中 4 个结点分别列 KCL：
① i 1 − i 4 − i 6 = 0 i_1 - i_4 - i_6 = 0 i1−i4−i6=0
② − i 1 − i 2 + i 3 = 0 -i_1 - i_2 + i_3 = 0 −i1−i2+i3=0
③ i 2 + i 5 + i 6 = 0 i_2 + i_5 + i_6 = 0 i2+i5+i6=0
④ − i 3 + i 4 − i 5 = 0 -i_3 + i_4 - i_5 = 0 −i3+i4−i5=0
四个方程相加等于 0，说明有一个不独立。
结论： n n n 个结点的电路，独立的 KCL 方程为 n − 1 n-1 n−1 个。
2.2、KVL的独立方程数
对三个网孔分别列 KVL：
① u 1 + u 3 + u 4 = 0 u_1 + u_3 + u_4 = 0 u1+u3+u4=0
② u 2 + u 3 − u 5 = 0 u_2 + u_3 - u_5 = 0 u2+u3−u5=0
③ u 4 + u 5 − u 6 = 0 u_4 + u_5 - u_6 = 0 u4+u5−u6=0
注意：通过对以上三个网孔方程进行加、减运算，可以得到其他回路的 KVL 方程。
2.3、结论
对于 n n n 个结点、 b b b 条支路的电路：
独立的 KCL 方程数： n − 1 n-1 n−1
独立的 KVL 方程数： b − n + 1 b-n+1 b−n+1
独立结点数： n − 1 n-1 n−1
独立回路数： b − n + 1 b-n+1 b−n+1
树支数： n − 1 n-1 n−1
连支数： b − n + 1 b-n+1 b−n+1
网孔数： b − n + 1 b-n+1 b−n+1
三、支路电流法
3.1、定义
方法描述：以各支路电流为未知量，列写电路方程分析电路的方法。
适用条件：适用于任何电路。
核心思想：对于有 n n n 个结点、 b b b 条支路的电路，未知量共有 b b b 个。只要列出 b b b 个独立的电路方程，便可以求解这 b b b 个变量。
3.2、方程的列写
① 从电路的 n n n 个结点中任意选择 n − 1 n-1 n−1 个结点列写 KCL 方程。
② 选择基本回路列写 b − ( n − 1 ) b-(n-1) b−(n−1) 个 KVL 方程。
四、网孔电流法
4.1、定义
方法描述：以沿网孔连续流动的假想电流为未知量，列写电路方程分析电路的方法。
适用条件：仅适用于平面电路。
核心思想：假想每个网孔中有一个网孔电流。网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次、流出一次，所以 KCL 自动满足，无需列写 KCL 方程。因此网孔电流法只需对网孔回路列写 KVL 方程，方程数为网孔数（ b − ( n − 1 ) b-(n-1) b−(n−1)）。
4.2、方程的列写
独立回路数为 2。选两个独立回路，支路电流可表示为：
i 1 = i l 1 i_1 = i_{l1} i1=il1， i 3 = i l 2 i_3 = i_{l2} i3=il2， i 2 = i l 2 − i l 1 i_2 = i_{l2} - i_{l1} i2=il2−il1
网孔1： R 1 i l 1 + R 2 ( i l 1 − i l 2 ) − u s 1 + u s 2 = 0 R_1 i_{l1} + R_2 (i_{l1} - i_{l2}) - u_{s1} + u_{s2} = 0 R1il1+R2(il1−il2)−us1+us2=0
网孔2： R 2 ( i l 2 − i l 1 ) + R 3 i l 2 − u s 2 = 0 R_2 (i_{l2} - i_{l1}) + R_3 i_{l2} - u_{s2} = 0 R2(il2−il1)+R3il2−us2=0
整理得：
( R 1 + R 2 ) i l 1 − R 2 i l 2 = u s 1 − u s 2 (R_1 + R_2) i_{l1} - R_2 i_{l2} = u_{s1} - u_{s2} (R1+R2)il1−R2il2=us1−us2
− R 2 i l 1 + ( R 2 + R 3 ) i l 2 = u s 2 -R_2 i_{l1} + (R_2 + R_3) i_{l2} = u_{s2} −R2il1+(R2+R3)il2=us2
4.3、自电阻、互电阻和电压源
R 11 = R 1 + R 2 R_{11} = R_1 + R_2 R11=R1+R2：网孔1的自电阻。
R 22 = R 2 + R 3 R_{22} = R_2 + R_3 R22=R2+R3：网孔2的自电阻。
自电阻等于本网孔中所有电阻之和。
R 12 = R 21 = − R 2 R_{12} = R_{21} = -R_2 R12=R21=−R2：网孔1、网孔2之间的互电阻。
互电阻为两个网孔之间公共支路上电阻之和。两个网孔电流流过公共支路方向相同取正号，方向相反取负号。
u S 11 = u S 1 − u S 2 u_{S11} = u_{S1} - u_{S2} uS11=uS1−uS2：网孔1中所有电压源电压的代数和。
u S 12 = u S 2 u_{S12} = u_{S2} uS12=uS2：网孔2中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取负号；反之取正号。
4.4、方程的标准形式
对于具有 l l l 个网孔的电路，有：
{ R 11 i l 1 + R 12 i l 2 + ⋯ + R 1 l i l l = u s 11 R 21 i l 1 + R 22 i l 2 + ⋯ + R 2 l i l l = u s 12 ⋮ R l 1 i l 1 + R l 2 i l 2 + ⋯ + R l l i l l = u s 1 l \begin{cases} R_{11} i_{l1} + R_{12} i_{l2} + \cdots + R_{1l} i_{ll} = u_{s11} \\ R_{21} i_{l1} + R_{22} i_{l2} + \cdots + R_{2l} i_{ll} = u_{s12} \\ \vdots \\ R_{l1} i_{l1} + R_{l2} i_{l2} + \cdots + R_{ll} i_{ll} = u_{s1l} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧R11il1+R12il2+⋯+R1lill=us11R21il1+R22il2+⋯+R2lill=us12⋮Rl1il1+Rl2il2+⋯+Rllill=us1l
下标带l表示"回路"（loop）。
R k k R_{kk} Rkk：自电阻（总为正）。
R j k R_{jk} Rjk：互电阻。① + + +：流过互阻的两个网孔电流方向相同；② − - −：流过互阻的两个网孔电流方向相反；③ 0 0 0：无关。
五、回路电流法
5.1、定义
方法描述：以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量，列写电路方程分析电路的方法。
适用条件：适用于平面和非平面电路。
核心思想：为减少未知量（方程）的个数，假想每个回路中有一个回路电流。回路电流在回路中是闭合的，对每个相关结点均流进一次、流出一次，所以 KCL 自动满足，无需列写 KCL 方程。因此回路电流法只需对独立回路列写 KVL 方程，方程数为 b − ( n − 1 ) b-(n-1) b−(n−1)。
5.2、方程的列写
用回路电流法求解电流 i i i。
只让一个回路电流经过 R 5 R_5 R5 支路。
( R s + R 1 + R 4 ) i 1 − R 1 i 2 − ( R 1 + R 4 ) i 3 = U s (R_s + R_1 + R_4)i_1 - R_1 i_2 - (R_1 + R_4)i_3 = U_s (Rs+R1+R4)i1−R1i2−(R1+R4)i3=Us
− R 1 i 1 + ( R 1 + R 2 + R 5 ) i 2 + ( R 1 + R 2 ) i 3 = 0 -R_1 i_1 + (R_1 + R_2 + R_5)i_2 + (R_1 + R_2)i_3 = 0 −R1i1+(R1+R2+R5)i2+(R1+R2)i3=0
− ( R 1 + R 4 ) i 1 + ( R 1 + R 2 ) i 2 + ( R 1 + R 2 + R 3 + R 4 ) i 3 = 0 -(R_1 + R_4)i_1 + (R_1 + R_2)i_2 + (R_1 + R_2 + R_3 + R_4)i_3 = 0 −(R1+R4)i1+(R1+R2)i2+(R1+R2+R3+R4)i3=0
i = i 2 i = i_2 i=i2
5.3、方程的标准形式
对于具有 l = b − ( n − 1 ) l = b - (n - 1) l=b−(n−1) 个回路的电路，有：
{ R 11 i l 1 + R 12 i l 2 + ⋯ + R 1 l i l l = u s l 1 R 21 i l 1 + R 22 i l 2 + ⋯ + R 2 l i l l = u s l 2 ⋮ R l 1 i l 1 + R l 2 i l 2 + ⋯ + R l l i l l = u s l l \begin{cases} R_{11}i_{l1} + R_{12}i_{l2} + \cdots + R_{1l}i_{ll} = u_{sl1} \\ R_{21}i_{l1} + R_{22}i_{l2} + \cdots + R_{2l}i_{ll} = u_{sl2} \\ \vdots \\ R_{l1}i_{l1} + R_{l2}i_{l2} + \cdots + R_{ll}i_{ll} = u_{sll} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧R11il1+R12il2+⋯+R1lill=usl1R21il1+R22il2+⋯+R2lill=usl2⋮Rl1il1+Rl2il2+⋯+Rllill=usll
下标带l表示"回路"（loop）。
R k k R_{kk} Rkk：自电阻（总为正）。
R j k R_{jk} Rjk：互电阻。① + + +：流过互阻的两个回路电流方向相同；② − - −：流过互阻的两个回路电流方向相反；③ 0 0 0：无关。
六、结点电压法
6.1、定义
方法描述：以结点电压为未知量，列写电路方程分析电路的方法。
适用条件：适用于结点较少的电路。
核心思想：选结点电压为未知量，则 KVL 自动满足，无需列写 KVL 方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，即可方便地得到各支路电压、电流。结点电压法列写的是结点上的 KCL 方程，独立方程数为 ( n − 1 ) (n-1) (n−1)，比支路电流法减少 b − ( n − 1 ) b-(n-1) b−(n−1) 个方程。任意选择参考点，其它结点与参考点的电位差即为结点电压，方向为从独立结点指向参考结点。
6.2、方程的列写
① 选定参考结点，标明其余 n − 1 n-1 n−1 个独立结点的电压。
② 列 KCL 方程： ∑ i R 出 = ∑ i s 入 \sum i_{R出} = \sum i_{s入} ∑iR出=∑is入
{ i 1 + i 2 = i s 1 + i s 2 − i 2 + i 4 + i 3 = 0 − i 3 + i 5 = − i s 2 \begin{cases} i_1 + i_2 = i_{s1} + i_{s2} \\ -i_2 + i_4 + i_3 = 0 \\ -i_3 + i_5 = -i_{s2} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧i1+i2=is1+is2−i2+i4+i3=0−i3+i5=−is2
把支路电流用结点电压表示：
{ u n 1 R 1 + u n 1 − u n 2 R 2 = i s 1 + i s 2 − u n 1 − u n 2 R 2 + u n 2 − u n 3 R 3 + u n 2 R 4 = 0 − u n 2 − u n 3 R 3 + u n 3 − u s R 5 = − i s 2 \begin{cases} \frac{u_{n1}}{R_1} + \frac{u_{n1} - u_{n2}}{R_2} = i_{s1} + i_{s2} \\ -\frac{u_{n1} - u_{n2}}{R_2} + \frac{u_{n2} - u_{n3}}{R_3} + \frac{u_{n2}}{R_4} = 0 \\ -\frac{u_{n2} - u_{n3}}{R_3} + \frac{u_{n3} - u_s}{R_5} = -i_{s2} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧R1un1+R2un1−un2=is1+is2−R2un1−un2+R3un2−un3+R4un2=0−R3un2−un3+R5un3−us=−is2
整理得：
( 1 R 1 + 1 R 2 ) u n 1 − 1 R 2 u n 2 = i s 1 + i s 2 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) u_{n1} - \frac{1}{R_2} u_{n2} = i_{s1} + i_{s2} (R11+R21)un1−R21un2=is1+is2
− 1 R 2 u n 1 + ( 1 R 2 + 1 R 3 + 1 R 4 ) u n 2 − 1 R 3 u n 3 = 0 -\frac{1}{R_2} u_{n1} + \left( \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} \right) u_{n2} - \frac{1}{R_3} u_{n3} = 0 −R21un1+(R21+R31+R41)un2−R31un3=0
− 1 R 3 u n 2 + ( 1 R 3 + 1 R 5 ) u n 3 = − i s 2 + u s R 5 -\frac{1}{R_3} u_{n2} + \left( \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_5} \right) u_{n3} = -i_{s2} + \frac{u_s}{R_5} −R31un2+(R31+R51)un3=−is2+R5us
令 G k = 1 / R k G_k = 1/R_k Gk=1/Rk，上式简记为：
G 11 u n 1 + G 12 u n 2 + G 13 u n 3 = i s n 1 G_{11}u_{n1} + G_{12}u_{n2} + G_{13}u_{n3} = i_{sn1} G11un1+G12un2+G13un3=isn1
G 21 u n 1 + G 22 u n 2 + G 23 u n 3 = i s n 2 G_{21}u_{n1} + G_{22}u_{n2} + G_{23}u_{n3} = i_{sn2} G21un1+G22un2+G23un3=isn2
G 31 u n 1 + G 32 u n 2 + G 33 u n 3 = i s n 3 G_{31}u_{n1} + G_{32}u_{n2} + G_{33}u_{n3} = i_{sn3} G31un1+G32un2+G33un3=isn3
6.3、自电导、互电导和电流源
G 11 = G 1 + G 2 G_{11} = G_1 + G_2 G11=G1+G2：结点1的自电导。
G 22 = G 2 + G 3 + G 4 G_{22} = G_2 + G_3 + G_4 G22=G2+G3+G4：结点2的自电导。
G 33 = G 3 + G 5 G_{33} = G_3 + G_5 G33=G3+G5：结点3的自电导。
自电导等于接在该结点上所有支路的电导之和。
G 12 = G 21 = − G 2 G_{12} = G_{21} = -G_2 G12=G21=−G2：结点1与结点2之间的互电导。
G 23 = G 32 = − G 3 G_{23} = G_{32} = -G_3 G23=G32=−G3：结点2与结点3之间的互电导。
G 13 = G 31 = 0 G_{13} = G_{31} = 0 G13=G31=0：结点1与结点3之间的互电导。
互电导为接在结点与结点之间所有支路的电导之和，总为负值，若两结点之间没有直接电阻（两个结点之间直接连着的电阻，中间不经过其他结点），则互电导为 0。
i s n 1 = i s 1 + i s 2 i_{sn1} = i_{s1} + i_{s2} isn1=is1+is2：流入结点1的电流源电流的代数和。
i s n 3 = − i s 2 + u s / R 5 i_{sn3} = -i_{s2} + u_s/R_5 isn3=−is2+us/R5：流入结点3的电流源电流的代数和。
流入结点取正号，流出取负号。
6.4、方程的标准形式
{ G 11 u n 1 + G 12 u n 2 + ⋯ + G 1 , n − 1 u n , n − 1 = i s n 1 G 21 u n 1 + G 22 u n 2 + ⋯ + G 2 , n − 1 u n , n − 1 = i s n 2 ⋮ G n − 1 , 1 u n 1 + G n − 1 , 2 u n 2 + ⋯ + G n − 1 , n − 1 u n , n − 1 = i s n , n − 1 \begin{cases} G_{11}u_{n1} + G_{12}u_{n2} + \cdots + G_{1,n-1}u_{n,n-1} = i_{sn1} \\ G_{21}u_{n1} + G_{22}u_{n2} + \cdots + G_{2,n-1}u_{n,n-1} = i_{sn2} \\ \vdots \\ G_{n-1,1}u_{n1} + G_{n-1,2}u_{n2} + \cdots + G_{n-1,n-1}u_{n,n-1} = i_{sn,n-1} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧G11un1+G12un2+⋯+G1,n−1un,n−1=isn1G21un1+G22un2+⋯+G2,n−1un,n−1=isn2⋮Gn−1,1un1+Gn−1,2un2+⋯+Gn−1,n−1un,n−1=isn,n−1
下标带n 表示"结点"（node）。
G i i G_{ii} Gii：自电导，总为正。
G i j = G j i G_{ij} = G_{ji} Gij=Gji：互电导，结点 i i i 与结点 j j j 之间所有支路电导之和，总为负。
i s n i i_{sn_i} isni：流入结点 i i i 的所有电流源电流的代数和。